专题16 整式和一元一次方程含参问题(课堂学案及配套作业)(原卷版)

专题16 整式和一元一次方程含参问题（解析版） 第一部分 学 类型一 求单项式或多项式中指数或系数中的字母 1．（2022 秋•河北区期中）已知（m 1 ﹣）|m+1|b3是关于、b 的五次单项式，则m 的值为（ ） ．﹣1 B．1 ．﹣3 D．3 思路引领：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；绝对值等于一个正数的数有两个，它 们互为相反数． 解：∵（m 1 ﹣）|m+1|b3是关于、b 的五次单项式， | ∴m+1|＝2，， ∴m+1＝±2， ∴m＝1 或m＝﹣3， ∵m 1≠0 ﹣ ， ∴m＝﹣3， 故选：． 总结提升：本题考查单项式次数的概念，绝对值的概念，关键是掌握：单项式所有字母的指数的和叫做 单项式的次数；绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数． 2．（2022 秋•市南区校级期中）已知，b 满足| 2|+ ﹣ （b+3）2＝0，则单项式﹣5πx﹣by 的系数和次数分别是 （ ） ．﹣5π，5 B．﹣5π，6 ．﹣5，7 D．﹣5，6 思路引领：利用非负数的性质可得＝2，b＝﹣3，然后再利用单项式系数和次数定义可得答． 解：∵| 2|+ ﹣ （b+3）2＝0， 2 ∴﹣＝0，b+3＝0， 解得：＝2，b＝﹣3， ∴单项式﹣5πx﹣by 的系数是﹣5π， 次数是﹣b+1＝2+3+1＝6， 故选：B． 总结提升：此题主要考查了单项式，以及非负数的性质，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的 系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 3．（2021 秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy 4 ﹣x+1 六次四项式，单项式5x2y6﹣m与多项式 的次数相同，（m，是常数），则m＝ ． 思路引领：利用多项式的次数定义得出m 的值，进而利用单项式的次数得出的值，即可得出答． 解：∵多项式（m+4）x|m|y2+xy 4 ﹣x+1 六次四项式，单项式5x2y6﹣m与多项式的次数相同， | ∴m|+2＝6 且m+4≠0，2+6﹣m＝6， 解得m＝4，＝2， 则m＝42＝16． 故答为：16． 总结提升：此题主要考查了多项式与单项式，正确把握多项式次数的定义是解题关键． 4．（2021 秋•清镇市校级期中）多项式3x|m|y2﹣（m+2）x+1 是一个四次三项式，那么m＝ ． 思路引领：直接利用多项式的次数与项数的确定方法得出答． 解：∵多项式3x|m|y2﹣（m+2）x+1 是一个四次三项式， | ∴m|+2＝4，m+2≠0， 解得：m＝2． 故答为：2． 总结提升：此题主要考查了多项式，正确确定多项式的次数与项数是解题关键． 5．（2021 秋•克东县校级期中）已知多项式x 3 ﹣xym+1+x3y 3 ﹣x4 1 ﹣是五次多项式，则m＝ ． 思路引领：先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数． 解：∵多项式x 3 ﹣xym+1+x3y 3 ﹣x4 1 ﹣是五次多项式， 1+ ∴ m+1＝5， 解得：m＝3． 故答为：3． 总结提升：此题主要考查了多项式的次数，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次 数． 6．（2021 秋•通城县期中）已知多项式﹣2m32 5 ﹣中，含字母的项的系数为，多项式的次数为b，常数为， 则+b+＝ ． 思路引领：首先利用多项式的系数、次数及常数项确定、b、的值，然后求和即可． 解：∵多项式﹣2m32 5 ﹣中，含字母的项的系数为，多项式的次数为b，常数项为， ∴＝﹣2，b＝5，＝﹣5， + ∴b+＝﹣2+5 5 ﹣＝﹣2， 故答为：﹣2． 总结提升：考查了多项式的系数、次数及常数项的知识，正确的确定、b、的值是解答本题的关键． 7．（2021 秋•陇县期末）多项式1 2 x ¿m∨¿−(m+2)¿x+7 是关于x 的二次三项式，则m＝ ． 思路引领：由于多项式是关于x 的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定 m 的值． 解：∵多项式是关于x 的二次三项式， | ∴m|＝2， ∴m＝±2， 但﹣（m+2）≠0， 即m≠ 2 ﹣， 综上所述，m＝2，故填空答：2． 总结提升：本题解答时容易忽略条件﹣（m+2）≠0，从而误解为m＝±2． 二、求同类项中指数的字母及代数式 8．（2022 秋•武汉期中）若3x 1 ﹣b2与43by+2是同类项，则x，y 的值分别是（ ） ．x＝4，y＝0 B．x＝4，y＝2 ．x＝3，y＝1 D．x＝1，y＝3 思路引领：根据同类项的定义即可求出答． 解：∵3x 1 ﹣b2与43by+2是同类项， ∴x 1 ﹣＝3，y+2＝2， 解得x＝4，y＝0． 故选：． 总结提升：本题考查同类项．解题的关键是熟练运用同类项的定义．同类项的定义：所含字母相同，并 且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 9．（2022 秋•巴彦县期中）若﹣3x2my3与2x4y 是同类项，则m＝（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 思路引领：根据同类项的定义得到2m＝4，＝3，解得即可． 解：根据题意得2m＝4，＝3， 解得：m＝2，＝3， 所以m＝8， 故选：． 总结提升：本题考查了同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 10．（2021 秋•丰宁县期末）如果单项式﹣3x+3y2与2xyb 3 ﹣能合并成一项，那么b 的结果为（ ） ．10 B．﹣10 ．﹣12 D．12 思路引领：根据题意可知两个单项式是同类项，然后可求得m、的值即可． 解：∵单项式﹣3x+3y2与2xyb 3 ﹣能合并成一项， ∴单项式﹣3x+3y2与2xyb 3 ﹣是同类项． +3 ∴ ＝1，b 3 ﹣＝2． 解得；＝﹣2，b＝5． ∴b＝﹣2×5＝﹣10． 故选：B． 总结提升：本题主要考查的是同类项的定义、求代数式的值，求得m、的值是解题的关键． 11．（2022 秋•营口期中）单项式2mb1 2 ﹣与3b9的和是单项式，则（m+）2022＝（ ） ．1 B．﹣1 ．0 D．0 或1 思路引领：根据同类项的概念求解． 解：∵单项式2mb1 2 ﹣与3b9的和是单项式， ∴单项式2mb1 2 ﹣与3b9是同类项， 则m＝3，1 2 ﹣＝9， 解得m＝3，＝﹣4， 则（m+）2022＝﹣1． 故选：B． 总结提升：本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母 的指数相同． 12．（2021 秋•射阳县校级期末）若3xm+5y2与23x8y+4的差是一个单项式，则代数式m的值为（ ） ．﹣8 B．6 ．﹣6 D．8 思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，的值，然后代入式子 中进行计算即可解答． 解：由题意得： m+5＝8，+4＝2， ∴m＝3，＝﹣2， ∴m＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：． 总结提升：本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 类型三 整式加减中的取值无关或不含某项问题 13．（2021 秋•八步区期末）x2+x 2 ﹣y+7﹣（bx2 2 ﹣x+9y 1 ﹣）的值与x 的取值无关，则b﹣的值为（ ） ．﹣3 B．3 ．﹣1 D．1 思路引领：先利用去括号的法则及合并同类项的法则进行运算，再结合条件相应的系数为0，从而可求 解． 解：x2+x 2 ﹣y+7﹣（bx2 2 ﹣x+9y 1 ﹣） ＝x2+x 2 ﹣y+7﹣bx2+2x 9 ﹣y+1 ＝（1﹣b）x2+（+2）x 11 ﹣ y+8， ∵结果的值与x 的取值无关， 1 ∴﹣b＝0，+2＝0， 解得：b＝1，＝﹣2， ∴b﹣＝1﹣（﹣2）＝3． 故选：B． 总结提升：本题主要考查整式的加减，解答的关键是对去括号的法则及合并同类项的法则的掌握． 14．（2021 秋•澄海区期末）若代数式x2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y 1 ﹣）的值与x 的取值无关，则+b 的值为 （ ） ．6 B．﹣6 ．2 D．﹣2 思路引领：先去括号，再合并同类项，令x2和x 项系数为0，可解得、b 的值，即可得答． 解：x2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y 1 ﹣） ＝x2+4x﹣y+3 2 ﹣x2+bx 5 ﹣y+1 ＝（﹣2）x2+（4+b）x 6 ﹣y+4， ∵x2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y 1 ﹣）的值与x 的取值无关， 2 ∴﹣＝0 且4+b＝0， ∴＝2，b＝﹣4， + ∴b＝﹣2， 故选：D． 总结提升：本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则及代数式的值与x 无关， 则含x 的项的系数为0． 15．（2021 秋•吉安县期末）已知：＝3x2+2xy+3y 1 ﹣，B＝x2﹣xy． （1）计算：﹣3B； （2）若（x+1）2+|y 2| ﹣＝0，求﹣3B 的值； （3）若﹣3B 的值与y 的取值无关，求x 的值． 思路引领：（1）把与B 代入﹣3B 中，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值； （3）﹣3B 变形后，由值与y 无关，确定出x 的值即可． 解：（1）﹣3B＝（3x2+2xy+3y 1 ﹣）﹣3（x2﹣xy） ＝3x2+2xy+3y 1 3 ﹣﹣x2+3xy ＝5xy+3y 1 ﹣； （2）由题意可知：（x+1）2＝0，|y 2| ﹣＝0， ∴x+1＝0，y 2 ﹣＝0， ∴x＝﹣1，y＝2， 3 ∴﹣B＝5×（﹣1）×2+3×2 1 ﹣ ＝﹣5； （3）由题意可知：5x+3＝0， ∴x=−3 5 ． 总结提升：本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 16．（2021 秋•五莲县期末）当k＝ 时，多项式x2+（k 1 ﹣）xy 3 ﹣y2 2 ﹣xy 5 ﹣中不含xy 项． 思路引领：不含有xy 项，说明整理后其xy 项的系数为0． 解：整理只含xy 的项得：（k 3 ﹣）xy， ∴k 3 ﹣＝0，k＝3． 故答为：3． 总结提升：本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0． 类型四 求一元一次方程中指数或系数中的字母的值 17．（2021 秋•长沙期末）若（m 3 ﹣）x2|m| 5 ﹣ 4 ﹣m＝0 是关于x 的一元一次方程，求m2 2 ﹣m+1 的值． 思路引领：根据一元一次方程的定义，判断出x 的次数为1 且系数不为0，求出m 的值，再代入m2﹣ 2m+1 即可． 解：∵（m 3 ﹣）x2|m| 5 ﹣ 4 ﹣m＝0 是关于x 的一元一次方程， 2| ∴m| 5 ﹣＝1 且m 3≠0 ﹣ ， 解得m＝﹣3，原式＝（﹣3）2 2× ﹣ （﹣3）+1＝16． 总结提升：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 18．（2021 秋•巨野县期末）如果方程x|+1|+3＝0 是关于x 的一元一次方程，则的值为 ． 思路引领：根据一元一次方程的定义得到|+1|＝1 且≠0，据此求得的值． 解：∵方程x|+1|+3＝0 是关于x 的一元一次方程， |+1| ∴ ＝1 且≠0， 解得＝﹣2． 故答是：﹣2． 总结提升：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 19．（2021 秋•阳信县期末）若（﹣3）x|| 2 ﹣ 7 ﹣＝0 是一个关于x 的一元一次方程，则等于 ． 思路引领：根据一元一次方程的定义可以得到的值，从而可以解答本题． 解：∵（﹣3）x|| 2 ﹣ 7 ﹣＝0 是一个关于x 的一元一次方程， ∴{ a−3≠0 ¿a∨−2=1， 解得，＝﹣3， 故答为：﹣3． 总结提升：本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元一次方程中未知数的次数是一次． 类型五 两个一元一次方程的解相关问题 20．（2021 秋•和平县期末）已知关于x 的一元一次方程 x 2020 +¿5＝2020x+m 的解为x＝2021，那么关于y 的一元一次方程10−y 2020 −¿5＝2020（10﹣y）﹣m 的解为 ． 思路引领：方程 x 2020 +¿5＝2020x+m 可整理得： x 2020−¿2020x＝m 5 ﹣，则该方程的解为x＝2021，方 程10−y 2020 −¿5＝2020（10﹣y）﹣m 可整理得：10−y 2020 −¿2020（10﹣y）＝﹣m+5，令＝10﹣y，则原方 程可整理得： n 2020−¿2020＝5﹣m，则＝﹣2021，得到关于y 的一元一次方程，解之即可． 解：根据题意得： 方程 x 2020 +¿5＝2020x+m 可整理得： x 2020−¿2020x＝m 5 ﹣， 则该方程的解为x＝2021， 方程10−y 2020 −¿5＝2020（10﹣y）﹣m 可整理得：10−y 2020 −¿2020（10﹣y）＝﹣m+5， 令＝10﹣y， 则原方程可整理得： n 2020−¿2020＝5﹣m， 则＝﹣2021， 即10﹣y＝﹣2021， 解得：y＝2031． 故答为：y＝2031． 总结提升：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键． 21．（2022 秋•宿城区期中）关于x 的方程x+4＝1 2 ﹣x 的解恰好为方程2x 1 ﹣＝5 的解，则＝ ． 思路引领：求出第二个方程的解得到x 的值，代入第一个方程计算即可求出的值． 解：方程2x 1 ﹣＝5， 解得：x＝3， 把x＝3 代入得：3+4＝1 6 ﹣， 解得：＝﹣3， 故答为：﹣3 总结提升：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 22．（2021 秋•渭城区期末）已知关于x 的方程x−m 2 =¿x+m 3 与方程x−1 2 =¿3x 2 ﹣的解互为倒数，则m 的值为 ． 思路引领：先方程x−1 2 =¿3x 2 ﹣的解求出，然后将x 的倒数求出后代入原方程求出m 的值． 解：解方程x−1 2 =¿3x 2 ﹣，得x¿ 3 5， 解方程x−m 2 =¿x+m 3 ，得x=−5m 3 ， 由题意可知，x¿ 5 3是程x−m 2 =¿x+m 3 的解， ∴−5m 3 =5 3， 解得：m＝﹣1， 故答为：﹣1． 总结提升：本题考查一元一次方程的解，涉及一元一次方程的解法，属于基础题型． 23．（2022 春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为 “友好方程”，如：方程2x＝6 和3x+9＝0 为“友好方程”． （1）若关于x 的方程3x+m＝0 与方程2x 6 ﹣＝4 是“友好方程”，求m 的值． （2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值． 思路引领：（1）求得方程2x 6 ﹣＝4 解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程3x+m＝0 的解，利用 方程解的定义解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣，再利用定义列出关于的等式解答即可． 解：（1）方程2x 6 ﹣＝4 解为x＝5， ∵关于x 的方程3x+m＝0 与方程2x 6 ﹣＝4 是“友好方程”， ∴关于x 的方程3x+m＝0 的解为x＝﹣5， 3× ∴ （﹣5）+m＝0， ∴m＝15； （2）∵某“友好方程”的一个解为， “ ∴友好方程”的另一个解为﹣， ∴﹣（﹣）＝6 或﹣﹣＝6， ∴＝3 或＝﹣3． ∴＝±3． 总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟 练应用新定义解答是解题的关键． 六、一元一次方程的整数解问题 24．（2021 秋•巫溪县期末）从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3 中选一个数作为k 的值，使得关于x 的方程 1−2 x−k 4 =2 x+k 3 −x的解为整数，则所有满足条件的k 的值的积为（ ） ．﹣4 B．﹣12 ．18 D．36 思路引领：先解出一元一次方程得x＝6−k 2 ，再由题意求出k 的值即可． 解：1−2 x−k 4 =2 x+k 3 −x， 12 3 ﹣（2x﹣k）＝4（2x+k）﹣12x， 12 6 ﹣x+3k＝8x+4k 12 ﹣ x， 6 ﹣x 8 ﹣x+12x＝4k 3 ﹣k 12 ﹣ ， 2 ﹣x＝k 12 ﹣ ， ∴x＝6−k 2 ， ∵方程的解为整数， ∴k＝﹣2，2， ∴所有满足条件的k 的值的积﹣4， 故选：． 总结提升：本题主要考查一元一次方程的解法，关键是要能通过方程的解确定k 的值是解题的关键． 25．（2022 秋•渝北区校级期中）若关于x 的方程5x 3 ﹣＝kx+4 有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和 为（ ） ．20 B．6 ．4 D．2 思路引领：先求得x 的值，再根据题意得出整数k 的值． 解：由5x 3 ﹣＝kx+4，得（5﹣k）x＝7， 解得x¿ 7 5−k ， ∵关于x 的方程5x 3 ﹣＝kx+4 有整数解， 5 ∴﹣k＝﹣7 或﹣1 或1 或7， ∴k＝12 或6 或4 或﹣2， 12+6+4+（﹣2）＝20． 故选：． 总结提升：本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 26．（2021 秋•监利市期末）已知关于x 的一元一次方程kx＝4﹣x 的解为正整数，则满足条件的k 的正整 数值是 ． 思路引领：移项合并可得（k+1）x＝4，由此可判断出k 所能取得的整数值． 解：将原方程变形得kx+x＝4 即（k+1）x＝4， ∵关于x 的方程kx＝4﹣x 的解为正整数， ∴k+1 也为正整数且与x 的乘积为4， 可得到k+1＝4 或k+1＝2 或k+1＝1， 解得k＝3 或k＝1 或k＝0（舍去）． 故k 可以取得的整数解为1、3， 故答为：1、3． 总结提升：本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 27．（2021 秋•黄陂区期末）下列说法： ①若x＝2 是关于x 的方程x+b＝0 的解，则b＝﹣2；②若＝2b，则关于x 的方程x+b＝0（≠0）的解为 x=−1 2 ；③若≠b，则关于x 的方程（x 1 ﹣）＝b（x 1 ﹣）的解为x＝1；④若2+b＝6（为正整数），且 关于x 的方程x+b＝0 的解为整数，则的值为1 或2．其中一定正确的结论有 （填序号即可）． 思路引领：根据一元一次方程的解的定义，依次分析①②③④，选出结论正确的序号即可． 解：①若x＝2 是关于x 的方程x+b＝0 的解，则b＝﹣2，成立，故①正确， ②若＝2b，则关于x 的方程x+b＝0（≠0）的解为x=−1 2 ，成立，故②正确， ③若≠b，则关于x 的方程（x 1 ﹣）＝b（x 1 ﹣）的解为x＝1，成立，故③正确， ④若2+b＝6（为正整数），且关于x 的方程x+b＝0 的解为整数，则的值为1 或2 或3 或6，故④错误， 结论正确个数有①②③， 故答