专题27 最值模型之胡不归模型（解析版）

专题27 最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟 考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分 析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之 间线段最短”，虽然从他此刻位置到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人 刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不 归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 知识储备：在直角三角形中锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦，记作s，即 sin A=∠A的对边 斜边 。 【模型解读】一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且V1<V2，、B 为 定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） V2 V1 M N C B A CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M M N C B A α D H 1） ，记 ，即求B+k 的最小值 2）构造射线D 使得s∠D=k， ，=k,将问题转化为求B+最小值 3）过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最小． 【解题关键】在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问 题转化为“P+P”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。 例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按 下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P 是线段 上的一 个动点，连接 ，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】过点P 作 于点Q，过点作 于点，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当、P、 Q 三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的性质和 勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P 作 于点Q，过点作 于点， 由题意知： 平分 ，∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴当、P、Q 三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 即 最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用 等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点， ，点M 在线段 上，且 ．点P 为线段 上的一个动点． （1） °；（2） 的最小值为 ． 【答】 2 【分析】（1）由矩形的性质得到 ，又由 得到 是等边三角 形，则 ，即可得到答；（2）过点P 作 于点E，过点M 作 于点F，证明 ，进一求解 即可得到答． 【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，故答为： ． （2）过点P 作 于点E，过点M 作 于点F， 在 中，由（1）知： ，∴ ，∴ ， 在矩形 中， ，∵ ，∴ ， 在 中， ，∴ ，∴ 的最小值为2，故答为：2． 【点睛】此题考查了矩形的性质、含 的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌 握矩形的性质、含 的直角三角形的性质是解题的关键． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交 于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】过 作 ，由菱形 ， ，得到 为 平分线，求出 ， 在 中，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ，故 ，求 出 的最小值即为所求最小值，当 、 、 三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过 作 ， 菱形 ， ， ， ，即 为等边三角形， ， 在 中， ， ， 当 、 、 三点共线时，取得最小值， ， ， ， 在 中， ，则 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是 解本题的关键． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1 的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上 的动点，则 的最小值为 ___________． 【答】0 【分析】作 于 ，可得出 ，从而得 的最小值，将 变形为 ，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作 于 ， ∵四边形 是正方形， ， ， 的最小值为0， ∵ ，∴ 的最小值为0，故答为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B 作 于点E，点P 为线段 上一动点（点P 不与B，E 重合），则 的最小值为 ． 【答】6 【分析】过点P 作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，根据等边三角形的性质和圆内接三 角形的性质得到 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到 ，进而 求出 ，然后利用 代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P 作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ∵ 是等边三角形， ∴ ∵ 是等边三角形 的外接圆，其半径为4∴ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 的最小值为 的长度∵ 是等边三角形， ， ∴ ∴ 的最小值为6．故答为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质等知识，解题 的关键是熟练掌握以上知识点． 例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴 交于、两点，与y 轴交于点B，若P 是x 轴上一动点，点 在y 轴上，连接 ，则 的最 小值是 ． 【答】 【分析】过 作 ，过 作 ．再由 得 ，根据垂线段最短 可知， 的最小值为 ，求出 即可． 【详解】解：连接 ，过 作 ，过 作 ， 令 ，即 ，解得 或1， ， ， ， ， ， ． ，根据垂线段最短可知， 的最小值为 ， ， ， ， 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解 题的关键是将求 的最小值转化为求 的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为 ． 【答】 【分析】过点作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出 ，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D 在以 为直径的圆上， 从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点作 ，垂足为D，取 ， ∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，而 一定， ∴当 的面积最大时， 最大，∵ ，∴点D 在以 为直径的圆上， ∴当D 平分 时，点D 到 的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时 ，则 为等腰直角三角形，∴ ，故答为： ． ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30 度的直角三角形的性质，圆周角定 理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长． 例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，点D 是线 段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ． 【答】 【分析】作出点 ，作 于点D，交x 轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解 直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，∴ ， ， 作点B 关于x 轴的对称点 ，把点 向右平移3 个单位得到 ， 作 于点D，交x 轴于点F，过点 作 交x 轴于点E，则四边形 是平行四边形， 此时， ，∴ 有最小值，作 轴于点P， 则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，则 ，设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 联立， ，解得 ，即 ；过点D 作 轴于点G， 直线 与x 轴的交点为 ，则 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 即 的最小值是 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题． 例9．（2023 重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，点D 为线段的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E，与y 轴交于点F． （1）求直线BD 的解析式；（2）如图②，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G，使得PG﹣ GE 的值最小，求出点G 的坐标及PG﹣ GE 的最 小值； 【答】（1）y＝ x+1；（2）点G（ ， ），最小值为 ； 【分析】（1）令- x2+x+4=0，可求出点和点B 的坐标，令x=0，可求出点的坐标，再根据点D 时的中点， 可求出点D 的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长 度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG- GE 的最小值，可将不共线的线段转换为 共线的线段长度． 【详解】解：（1）令﹣ x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），（4，0）， 令x＝0，y＝4，∴（0，4），∵D 为的中点，∴D（2，2）， 设直线BD 的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B 和点D ， ，解得 ，∴直线BD 的解析式为y＝ x+1． （2）如图所示，过点P 作y 轴的平行线，交BE 交于点， 设点P 的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则点为（t， t+1）， ∴P＝﹣ t2+t+4﹣（ t+1）＝﹣ （t﹣ ）2+ ， 当t＝ 时，P 最大，此时点P 为（ ， ），当P 最大时，△PDF 的面积也最大． ∵直线BD 的解析式为y＝ x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1）， 在Rt△BF 中，根据勾股定理，BF＝ ，∴s∠FB＝ 过点E 作x 轴的平行线与过点G 作y 轴的平行线交于点M， ∴∠MEG＝∠FB，∴MG＝EG•s∠MEG＝ EG，∴PG﹣ GE＝PG﹣MG， 当P、M、G 三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM， ∴当P、M、G 三点共线时，PG﹣MG 最小，此时点G 与点重合， 令﹣ x2+x+4＝ x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3， ），∴PM＝ ﹣ ＝ ，∴点G（ ， ）， ∴点G（ ， ），PG﹣ GE 的最小值为 ． 【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强． 课后专项训练 1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动 点，则 的最小值为 ．4 B．5 ． D． 解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ． 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为4，故选： ． 2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点的坐标是 ，点 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P 不在第二象限），连接 ， 求得 的最小值为（ ） ． B．4 ． D．2 【答】 【分析】如图1 所示，以为边，向右作等边△D，连接PD，过点D 作DE⊥于E，先求出点D 的坐标，然后 证明△B≌△PD 得到∠PD=∠B=90°，则点P 在经过点D 且与D 垂直的直线上运动，当点P 运动到y 轴时，如 图2 所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3 所示，作点关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，设直线PD 与x 轴的交点为，先求出点的坐标，然后证明 ∠=30°，从而得到 ，则当G、P、F 三点共线时， 有最小值，即 有 最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则G 即为所求． 【详解】解：如图1 所示，以为边，向右作等边△D，连接PD，过点D 作DE⊥于E， ∵点的坐标为（0，2），∴=D=2，∴E=E=1，∴ ，∴点D 的坐标为 ； ∵△BP 是等边三角形，△D 是等边三角形，∴B=P，∠BP=60°，=D，∠D=60°， ∴∠BP+∠P=∠D+∠P，即∠B=∠PD，∴△B≌△PD（SS），∴∠PD=∠B=90°， ∴点P 在经过点D 且与D 垂直的直线上运动， 当点P 运动到y 轴时，如图2 所示，此时点P 与点重合， ∵△BP 是等边三角形，B⊥P，∴=P=2， ∴此时点P 的坐标为（0，-2），设直线PD 的解析式为 ， ∴ ，∴ ，∴直线PD 的解析式为 ； 如图3 所示，作点关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，连接G，设直线PD 与x 轴 的交点为， ∴点的坐标为 ，∴ ，∴∠=30°，∴ ，由轴对称的性质可知P=GP， ∴ ， ∴当G、P、F 三点共线时， 有最小值，即 有最小值， ∵、G 两点关于直线PD 对称，且∠D=90°，∴D=GD，即点D 为G 的中点， ∵点的坐标为（0，2），点D 的坐标为 ，∴G=2D=2=4， =4 ∵ ，∠G=60°，∴△G 是等边三角形， = ∵，∴G⊥，即点G 在x 轴上，∴由勾股定理得 ， ∴当点P 运动到点时， 有最小值，即 有最小值，最小值即为G 的长， ∴ 的最小值为 ，故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴 对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P 的运动轨迹是解题的关键． 3．（2023 重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点， 则 的最小值为 ． B．6 ． D．3 解：过点 作射线 ，使 ，再过动点 作 ，垂足为点 ，连接 ，如图所示： 在 中， ， ， ， 当 ， ， 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长， 此时， ， 是等边三角形， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为3，故选： ． 4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△B 中，∠＝15°，B＝2，P 为边上的一个动点（不与、重合），连 接BP，则 P+PB 的最小值是（ ） ． B． ． D．2 【解答】解：如图， 在△B 内作∠MB＝30°过点作E⊥BM 于点E，BM 交于点P， ∵∠B＝15°，∴∠PE＝45°∴EP＝ P 当BP⊥E 时，则 P+PB＝PE+PB 的值最小，最小值是BE 的长， 在Rt△BE 中，∠BE＝30°，B＝2∴BE＝B•s30°＝ ． ∴ P+PB 的最小值是 ．故选：B． 5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝4，点D、F 分别是边B， B 上的动点，连接D，过点作E⊥D 交B 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由 FB 联想到给FB 构造含30°角的直角三角形，故把Rt△B 补成等边△BP，过F 作BP 的垂线 F，故GF+ FB＝GF+F，易得当G、F、成一直线时，GF+ FB 最短．又由于点G 为动点，易证点G 在以 为直径的圆上，求点G 到PB 的最短距离即当点G 在点到BP 的垂线段上时，GQ 的长度． 【详解】延长到点P，使P＝，连接BP，过点F 作F⊥BP 于点，取中点，连接G，过点作Q⊥BP 于点Q， ∵∠B＝90°，∠B＝30°，B＝4∴＝P＝2，BP＝B＝4 ∴△BP 是等边三角形∴∠FB＝30° Rt ∴ △FB 中，F＝ FB ∴当G、F、在同一直线上时，GF+ FB＝GF+F＝G 取得最小值 ∵E⊥D 于点G∴∠G＝90°∵为中点∴＝＝G＝ ∴、、G 三点共圆，圆心为，即点G 在⊙上运动 ∴当点G 运动到Q 上时，G 取得最小值 Rt ∵ △PQ 中，∠P＝60°，P＝3，s∠P＝ ∴Q＝ ∴G 最小值为 故选． 【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短 路径．解题关键是找到点G 运动到什么位置时，G 最小，进而联想到找出点G 运动路径再计算． 6．（2023 上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】作 ，连接 ，过B 点作 的延长线与G 点．根据相似三角形的性质可 得 ，因此 ，根据两点之间线段最短可知当B、E、F 三点共线 时， ，此时 的值最小，为BF．再证四边形 是矩形，由矩形的性质可知 ， ，在 中根据勾股定理可求出 的长，即可知 的最小值． 【详解】如图，作 ，连接 ，过B 点作 的延长线与G 点， ，且 ， ， ， ． ，∴当B、E、F 三点共线时， ，此时 的值最小，为 ． ， ．又 ， ，∴四边形 是矩形， ， ， ， ．故答为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相 似三角形是解题的关键． 7．（2023 上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ． ，连接 ，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 E，则 的最小值为 (用含 的代数式表示)． 【答】 【分析】过点 作 交 延长线于 ，过点 作 于 ，作 的垂直平分线交 于 ，连接 ，利用 证明 ，可得 ，进而可得 ，则由含 度角的直 角三角形的性质得到 ， ，故当 、 、 三点共线时， 为最小值，当 、 、 三点共线时， ，即 ，可得 ，再运用解直角三 角形即可求得答． 【详解】解：如图，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 于 ，作