题型9 2次函数综合题（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型九二次函数综合题（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 二次函数的综合 1、函数存在性问题 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式 设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符 合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似 等有关的二次函数综合题． （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运 动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到 大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是 多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后 结合题干中与动点有关的条件进行计算． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数 ． (1)当 时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当 时，求 的取值范围． (2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答】(1)① ；②当 时， ；(2) 【分析】（1）①将 代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点 ，根据二次函数的增减性，得出当 时， 有最大值7，当 时取 得最小值，即可求解； （2）根据题意 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，得出抛物线的对称轴 在 轴的右侧，即 ，由抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，可知 ， 根据顶点坐标的纵坐标为3，求出 ，即可得解． 【详解】（1）解：①当 时， ， ∴顶点坐标为 ． ②∵顶点坐标为 ．抛物线开口向下， 当 时， 随 增大而增大， 当 时， 随 增大而减小， ∴当 时， 有最大值7． 又 ∴当 时取得最小值，最小值 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴当 时， ． （2）∵ 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3， ∴抛物线的对称轴 在 轴的右侧， ∴ ， ∵抛物线开口向下， 时， 的最大值为2， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴二次函数的表达式为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练 掌握二次函数的性质是解题的关键． 2 已知抛物线 的对称轴为直线 ． （1）求的值； （2）若点M（x1，y1），（x2，y2）都在此抛物线上，且 ， ．比较 y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线 与抛物线 交于点、B，与抛物线 交于点，D，求线段B 与线段D 的长度之比． 【答】（1） ；（2） ，见解析；（3） 【分析】 （1）根据对称轴 ，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）先根据求根公式计算出 ，再表示出 ， = ，即可得出结论 【详解】 解：（1）由题意得： （2） 抛物线对称轴为直线 ，且 当 时，y 随x 的增大而减小， 当 时，y 随x 的增大而增大． 当 时，y1随x1的增大而减小， 时， ， 时， 同理： 时，y2随x2的增大而增大 时， ． 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）令 令 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm B 与D 的比值为 【点睛】 本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次 函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 3 已知抛物线 ． (1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交 于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ， 以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交 点，求 的取值范围． 【答】(1)① ，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析 (2)b< 或b> 【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线B 的解析式，设点M(m，m-3) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点P（m，m2-2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解 即可； （2）先用待定系数法求出的值，再利用勾股定理求出D 的长为5，因为四边形DFE 是菱 形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（E 在抛物 线内和E 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围． (1) ①解：把 ， 代入 ，得 ， 解得： ， ∴ ②解：存在，理由如下， 设直线B 的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y=x-3， 设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3） 若点 是线段 的三等分点， 则 或 ， 即 或 ， 解得：m=2 或m= 或m=3， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 经检验，m=3 是原方程的增根，故舍去， m=2 ∴ 或m= ∴点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ） (2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得=4， ∴直线 ， 当x=0 时，y=4，即点（0，4） D= ∴ =5， ∵四边形DFE 是菱形， E=EF=DF=D=5 ∴ ， ∴点E（5，4） ∵点 在抛物线 上， ∴（-3）2-3b+=0， =3b-9 ∴ ， ∴ ， ∵该抛物线与线段 没有交点， 分情况讨论 当E 在抛物线内时 52+5b+3b-9<4 解得：b< 当E 在抛物线右侧时， 3b-9>4 解得：b> 综上所述，b< 或b> 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情 况讨论． 4 在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋经过点（－1，0）和点B（0， 3），顶点为，点D 在其对称轴上，且位于点下方，将线段D 绕点D 按顺时针方向旋转 90°，点落在抛物线上的点P 处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P 的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点 M，使得MP＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转 的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析 式求出 的值，由此即可得； （3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式， 由此即可得出答． (1)解：将点 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ． (2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为 ， 设点 的坐标为 ，则 ， 由旋转的性质得： ， ，即 ， 将点 代入 得： ， 解得 或 （舍去）， 当 时， ， 所以点 的坐标为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)解：抛物线 的顶点 的坐标为 ， 则将其先向左平移1 个单位长度，再向下平移4 个单位长度恰好落在原点 ， 这时点 落在点 的位置，且 ， ，即 ，恰好在对称轴直线 上， 如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 则 ， 由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小， 即 的值最小， 由轴对称的性质得： ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ， 解得 ， 则直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ， 故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标 的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． 5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两 点，与 轴交于 点，其中 ， ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不 存在，请说明理由； (3)点 是对称轴上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值 范围． 【答】(1) ；(2) 或 或 ；(3) 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当 是直角三角形时的 的值，进而观察图象，即可求解，分 和 两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得 解得： ∴抛物线解析式为 ； （2）∵ ， 顶点坐标为 ， 当 时， 解得： ∴ ，则 ∵ ，则 ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ∴ 到 的距离等于 到 的距离， ∵ ， ，设直线 的解析式为 ∴ 解得： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴直线 的解析式为 ， 如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， 设 的解析式为 ，将点 代入得， 解得： ∴直线 的解析式为 ， 解得： 或 ∴ ， ∵ ∴ ∴ 是等腰直角三角形，且 ， 如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符合题意的点 在直线 上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 联立 解得： 或 ∴ 或 综上所述， 或 或 ； （3）①当 时，如图所示，过点 作 交 于点 ， 当点 与点 重合时， 是直角三角形， 当 时， 是直角三角形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 交 于点 ， ∵直线 的解析式为 ， 则 ， ∴ , ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ ， 设 ，则 ∵ ∴ 解得： （舍去）或 ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是锐角三角形 ∴ ； 当 时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得： 或 （舍去） 由（2）可得 时， ∴ 综上所述，当 是锐角三角形时， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质 是解题的关键． 6 抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，且 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于直线 上方的一点， 与 相交于点E，当 时，求点P 的坐标； （3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 方向平移，使点D 落在点 处，且 ，点M 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点， 轴交直线 于点，连结 ．当 的值最小时，求 的长． 【答】（1） ；（2） 或 ；（3） ． 【分析】 （1）利用待定系数法即可得； （2）设点 的坐标为 ，先利用待定系数法求出直线 的解析式，再 根据 可得点 的坐标，代入直线 的解析式求解即可得； （3）先根据 求出点 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后 的函数解析式，设点 的坐标，从而可得点 的坐标，然后根据两点之间的距离公式可 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 得 ，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】 解：（1）由题意，将点 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ； （2）对于二次函数 ， 当 时， ，解得 或 ， ， 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ，解得 ， ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 将点 代入得： ， 解得 或 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 综上，点 的坐标为 或 ； （3）二次函数 的顶点 坐标为 ， 设点 的坐标为 ， ， ，解得 ， ， 则平移后的二次函数的解析式为 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， 如图，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 于点 ，连接 ， ， 轴， ， ， 由两点之间线段最短得： 的最小值为 ， 由垂线段最短得：当点 与点 重合时， 取得最小值 ，此时点 与点 重合， 则点 的纵坐标与点 的纵坐标相等， 即 ，解得 ， 则 ， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短 等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 7 已知二次函数 ，其中 ． (1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标； (2)求证：二次函数 的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运 动，平移后所得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值． 【答】(1) (2)见解析 (3)最大值为 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式 即可得到答； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为 ，然后分别证明顶点坐标 的横纵坐标都小于0 即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线 上推出 ，过点 作 ，垂足为 ，可以推出 ,由此即可 求解． (1) 解：将 代入 ， 解得 ． 由 ，则 符合题意， ∴ ， ∴ ． (2) 解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴二次函数 的顶点在第三象限． (3) 解：设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 当 时， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 将 代入 ， 解得 ． ∵ 在 轴的负半轴上， ∴ ． ∴ ． 过点 作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ ． 在 中， , ∴当 时，此时 ， 面积有最大值，最大值为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平 移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 8 二次函数 的图象经过点 ， ，与y 轴交于点，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点Q，过点P 作 轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，当 时，求直线 的表达式； （3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理 由． 【答】（1） ；（2） ；（3） 有最大值为 ，P 点坐 标为 【分析】 （1）将 ， 代入 中，列出关于、b 的二元一次方程 组，求出、b 的值即可； （2）设 与y 轴交于点E，根据 轴可知， ，当 ，即 ，由此推断 为等腰三角形，设 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ，所以 ，由勾股定理得 ，解出点E 的坐标， 用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可； （3）设 与 交于点，过B 作y 轴的平行线与 相交于点M．由、两点坐标可得 所在直线表达式，求得 M 点坐标，则 ，由 ，可得 ， ，设 ，则 ，根据二次函 数性质求解即可． 【详解】 解：（1）由题意可得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为 ； （2）设 与y 轴交于点E， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 轴， ， ， ， ， ，设 ， 则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ， 解得 ， ， 设 所在直线表达式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ∴直线 的表达式为 ． （3）设 与 交于点． 过B 作y 轴的平行线与 相交于点M． 由、两点坐标分别为 ， 可得 所在直线表达式为 M ∴ 点坐标为 ， 由