专题09 一次函数实际应用的三种考法（解析版）

专题09 一次函数实际应用的三种考法 类型一、方问题问题 例．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知 两城分别有水泥200 吨和300 吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20 元/吨 和25 元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15 元/吨和24 元/吨，现 乡需要水 泥240 吨， 乡需要水泥260 吨． (1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少 总运费． (2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答】(1) ，最少总运费为10040 元； (2) 城运往 乡200 吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x 的取值范围，在求出y 与x 的函数解析式，最后根据一次函数的性 质，求出最小值； （2）先列出 城运往 乡的运费每吨减少 元时，总费用关于x 的函数关系式， 再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 ， 从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 吨， 设总运费为 元，根据题意， 则： ． ， 随 的增大而增大， 当 时，总运费最少，且最少的总运费为10040 元． 答： 与 的函数关系式为 ， 最少总运费为10040 元； （2）设减少运费后，总运费为 元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当 时， ， 此时 随 的增大而增大， 当 时， ；． ②当 时， ， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040 元； ③当 时， ， 此时 随 的增大而减小， 当 时， ； 综上可得： 当 时， 城运往 乡0 吨，总运费最少； 当 时，无论从 城运往 乡多少吨肥料（不超过200 吨），总运费都是10040 元； 当 时， 城运往 乡200 吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关 键． 【变式训练1】哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248 吨物资从 伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20 辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、 小两种货车的载重量分别是每辆16 吨和10 吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9 量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为辆，且运往绥化 的物资不少于120 吨，那么一共有多少种运送方？其中那种方运费最省钱？ 【答】(1)大货车用8 辆，小货车用12 辆． (2)共有4 种方，使总运费最少的调配方是：5 辆大货车、4 辆小货车前往绥化地；3 辆大货 车、8 辆小货车前往鹤岗地． 【分析】（1）根据大、小两种货车共20 辆，以及两种车所运的货物的和是248 吨，据此 即可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为元就是各个费用的和，据此即可 写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120 吨，即可列出不等式求得的范围， 再根据是整数，即可确定的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方． 【详解】（1）设大货车用x 辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得 16x+10（20-x）=248， 解得x=8， 20-x=20-8=12． 答：大货车用8 辆，小货车用12 辆． （2）设运往绥化地的大货车是,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-），运往绥化地的 小货车是（9-），运往鹤岗地的小货车是（3+）， =620+700（8-）+400（9-）+550[12-（9-）] =70+10850， 则=70+10850（0≤≤8 且为整数）； 根据题意得：16+10（9-）≥120， 解得≥5， 又∵0≤≤8， 5≤≤8 ∴ 且为整数． =5 ∴ ，6，7，8，共有4 种方， =70+10850 ∵ ， k=70＞0，随的增大而增大， ∴当=5 时，最小． 答：共有4 种方，使总运费最少的调配方是：5 辆大货车、4 辆小货车前往绥化地；3 辆大 货车、8 辆小货车前往鹤岗地． 【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意 义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应 的函数值． 【变式训练2】某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10 张纸，其 中4 张彩色页，6 张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版 费与印数无关，价格为2200 元，印刷费与印数的关系见表． 印数（千册） 彩色（元/张） 21 2 黑白（元/张） 08 05 （1）若印制2 千册，则共需多少元？ （2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（ ）千册纪念册，且补 印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y． ②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？ 【答】（1）28600 元；（2）① ；②101200 元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页 的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答． （2）①分 和 两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得 到答；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即 可． 【详解】解：（1）∵印制的册数为2 千册， ∴彩色页的单价为21 元每张，彩色页的页数=2000×4=8000 页，黑白页的单价为08 元每张， 黑白页的页数=2000×6=12000 页， ∴需要的费用=2200+21×8000+08×12000=28600（元）， 故一共需要28600 元； （2）①第一种情况当 时， ， ，即 ， ∵ ， ∴ 即 ； 第二种情况当 时， ， 即 ， ∴ ， ②设两次一共需要印刷的册数为m，需要的钱数为，则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 ， 故当 ， 时所需要的的钱数最少为101200 元． 【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况 进行分析求解． 【变式训练3】某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下 面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数 （人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿 车 4 （1）如果单程租赁2 辆商务车和3 辆轿车共需付租金1320 元，求一辆轿车的单程租金为 多少元？ （2）某公司准备组织34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前 往．在不超载的情况下，怎样设计租车方才能使所付租金最少？ 【答】（1）租用一辆轿车的租金为 元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金 最少为 元． 【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x 元，并根据题意列方程求解即可． （2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以 及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二 则需要利用枚举法求解本题． 【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为 元． 由题意得： ． 解得 ， 答：租用一辆轿车的租金为 元． （2）方法1：①若只租用商务车，∵ ， ∴只租用商务车应租6 辆，所付租金为 （元）； ②若只租用轿车，∵ ， ∴只租用轿车应租9 辆，所付租金为 （元）； ③若混和租用两种车，设租用商务车 辆，租用轿车 辆，租金为 元． 由题意，得 由 ，得 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，且 为整数， ∵ 随 的增大而减小， ∴当 时， 有最小值 ，此时 ， 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为 元． 方法2：设租用商务车 辆，租用轿车 辆，租金为 元． 由题意，得 由 ，得 ，∴ ， ∵ 为整数，∴ 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方有： 不租商务车，则需租9 辆轿车，所需租金为 （元）； 租1 商务车，则需租7 辆轿车，所需租金为 （元）； 租2 商务车，则需租6 辆轿车，所需租金为 （元）； 租3 商务车，则需租4 辆轿车，所需租金为 （元）； 租4 商务车，则需租3 辆轿车，所需租金为 （元）； 租5 商务车，则需租1 辆轿车，所需租金为 （元）； 由此可见，最佳租车方是租用商务车辆和轿车辆， 此时所付租金最少，为 元． 【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求 列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类 讨论思想解答本题． 类型二、利润问题 例．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度． 某体育用品商店抓住商机，计划购进300 套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓 球拍的套数不超过150 套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 丘乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2 套乒乓球拍和1 套羽毛球拍需花费110 元，购进4 套乒乓球拍和3 套羽毛球拍需 花费260 元． (1)求出，b 的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购 进乒乓球拍x 套，售完这批体育用品获利y 元． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元（ ）， 羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才 能获利最大？ 【答】(1)的值为35，b 的值为40 (2)①y 与x 的函数关系式为 ，x 的取值范围为： ；②当 时，乒乓球拍购进100 套，羽毛球拍购进200 套能获利最大；当 时，乒乓球拍购 进150 套，羽毛球拍购进150 套能获利最大；当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ． 【分析】（1）根据购进2 套乒乓球拍和1 套羽毛球拍需花费110 元，购进4 套乒乓球拍和 3 套羽毛球拍需花费260 元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球 拍的套数不超过150 套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值 范围； ②根据总利润 乒乓球拍的利润 羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求 最值． 【详解】（1）根据题意： ， 解得 ， 答：的值为35，b 的值为40； （2）①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150 套， ∴ ， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴ ， 解得： ， 则x 的取值范围为： ， ∴y 与x 的函数关系式为 ，x 的取值范围为： ； ②由题意得： ， ∵ ， ∴当 即 时，y 随x 的增大而减小， ∴当 时，y 有最大值 ， ∴乒乓球拍购进100 套，羽毛球拍购进200 套能获利最大； 当 时，即 时，y 随x 的增大而增大， ∴当 时，y 有最大值 ， 乒乓球拍购进150 套，羽毛球拍购进150 套能获利最大； 当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等 量关系列出函数解析式和列出方程组． 【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙 两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8 元/kg；乙种产品的进货总金 额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种 产品的售价分别为12 元/kg 和18 元/kg． (1)求出0≤x≤2000 和x＞2000 时，y 与x 之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低 于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元（利润＝销售额一 成本），请求出（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为 该经销商设计出获得最大利润的进货方； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的 进货方下，甲、乙两种产品售价分别降低元/kg 和2 元/kg，全部售出后所获总利润不低于 15000 元，求的最大值． 【答】(1) ． (2) ；当购进甲产品2000 千克，乙产品4000 千克时，利润 最大为24000 元． (3) 的最大值为 ． 【分析】（1）分当 时，当 时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当 时，当 时，分别列出 与 的函数 关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后， 与 的关系式，并根据利润不低于15000，可得出 的取 值范围． 【详解】（1）当 时，设 ，根据题意可得， ， 解得 ， ； 当 时，设 ， 根据题意可得， ， 解得 ， ． ． （2）根据题意可知，购进甲种产品 千克， ， 当 时， ， ， 当 时， 的最大值为 ； 当 时， ， ， 当 时， 的最大值为 （元， 综上， ；当购进甲产品2000 千克，乙产品4000 千克时， 利润最大为24000 元． （3）根据题意可知，降价后， ， 当 时， 取得最大值， ，解得 ． 的最大值为 ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 【变式训练2】某电脑经销商，今年二，三月份 型和 型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月 份 15 20 4500 三月 份 20 10 3500 （1）直接写出每台 型电脑和 型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台，其中 型电脑的进货量不超过 型电 脑的2 倍．设购进 型电脑 台，这100 台电脑的销售总利润为 元． ①求 与 的关系式； ②该商店购进 型、 型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型 电脑60 台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使 这100 台电脑销售总利润最大的进货方． 【答】（1）100 元，150 元；（2）①y=-50x+15000；②购进34 台型电脑和66 台B 型电脑 的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50 时，购进34 台型电脑和66 台B 型电脑的销售利润 最大；②m=50 时，购进型电脑数量满足34≤x≤60 的整数时，均获得最大利润；③当50＜ m＜80 时，购进60 台型电脑和40 台B 型电脑的销售利润最大． 【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台B 型电脑的销售利润为b 元；根据题意列 出方程组求解， （2）①据题意得，y=-50x+15000， ②利用不等式求出x 的范围，又因为y=-50x+15000 是减函数，所以x 取34，y 取最大值， （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论， ①当0＜m＜50 时，y 随x 的增大而减小，②m=50 时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80 时，m-50＞0，y 随x 的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台B 型电脑的销售利润为b 元； 根据题意得 , 解得 故答是： 100 元，150 元． （2）①据题意得，y=100x+150（100-x）， 即 与 的关系式为y=-50x+15000， ②据题意得，100-x≤2x， 解得x≥ ， y=-50x+15000 ∵ ，-50＜0， y ∴随x 的增大而减小， x ∵为正整数， ∴当x=34 时，y 取最大值，则100-x=66， 即商店购进34 台型电脑和66 台B 型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x）， 即y=（m-50）x+15000， ≤x≤60，且x 为整数， 分三种情况讨论： ①当0＜m＜50 时，y 随x 的增大而减小， ∴当x=34 时，y 取最大值， 即商店购进34 台型电脑和66 台B 型电脑的销售利润最大． ②m=50 时，m-50=0，y=15000， ∵ ≤x≤60，且x 为整数， 34≤x≤60 ∴ ，且x 为整数， 即商店购进型电脑数量满足34≤x≤60 的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜80 时，m-50＞0，y 随x 的增大而增大， ∴当x=60 时，y 取得最大值． 即商店购进60 台型电脑和40 台B 型电脑的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解 题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断． 【变式训练3】今年两会，李克强总理点赞“地摊经济”称，地摊经济、小店经济是就业 岗位的重要来源，鼓励通过线上线下一体销售．据统计，武汉王家湾夜市和虎泉夜市等多 家夜市自五一假期以来，人流量、经济流通收入同比增长 ，服装行业的增长最为迅 速．记者了解到，两家夜市主要服装进货来源是佛山和广州两家服装批发厂，其中某种服 装的进货价格如下： 佛山服装批发 厂 广州服装批发厂 虎泉夜市 15 元/件 24 元/件 王家湾夜市 18 元/件 30 元/件 虎泉夜市现需服装 件，王家湾夜市需 件，最多可从佛山服装批发厂调进 件， 剩余的则从广州服装批发厂进货，若虎泉夜市从佛山进货 件，两家夜市的进货总费用为 元． （1） (括号内写出 的取值范围)； （2）请你设计一种进货方使两家夜市的进货总费用最少，并计算此时的最少费用； （3）六月份开始，广州服装厂与两家夜市签订长期协议，对虎泉夜市进货单价统一降低 元，对王家湾夜市进货单价统一降低 元，其中 ，试求此时两家夜市最少进货总 费用 关于 的函数关系式． 【答】（1）3x+240000（2000≤x≤5000，x 为自然数）；（2）虎泉夜市在佛山服装厂进货 2000 件，在广州服装厂进货3000 件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000 件，最少费用为 246000 元；（3） ． 【分析】（1）分别用x 表示出两家夜市从两地进货的数量，再将利润相加即可； （2）根据一次函数的性质得到当x=2000 时进货总费用最少； （3）分当0＜＜3 时，当=3 时，当0＜＜3 时三种情况，根据一次函数的增减性得出表达式 即可． 【详解】解：（1）由题可知，虎泉夜市从佛山进货x 件，则在广州服装批发厂进货 （5000-x）件， 王家湾夜市在佛山服装批发厂进