题型9 二次函数综合题 类型1 二次函数公共点问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 二次函数公共点问题（专题训练） 1．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知： 关于 的函数 ． (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线 交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于 点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ． ①当点 为抛物线顶点时，求 的面积； ②探究直线在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，说明理由． 【答】(1)0 或2 或 ；(2) 6 ①，②存在， 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候， 按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值． （2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度，再利用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点 坐标，从而求出 长度，最后利用面积法即可求出 的面积． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割 补法表示出 和 ，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可 求出 的最小值． 【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时， ， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述， 或0． 故答为：0 或2 或 ． （2）解：①如图所示，设直线与 交于点 ，直线与 交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 依题意得： ，解得： 抛物线的解析式为： ． 点 为抛物线顶点时， ， ， ， ， 由 ， 得直线 的解析式为 ， 在直线 上，且在直线上，则 的横坐标等于 的横坐标， ， ， ， ， ． 故答为：6． ② 存在最大值，理由如下：如图，设直线 交 轴于 ． 由①得： ， ， ， ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面 积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及 二次函数最值问题． 2．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重 研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和 形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结 合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数 （实数 为常数）的图象为图象 ． (1)求证：无论 取什么实数，图象 与 轴总有公共点； (2)是否存在整数 ，使图象 与 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 的值；若 不存在，请说明理由． 【答】(1)见解析；(2) 或 或 或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）分 与 两种情况讨论论证即可； （2）当 时，不符合题意，当 时，对于函数 ， 令 ，得 ，从而有 或 ，根据整数 ， 使图象 与 轴的公共点中有整点，即 为整数，从而有 或 或 或 或 或 或 或 ，解之即可． 【详解】（1）解：当 时， ，函数 为一次 函数 ，此时，令 ，则 ，解得 ， ∴一次函数 与 轴的交点为 ； 当 时， ，函数 为二次函数， ∵ ， ∴ ， ∴当 时， 与 轴总有交点， ∴无论 取什么实数，图象 与 轴总有公共点； （2）解：当 时，不符合题意， 当 时，对于函数 ， 令 ，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ 或 ∴ 或 ， ∵ ，整数 ，使图象 与 轴的公共点中有整点，即 为整数， ∴ 或 或 或 或 或 或 或 ， 解得 或 或 （舍去）或 （舍去）或 或 或 （舍去）或 （舍去）， ∴ 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次 函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数 的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 3 已知抛物线 （ ， ，是常数）， ，下列四个结论： ①若抛物线经过点 ，则 ； ②若 ，则方程 一定有根 ； ③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点； ④点 ， 在抛物线上，若 ，则当 时， ． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答】①②④ 【分析】 ①将 代入解析式即可判定；②由b=，可得=-2，x2+bx+=0 可得x2+x-2=0，则 原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4≤0 时，图像与x 轴少于两个公共 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点，只有一个关于，b，的方程，故存在、b、使b2-4≤0≤0，故③错误；④若0<<，则 有b<0 且|b|>||>||，|b|>2||，所以对称轴 ，因为>0 在对称轴左侧，函数单调 递减，所以当x1<x2<1 时，y1>y2，故④正确． 【详解】 解：∵抛物线经过点 ∴ ，即9-3b+=0 ∵ b=2 ∴ 故①正确； b= ∵ ， =-2 ∴ ， x ∵ 2+bx+=0 x ∴ 2+x-2=0，即x2+x-2=0 ∴一定有根x=-2 故②正确； 当b2-4≤0 时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于、b、的方程，故存在、b、使 b2-4≤0，故③错误； 若0<<，则有b<0 且|b|>||>||，|b|>2||，所以对称轴 ，因为>0 在对称轴左侧， 函数单调递减，所以当x1<x2<1 时，y1>y2，故④正确． 故填：①②④． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质 成为解答本题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 已知抛物线 ． (1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交 于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ， 以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交 点，求 的取值范围． 【答】(1)① ，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析 (2)b< 或b> 【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线B 的解析式，设点M(m，m-3) 点P（m，m2-2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解 即可； （2）先用待定系数法求出的值，再利用勾股定理求出D 的长为5，因为四边形DFE 是菱 形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（E 在抛物 线内和E 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围． (1) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①解：把 ， 代入 ，得 ， 解得： ， ∴ ②解：存在，理由如下， 设直线B 的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y=x-3， 设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3） 若点 是线段 的三等分点， 则 或 ， 即 或 ， 解得：m=2 或m= 或m=3， 经检验，m=3 是原方程的增根，故舍去， m=2 ∴ 或m= ∴点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ） (2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得=4， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴直线 ， 当x=0 时，y=4，即点（0，4） D= ∴ =5， ∵四边形DFE 是菱形， E=EF=DF=D=5 ∴ ， ∴点E（5，4） ∵点 在抛物线 上， ∴（-3）2-3b+=0， =3b-9 ∴ ， ∴ ， ∵该抛物线与线段 没有交点， 分情况讨论 当E 在抛物线内时 52+5b+3b-9<4 解得：b< 当E 在抛物线右侧时， 3b-9>4 解得：b> 综上所述，b< 或b> 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情 况讨论 5 已知抛物线 经过点（0，2），且与 轴交于、B 两点．设k 是抛物线 与 轴交点的横坐标；M 是抛物线 的点，常数m>0，S 为△BM 的面积．已知使S=m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求的值；(2)直接写出T 的值；(3)求 的值． 【答】(1)2(2) (3) 【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M 的纵坐标之间的而关系， 即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出 ， ，带入原式即可求解． (1)解：∵将点（0，2）带入 得： ． (2)由（1）可知，抛物线的解析式为 ， ∵当S=m 时恰好有三个点M 满足， ∴必有一个M 为抛物线的顶点，且M 纵坐标互为相反数． 当 时， ． 即此时M（ ， ），则另外两个点的纵坐标为 ． ∴ ． (3)由题可知， ，则 ∴ 则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题 目，灵活运用代数计算是解题的关键． 6 已知抛物线 的对称轴为直线 ． （1）求的值； （2）若点M（x1，y1），（x2，y2）都在此抛物线上，且 ， ．比较 y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线 与抛物线 交于点、B，与抛物线 交于点，D，求线段B 与线段D 的长度之比． 【答】（1） ；（2） ，见解析；（3） 【分析】 （1）根据对称轴 ，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 （3）先根据求根公式计算出 ，再表示出 ， = ，即可得出结论 【详解】 解：（1）由题意得： （2） 抛物线对称轴为直线 ，且 当 时，y 随x 的增大而减小， 当 时，y 随x 的增大而增大． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时，y1随x1的增大而减小， 时， ， 时， 同理： 时，y2随x2的增大而增大 时， ． 时， （3）令 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 令 B 与D 的比值为 【点睛】 本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次 函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 7 抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，且 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于直线 上方的一点， 与 相交于点E，当 时，求点P 的坐标； （3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 方向平移，使点D 落在点 处，且 ，点M 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点， 轴交直线 于点，连结 ．当 的值最小时，求 的长． 【答】（1） ；（2） 或 ；（3） ． 【分析】 （1）利用待定系数法即可得； （2）设点 的坐标为 ，先利用待定系数法求出直线 的解析式，再 根据 可得点 的坐标，代入直线 的解析式求解即可得； （3）先根据 求出点 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后 的函数解析式，设点 的坐标，从而可得点 的坐标，然后根据两点之间的距离公式可 得 ，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】 解：（1）由题意，将点 代入 得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， 则抛物线的解析式为 ； （2）对于二次函数 ， 当 时， ，解得 或 ， ， 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ，解得 ， ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ， 解得 或 ， 当 时， ，此时 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ，此时 ， 综上，点 的坐标为 或 ； （3）二次函数 的顶点 坐标为 ， 设点 的坐标为 ， ， ，解得 ， ， 则平移后的二次函数的解析式为 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， 如图，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 轴， ， ， 由两点之间线段最短得： 的最小值为 ， 由垂线段最短得：当点 与点 重合时， 取得最小值 ，此时点 与点 重合， 则点 的纵坐标与点 的纵坐标相等， 即 ，解得 ， 则 ， ， ． 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 8 已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， ． （1）求 的值（用含 的代数式表示）； （2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值； （3）将线段 向右平移2 个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一个交点，求 的取值范围． 【答】（1） ；（2） ；（3） 【分析】 （1）利用待定系数法将点、B 的坐标代入即可 （2）根据抛物线图像分析得在 范围内， 的最大值只可能在 或 处取 得，进行分类讨论①若 时，②若 ，③ ，计算即可 （3）先利用待定系数法写出直线B 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段 与抛 物线 仅有一个交点，即方程 在 的范围内仅有一个根，只需当 对应的函数值小于或等于0，且 对应 的函数值大于或等于即可． 【详解】 （1）∵抛物线 过点 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）由（1）可得 ， 在 范围内， 的最大值只可能在 或 处取得． 当 时， ，当 时， ． ①若 时，即 时，得 ， ∴ ，得 ． ②若 ，即 时，得 ，此时 ，舍去． ③ ，即 时，得 ， ∴ ， ，舍去． ∴综上知， 的值为 ． （3）设直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵直线 过点 ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 将线段 向右平移2 个单位得到线段 ， ∴ 的解析式满足 ，即 ． 又∵抛物线的解析式为 ， ∴ ． 又∵线段 与抛物线 在 范围内仅有一个交点， 即方程 在 的范围内仅有一个根， 整理得 在 的范围内仅有一个根， 即抛物线 在 的范围内与 轴仅有一个交点． 只需当 对应的函数值小于或等于0，且 对应的函数值大于或等于即可． 即 时， ，得 ， 当 时， ，得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上 的取值范围为 ． 【点睛】 本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x 轴的交点与方程 的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键 1