模型07 将军饮马模型（解析版）

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2 ）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： 模型介绍 P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P' Q' （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个 点都在内侧： （4 ）、 台球两次碰壁模型 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点， 使得围成的四边形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、 分别上 求点P、Q 点 P+PQ+Q 周长最短 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于 第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 在直线m 同侧： 解：延长B 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三 m B A m B A P' P n m A B Q P n m A B B' Q P n m A B B' A' n m A B m n A B E D m n A B A' B' m n A P Q m n A A" A' 边，P’—P’B＜B， 而P—PB=B 此时最大，因此点P 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 异侧： 解：过 B 作关 于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此 时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 考点一、两定一动模型 【例1】如图，在△B 中，B 的垂直平分线DE 交B 于点D，垂足为E，M 为DE 上任意一点， B＝3，＝4，B＝6，则△M 周长的最小值为（ ） ．7 B．6 ．9 D．10 解：如图所示，连接BM， ∵DE 是B 的垂直平分线， ∴M＝BM， ∴M+M＝BM+M， 当B，M，在同一直线上时，M+M 的最小值为B 的长， 又∵＝4，B＝6， ∴△M 周长的最小值＝6+4＝10，故选：D． 例题精讲 m A B m A B B' P P' 变式训练 【变式1-1】．如图，Rt△B 中，＝B＝4，点D，E 分别是B，的中点，在D 上找一点P， 使P+PE 最小，则这个最小值是（ ） ．2 B． ． D．4 解：如图，连接BE，则BE 就是P+PE 的最小值， Rt ∵ △B 中，＝B＝4，点D，E 分别是B，的中点， ∴E＝2m， ∴BE＝ ＝2 ， ∴P+PE 的最小值是2 ． 故选：． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，D＝3，动点P 满足S△PB＝ S 矩形BD，则点P 到、B 两点距离之和P+PB 的最小值为 ． 解：设△BP 中B 边上的高是． ∵S△PB＝ S 矩形BD， ∴ B•＝ B•D， ∴＝ D＝2， ∴动点P 在与B 平行且与B 的距离是2 的直线l 上，如图，作关于直线l 的对称点E，连 接E，连接BE，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt△BE 中，∵B＝5，E＝2+2＝4， ∴BE＝ ＝ ＝ ， 即P+PB 的最小值为 ． 故答为： ． 【变式1-3】．如图，∠B 的边B 与x 轴正半轴重合，点P 是上的一动点，点（5，0）是B 上的一定点，点M 是的中点，∠B＝30°，要使PM+P 最小，则点P 的坐标为 ． 解：作关于的对称点'，连接'M 交于P， 则此时，PM+P 最小， ∵垂直平分'， ∴＝'，∠'＝2∠＝60°， ' ∴△是等边三角形， ∵点M 是的中点， ' ∴M⊥， ∵点（5，0），∴＝5， ∵点M 是的中点，∴ ， ∴ ，∴ ． 故答为： ． 考点二、一定两动模型 【例2】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，B＝5，D 平分∠B 交B 于D 点，E、F 分别是D，上的动点，则E+EF 的最小值为________ 解：在B 上取一点G，使G＝F， ∵∠D＝∠BD，E＝E， ∴△EF≌△EG（SS）， ∴FE＝EG， ∴E+EF＝E+EG， 则最小值时G 垂直B 时，G 的长度， G＝ ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝4，若E 是B 上的动点，F 是上 的动点，则E+EF 的最小值为 3 ． 解：∵∠＝90°，∠B＝60°， ∴∠＝30°， 作关于B 的对称点D，交B 于，过D 作DF⊥于F，交B 于E， 则此时E+EF 的值最小，且E+EF 的最小值＝DF， 连接D， 则△D 是等边三角形， ∵S△D＝ •DF＝ D•， ∵D＝，∴DF＝， ∵∠B＝90°，∠B＝30°， ∴B＝ B＝2， 同理B＝ B＝1， ∴＝B﹣B＝3，∴DF＝＝3， ∴E+EF 的最小值为3， 故答为：3． 【变式2-2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 2 ． 解：作D 关于E 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥D 于P′， ∵DD′⊥E， ∴∠FD＝∠FD′， ∵F＝F，∠DE＝∠E， ∴△DF≌△D′F， ∴D′是D 关于E 的对称点，D′＝D＝4， ∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠DD′＝45°， ∴P′＝P′D′， ∴在Rt△P′D′中， P′D′2+P′2＝D′2，D′2＝16， ∵P′＝P′D'， 2P′D′2＝D′2，即2P′D′2＝16， ∴P′D′＝2 ， 即DQ+PQ 的最小值为2 ， 故答为：2 ． 【变式2-3】．如图，四边形BD 中，∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在B、D 上分别找一点 M、，使△M 周长最小时，则∠M+∠M 的度数为 100° ． 解：如图，作点关于B 的对称点′，关于D 的对称点″， 连接′″与B、D 的交点即为所求的点M、， ∵∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°， ′+ ″ ∴∠∠＝180° 130° ﹣∠ ＝50°， 由轴对称的性质得：∠′＝∠′M，∠″＝∠″， ∴∠M+∠M＝2（∠′+ ″ ∠）＝2×50°＝100°． 故答为：100°． 考点三、线段差最大值模型 【例3】如图，在△B 中，B＝，的垂直平分线交于点，交B 于点M，B＝12m，△BM 的周长 是20m，若点P 在直线M 上，则P﹣PB 的最大值为_______ 解：∵M 垂直平分， ∴M＝M， 又∵△BM＝BM+M+B＝20m，BM+M＝B＝12m， ∴B＝20 12 ﹣ ＝8（m）， 在M 上取点P， ∵M 垂直平分 连接P、PB、P ∴P＝P ∴P﹣PB＝P﹣PB 在△PB 中P﹣PB＜B 当P、B、共线时，即P 运动到与P'重合时，（P﹣PB）有最大值，此时P﹣PB＝B＝ 8m． 变式训练 【变式3-1】．如图，已知点的坐标为（0，1），点B 的坐标为（ ，﹣2），点P 在直线 y＝﹣x 上运动，当|P﹣PB|最大时点P 的坐标为_________ 解：作关于直线y＝﹣x 对称点，易得的坐标为（﹣1，0）；连接B，可得直线B 的方程 为y＝﹣ x﹣ ； 求B 与直线y＝﹣x 的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）； 此时|P﹣PB|＝|P﹣PB|＝B 取得最大值，其他BP 不共线的情况，根据三角形三边的关系 可得|P﹣PB|＜B； 【变式3-2】．如图，两点、B 在直线M 外的同侧，到M 的距离＝16，B 到M 的距离BD＝ 10，D＝8，点P 在直线M 上运动，则|P﹣PB|的最大值等于 10 ． 解：延长B 交M 于点P′， ∵P′﹣P′B＝B，B＞|P﹣PB|， ∴当点P 运动到P′点时，|P﹣PB|最大， ∵BD＝10，D＝8，＝16， 过点B 作BE⊥，则BE＝D＝8，E＝﹣BD＝16 10 ﹣ ＝6， ∴B＝ ＝ ＝10， | ∴P﹣PB|的最大值等于10， 故答为：10． 【变式3-3】．如图，在菱形BD 中，对角线＝6，BD＝8，点E 为B 边的中点，点P 为对 角线BD 上一动点，连接P，PE，求|P﹣PE|的最大值． 解：由菱形性质可知，点关于BD 的对称点，连接P，则P＝P， 在△PE 中， |PE﹣P|＜E， 则当点P、E、三点共线时，|PE﹣P|取最大值，最大值为E． | ∴P﹣PE|的最大值为E． ∵菱形BD 中，对角线＝6，BD＝8， ∴＝3，B＝4， ∴B＝5， ∵点E 为B 边的中点 ∴E＝25， | ∴P﹣PE|的最大值为25． 模型四、造桥选址模型（即动线段类型） 【例4】如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝4，E、F 分别是D、B 的中点，点P、Q 在EF 上． 且满足PQ＝2，则四边形PQB 周长的最小值为 12 ． 解：∵B＝5，PQ＝2， ∴四边形PQB 的周长为P+PQ+BQ+B＝P+BQ+7， 则要使四边形PQB 的周长最小，只要P+BQ 最小即可． 在B 边上截取M＝PQ， ∵点F 是B 的中点， ∴点B 关于EF 的对称点为点， 连接M，交EF 于点Q， 则M 即为P+BQ 的最小值． 在Rt△BM 中，MB＝B﹣M＝5 2 ﹣＝3，B＝4， ∴M＝ ＝5， ∴四边形PQB 的周长最小值为5+7＝12． 故答为：12． 变式训练 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点B 在原点，点、在坐标轴上， 点D 的坐标为（6，4），E 为D 的中点，点P、Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，要使 四边形PQE 的周长最小，则点P 的坐标应为 （ ， 0 ） ． 解：点向右平移2 个单位到M，点E 关于B 的对称点F，连接MF，交B 于Q， 此时MQ+EQ 最小， ∵PQ＝2，DE＝E＝2，E＝ ， ∴要使四边形PQE 的周长最小，只要P+EQ 最小就行， 即P+EQ＝MQ+EQ，过M 作M⊥B 于， 设Q＝x，则Q＝6 2 ﹣﹣x＝4﹣x， ∵△MQ∽△FQ， ∴ ∵M＝B＝4，F＝E＝2，Q＝x，Q＝4﹣x， ∴ ， 解得：x＝ ， ∴BP＝6 2 ﹣﹣ ＝ ， 故点P 的坐标为：（ ，0）． 故答为：（ ，0）． 【变式4-2】．如图，正方形BD 的边长为3，E、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF＝ ，连接E、F，则△EF 周长的最小值为 ． 解：如图所示，连接E，，以E，EF 为邻边作平行四边形EFG， 则E＝FG，EF＝G＝ ，∠GD＝∠DF＝45°＝∠D， ∴∠G＝90°， ∵B＝B，∠BE＝∠BE，BE＝BE， ∴△BE≌△BE（SS）， ∴E＝E＝GF， ∴E+F＝GF+F， ∴当G，F，在同一直线上时，F+FG 的最小值等于G 的长， 此时，Rt△G 中，G＝ ＝ ＝2 ， ∴F+FG 的最小值等于2 ， 又∵EF＝ ， ∴△EF 周长的最小值为 ， 故答为： ． 【变式4-3】．在直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点，B 分别在x 轴、y 轴的 正半轴上，＝3，B＝4，D 为边B 的中点，线段EF 在边上移动，保持EF＝2，当四边形 DEF 的周长最小时，求点E，F 的坐标． 解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，在B 边上截取G＝2， 连接D′G 与x 轴交于点E，在E 上截EF＝2， ∵G∥EF，G＝EF， ∴四边形GEF 为平行四边形，有GE＝F， 又D、EF 的长为定值， ∴此时得到的点E、F 使四边形DEF 的周长最小， ∵E∥B， Rt ∴ △D′E Rt ∽ △D′BG，有 ＝ ， ∴E＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝E+EF＝ 2＝ ， ∴点E 的坐标为（ ，0），点F 的坐标为（ ，0）． 1．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝6，B＝8，D 是∠B 的平分线．若P，Q 分别是D 和上 的动点，则P+PQ 的最小值是（ ） ． B．4 ．5 D． 解：作点Q 关于D 的对称点Q′，连接PQ′，如图2 所示 ∵D 平分∠B， ∴点Q′在直线B 上，PQ＝PQ′， ∴P+PQ＝P+PQ′， ∴当Q′⊥B，点P 为Q′与D 的交点时，P+PQ′取得最小值，最小值为Q′． 在Rt△B 中，∠B＝90°，＝6，B＝8， ∴B＝ ＝10， ∴ •B＝ B•Q′，即 ×6×8＝ ×10•Q′， ∴Q′＝ ， 实战演练 ∴P+PQ 的最小值为 ． 故选：D． 2．如图，正方形BEF 的面积为4，△BE 是等边三角形，点在正方形BEF 外，在对角线BF 上有一点P，使P+PE 最小，则这个最小值的平方为（ ） ． B． ．12 D． 解：连接，E，过作G⊥B， ∵正方形BEF， ∴E⊥BF，＝E， 即可得：E 关于BF 的对称点是，连接交BF 于P，则此时EP+P 的值最小， EP+P＝， ∵正方形BEF 的面积为4，△BE 是等边三角形， ∴B＝BE＝2，BE＝B＝2， 在Rt△BG 中，∠BG＝90° 60° ﹣ ＝30°，B＝2， ∴G＝1，BG＝ ， ∴＝ ， ∴2＝8+4 ， 即这个最小值的平方为8+4 ， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△B 的顶点在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3， ），点的坐标为（ ，0），点P 为斜边B 上的一个动点，则P+P 的最小值为（ ） ． B． ． D．2 解：法一： 作关于B 的对称点D，连接D 交B 于P，连接P，过D 作D⊥于， 则此时P+P 的值最小， ∵DP＝P， ∴P+P＝PD+P＝D， ∵B（3， ）， ∴B＝ ，＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：B＝2 ， 由三角形面积公式得： ××B＝ ×B×M， ∴M＝ ， ∴D＝2× ＝3， ∵∠MB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BM＝30°， ∵∠B＝90°， ∴∠M＝60°， ∵D⊥， ∴∠D＝30°， ∴＝ D＝ ，由勾股定理得：D＝ ， ∵（ ，0）， ∴＝3﹣ ﹣ ＝1， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D＝ ＝ ， 即P+P 的最小值是 ， 法二： 如图，作点关于B 的对称点D，连接D，过点D 作DM⊥于M． ∵B＝ ，＝3 ∴∠B＝30°， ∴∠D＝2∠B＝60° ∵＝D ∴△D 是等边三角形 ∴DM＝D•s60°＝ ，M＝M＝D•s60°＝ ∴M＝﹣M＝3﹣ ＝ ∴D＝ ＝ 即P+P 的最小值为 故选：B． 4．如图，在正方形BD 中，B＝8，与BD 交于点，是的中点，点M 在B 边上，且BM＝6． P 为对角线BD 上一点，则PM﹣P 的最大值为（ ） ．2 B．3 ． D． 解：如图所示，以BD 为对称轴作的对称点'，连接M′并延长交BD 于P，连P， 根据轴对称性质可知，P＝P'， ∴PM﹣P＝PM﹣P'≤M'， 当P，M，'三点共线时，取“＝”， ∵正方形边长为8， ∴＝ B＝8 ， ∵为中点， ∴＝＝4 ， ∵为中点， ∴＝2 ， ' ∴＝'＝2 ， ' ∴＝6 ， ∵BM＝6， ∴M＝B﹣BM＝8 6 ﹣＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∴PM∥B∥D，∠M'＝90°， ' ∵∠M＝45°， ' ∴△M 为等腰直角三角形， ∴M＝M'＝2， 即PM﹣P 的最大值为2， 故选：． 5．如图，在正方形BD 中，点E，F 将对角线三等分，且＝12，点P 在正方形的边上，则 满足PE+PF＝9 的点P 的个数是（ ） ．0 B．4 ．6 D．8 解：如图，作点F 关于B 的对称点M，连接FM 交B 于点，连接EM，交B 于点 ∵点E，F 将对角线三等分，且＝12， ∴E＝8，F＝4＝E， ∵点M 与点F 关于B 对称 ∴F＝M＝4，∠B＝∠BM＝45° ∴∠M＝90° ∴EM＝ ＝4 则在线段B 存在点到点E 和点F 的距离之和最小为4 ＜9 在点右侧，当点P 与点重合时，则PE+PF＝12 ∴点P 在上时，4 ＜PE+PF≤12 在点左侧，当点P 与点B 重合时，BF＝ ＝2 ∵B＝B，E＝F，∠BE＝∠BF ∴△BE≌△BF（SS） ∴BE＝BF＝2 ∴PE+PF＝4 ∴点P 在B 上时，4 ＜PE+PF≤4 ∴在线段B 上点的左右两边各有一个点P 使PE+PF＝9， 同理在线段B，D，D 上都存在两个点使PE+PF＝9． 即共有8 个点P 满足PE+PF＝9， 故选：D． 6．如图，在直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点是y 轴上的一个 动点，当|B | ﹣最大时，点的坐标是 （ 0 ， 6 ） ． 解：∵（1，4），B（3，0）， ∴直线B 的解析式为y＝﹣2x+6， | ∵B |≤ ﹣B， ∴当、B、三点共线时，|B | ﹣的值最大， 此时（0，6） 故答为（0，6） 7．如图，在四边形BD 中，∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在B，D 上分别找一点M，，使 三角形M 周长最小时，则∠M 的度数为 80° ． 解：延长B 到′使得B′＝B，延长D 到″使得D″＝D，连接′″与B、D 分别交于点M、． ∵∠B＝∠D＝90°， ∴、′关于B 对称，、″关于D 对称， 此时△M 的周长最小， ∵B＝B′，MB⊥B， ∴M＝M′，同理：＝″， ′ ∴∠＝∠MB，∠″＝∠D， ∵∠M＝∠′+∠MB＝2 ′ ∠，∠M＝∠″+∠D＝2 ″ ∠， ∴∠M+∠M＝2（∠′+ ″ ∠）， ∵∠BD＝130°， ′+ ″ ∴∠∠＝180°﹣∠BD＝50°， ∴∠M+∠M＝2×50°＝100°． ∴∠M＝180° 100° ﹣ ＝80°， 故答为：80° 8．如图，在△B 中，∠B＝90°，+B＝14，tB＝075，点D，E 分别是边B，B 上的动点，则 D+DE 的最小值为 ． 解：作关于B 的对称点'，过'作'E⊥B，与B 交于点