模型32 平行四边形——对角互补模型-原卷版

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相 等】 旋转相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B,连接DE， ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° △BED ∴ 是等腰直角三角形 BE＝❑ √2BD,B＋E＝❑ √2BD，B＋B＝❑ √2BD ⑵ S四边形ABCD= S△ABD ＋S△BCD＝S△CED＋S△BCD＝S△BED＝1 2BD·DE 由⑴得，BD=DE，∴ S四边形ABCD＝1 2BD·DE＝1 2BD2 ⑶由⑴得，△BDE 是等腰直角三角形，∴∠DB=45º，∴BD 是角平分线 ◎结论2：如图，∠B=60º，∠D=120°，D=D， 则①B+B=❑ √3BD，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 【证明】 ⑴ 满足对角互补，邻边相等 DD 夹角120°，旋转120° 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝120° ∠2 ∴ ＋∠3＝120° 过D 作DM⊥BE 于M， ∠BDM ∴ ＝60°，BM＝ME s60° ∴ ＝BM BD ∴BM BD ＝ ❑ √3 2 ∴2 BM BD ＝❑ √3，即BE＝❑ √3BD，∴B＋B＝❑ √3BD ⑵由⑴得DM= 1 2BD，BE=❑ √3BD S四边形ABCD＝S△ABD ＋S△BCD＝S△CED＋S△BCD＝S△BED＝1 2BE·DM ＝1 2·❑ √3BD· 1 2BD＝ ❑ √3 4 BD2 ⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º， ∠B ∴ ＝∠E＝30º， ∴BD 是角平分线 补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同 【结论】∠B=120º，∠DE＝60º，平分∠B，D、E 在、B 上， 则， ①D=E D+E= ② ①在B 上取一点F，连结F，使△F 为等边三角形， ∠FE ∵ ＋∠E＝∠D＋E＝∠DE＝60° ∠FE ∴ ＝∠D △F ∵ 为等边三角形 ∠FE ∴ ＝∠D，且F＝， 易证△D △EF ≌ D ∴＝E ②∵△D △EF ≌ D ∴＝EF， D ∴＋E＝E＋EF＝F D ∴＋E＝ ◎结论3：如图，∠B=α，∠D=180º－α，D=D， 则①B+B=2BDcos 1 2 α，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 ①【证明】满足对角互补，邻边相等 D,D 夹角180－,旋转180－ 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝180－ ∠2 ∴ ＋∠3＝180－ （把图形抽离出来） 过D 作DM⊥BE 于M， ∠BDM ∴ ＝90°－1 2， ∠DBM ∴ ＝1 2，BE＝2BM，s1 2＝BM BD 2s ∴ 1 2＝2BM BD ＝BE BD BE＝2BDs1 2 B ∴＋B＝2BD S1 2 ②【证明】由上可知△DB≌△DE， 所以△DB 的面积＝△DE 的面积 ∴S四边形ABCD＝S△BDE （把图形抽离出来） 由①过程可知BE＝2BDs1 2 DM＝BD s1 2 ∴S△BDE＝1 2BE DM＝2BDs1 2 BD s1 2＝ ❑ √3 4 BD2 ∴S四边形ABCD＝ ❑ √3 4 BD2 ③∵BD＝ED ∠E ∴ ＝∠DBE △DB △DE ∵ ≌ ∠BD ∴ ＝∠E ∠BD ∴ ＝∠DBE BD ∴ 为角平分线。 1．（2021·全国·八年级专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再以点为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，，E 三点共线；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）． 2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形 中， 于 ，则 的长为__________ 1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 且=B，点在第一象限，=3，连接B，，若∠B=90°，则B+的值为_________． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形BD 中，已知B＝D，∠BD＝60°，∠BD＝120°，若四边形 BD 的面积为4 ，则＝_____． 3．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究 （（1）如图①，已知∠=45°，∠B=30°，∠D=40°，则∠BD 的大小为___________； （2）如图②，在四边形BD 中，B=B，∠B=∠D=90°，对角线BD=6．求四边形BD 的面积；小明这样来计 算．延长D，使得E=D，连接BE，通过证明△BD≌△BE，从而可以计算四边形BD 的面积．请你将小明的 方法完善．并计算四边形BD 的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形BD 是正在建设的城市花，其中B=B，∠B=60°，∠D=30°，D=40 米，D=30 米．请计 算出对角线BD 的长度． 1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt B △ 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转，DM、D 分别与边B、交于E、F 两点．下列结论 (BE+F)= ① B，② ，③ D·EF，④D≥EF，⑤D 与EF 可能互相平分， 其中正确结论的个数是【 】 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”． （1）如图①，四边形BD 为对直角四边形，∠B=90°，若B2-D2=4，求D2-B2的值； （2）如图②，四边形BD 中，∠B=90°，B=B，若BD 平分∠D，求证：四边形BD 为对直角四边形； （3）在（2）的条件下，如图③，连结，若 ，求t D ∠ 的值．