2020年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）

1/22 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果. 1/22 【详解】由 解得 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集 合，集合的交运算，属于基础题目. 2.若 ，则 （ ） A. 0 B. 1C D. 2 . 2/22 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为 ，所以 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设 ，则 ，由题意 ，即 ，化简得 ， 2/22 解得 （负值舍去）. 故选：C. 3/22 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计 算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运 算即可. 【详解】如图，从 5 个点中任取3 个有 共 种不同取法， 3 点共线只有 与 共2 种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 3/22 取到3 点共线的概率为 . 故选：A 4/22 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举 法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：°C）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 . 故选：D. 4/22 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） 5/22 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ， 设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦 长最短， 根据弦长公式最小值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. 5/22 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 6/22 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 ， 将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点， 所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中 档题. 8.设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 6/22 ，得到结果. 【详解】由 可得 ，所以 ， 所以有 ， 故选：B. 【点睛】 7/22 该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法 则，属于基础题目. 9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数 ，根据等 差数列求和公式即可求出． 【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇 数， 因为 ，解得 ， 所以输出的 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前 项和公式的应用，属 于基础题． 10.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ） . 7/22 A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 8/22 【分析】 根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果. 【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ， ， 因此， . 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ， 则 的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B【解析】 【分析】 由 是以P 为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设 ， 则 ，因为 ， 所以点 在以 为直径的圆上， 8/22 即 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故 ， 即 ，又 ， 所以 ， 解得 ，所以 9/22 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数 学运算能力，是一道中档题. 12.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质， 求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，得 ， 由正弦定理可得 ， ，根据圆截面性质 平面 ， ， 球 的表面积 . 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键， 9/22 考查计算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 10/22 13.若x，y 满足约束条件 则z=x+7y 的最大值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点A 的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： . 故答案 ：1． 为 10/22 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距 最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距 最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 14.设向量 ，若 ，则 ______________. 【答案】5 【解析】 11/22 【分析】 根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由 可得 ， 又因为 ， 所以 ， 即 ， 故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表 示，属于基础题目. 15.曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ， 得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为 ， ，所以切点坐标为 ， 所求的切线方程为 ，即 . 故答案为： . 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 16.数列 满足 ，前16 项和为540，则 ______________. 【答案】 11/22 【解析】 【分析】 对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项 用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论. 12/22 【详解】 ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， . 设数列 的前 项和为 ， ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学 计算能力，属于较难题. 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分. 17.某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90 元，50 元，20 元； 对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分 厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业 务，在两个分厂各试加工了100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 的 12/22 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 13/22 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为A 级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选 哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工 出来的 级品的概率为 ；（2）选甲分厂，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据两个频数分布表即可求出； （2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选 择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工 出来的一件产品为 级品的概率为 ； （2）甲分厂加工 件产品的总利润为 元， 所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件； 乙分厂加工 件产品的总利润为 元， 所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件． 故厂家选择甲分厂承接加工任务． 的 13/22 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出 决策，属于基础题． 18. 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若sinA+ sinC= ，求C. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 14/22 【分析】 （1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积 公式，即可得出结论；（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式， 化简得出有关 角的三角函数值，结合 的范围，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得 ， 的面积 ； （2） ， ， ， . 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求 解能力，属于基础题. 19.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； 14/22 （2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据已知可得 ，进而有 ，可得 ，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；（2 15/22 ）将已知条件转化为母线和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正 三角形 边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可 求出结论. 【详解】（1） 为圆锥顶点， 为底面圆心， 平面 ， 在 上， ， 是圆内接正三角形， ， ， ，即 ， 平面 平面 ， 平面 平面 ； （2）设圆锥的母线为，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ， ，解得 ， ， 在等腰直角三角形 中， ， 在 中， ， 三棱锥 的体积为 . 15/22 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平 面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算 能力，属于中档题. 20.已知函数 . （1）当 时，讨论 的单调性； 16/22 （2）若 有两个零点，求 的取值范围.【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调 增区间和减区间； （2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解， 令 ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当 时， ， ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以 的减区间为 ，增区间为 ； （2）若 有两个零点，即 有两个解， 从方程可知， 不成立，即 有两个解， 令 ，则有 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， 所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 且当 时， ， 16/22 而 时， ，当 时， ， 所以当 有两个解时，有 ， 所以满足条件的 的取值范围是： . 【点睛】 17/22 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性， 根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲 线 和直线 有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合 图形求得结果. 21.已知A、B 分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点， ，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点. 【答案】（1） ；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知 即可求得： ，问题得解. （2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方 程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： 17/22 ，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 18/22 由椭圆方程 可得： ， ， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设 ， 则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 . 18/22 同理可得：点 的坐标为 直线 的方程为： 19/22 ， 整理可得： 整理得： 故直线 过定点 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理 论证能力，属于难题. （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数．以坐标原点为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2） . 【解析】 【分析】 19/22 （1）利用 消去参数，求出曲线 的普通方程，即可得出结论； （2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相 加消去参数，得 普通方程，由 ，将曲线 20/22 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.【详解】（1）当 时，曲线 的参数 方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是 解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 20/22 [选修4—5：不等式选讲] 23.已知函数 ． 21/22 （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 【答案】（1）详解解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象； （2）作出函数 的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为 ，作出图象，如图所示： 21/22 （2）将函数 的图象向左平移个单位，可得函数 的图象，如图所示： 22/22 由 ，解得 ． 所以不等式的解集为 ． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结 合能力，属于基础题．