专题22 全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题22 全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°）...................................................................................................1 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°）.................................................................................................4 模型3 对角互补模型（全等型：α—180°-α）..............................................................................................7 模型4 对角互补模型（相似模型）.............................................................................................................10 ...............................................................................................................................................15 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线， 构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ ，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝∠DE＝90°，∴∠M＝90°，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E， 根据上述条件易证：四边形M 为正方形，∴∠＝45°，M=， 又∵D＋E＝M-DM++E，∴D＋E=M+=2= ， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90°，平分∠B[ZXXK] 结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝∠DE＝90°，∴∠M＝90°，∴∠MD＝∠E， ∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E，根据上述条件易证：四边形M 为正方形， ∠ ∴ ＝45°，M=，又∵E－D＝+E-（DM-M），∴E－D=+M=2= ， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E， 例1．（23-24 九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△B 中，＝B，∠＝90°，D 为B 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交， B（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥于点E 时（如图1）， ①证明：△DE △ ≌BDF；②猜想：S△DEF+S△EF＝ S△B． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF 绕点D 旋转到DE 与不垂直时，且点E 在线段上，试判断 S△DEF+S△EF 与S△B 的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E 在线段的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，S△DEF，S△EF，S△B 又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P 放在正方形BD 的对角线上，一 条直角边经过点B，另一条直角边交边D 于点E，线段PB 和线段PE 相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线上，一条直角边经过点B，另一条直角 边交D 的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线上，一条直角边经过点B，另一条直角边交 D 的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 例3．（2024·河南·一模）已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一个直角 绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 （1）如图1，若 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由 （2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请 说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明 （3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝2∠DE＝120°，∴∠B+∠DE＝180°，∴∠D+∠E＝180°， ∠ ∵ D+∠DM＝180°，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E， ∵平分∠B，∴∠＝∠M＝60°，∴=M= ，=M= 。 又∵E+D＝+E+M-DM，∴E+D=+M=， ∵ △MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B，∠DE 的一边与B 的延长线交于点D， 结论：①D＝E，②D－E＝，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝2∠DE＝120°，∴∠B+∠DE＝180°，∠B+∠M＝180°，∴∠DE=∠M＝60° ∠ ∴ DE-∠ME=∠M-∠ME，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E， ∵平分∠B，∴∠＝∠M＝60°，∴=M= ，=M= 。 又∵D-E＝M+DM-（E-），∴D-E=+M=， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△B 是等腰三角形，且∠B=120°，∠BP=60°，P 平分∠BP。 结论：PB+P= P； 证明：将△P 绕点顺时针旋转120°至△QB，即△P △ ≌QB， ∴∠P=∠BQ，∠P=∠BQ，P＝Q，P＝QB； ∵∠B=120°，∠BP=60°，∴∠P+∠BP=180°，∴∠BQ+∠BP=180°，故P、B、Q 共线。 又∵∠BP=60°，P 平分∠BP，∴∠PQ=60°，∵P＝Q，∴∠QP=60°， 根据勾股定理易证：PQ= P，又∵PQ=PB+QB=PB+P，∴PB+P= P。 例1．（2024 重庆八年级期末）如图，已知∠B=120°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个60°角的顶点与 点重合，它的两条边分别与直线、B 相交于点D、E． （1）当∠DE 绕点旋转到D 与垂直时（如图1），请猜想E+D 与的数量关系，并说明理由；（2）当∠DE 绕点旋转到D 与不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DE 绕点旋 转到D 与的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段D、E 与之间 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例2．（2024 广东中考一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 （1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由； （2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理 由； （3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 例3．（23-24 九年级上·重庆江津·期中）在△B 中，B=，∠=60°，点D 是线段B 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段B 相交于点E，DF 与线段（或的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥，垂足为F，B=4，求BE 的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段相交于点F．求证：BE+F= B．（3）如图3，若∠EDF 的两边分别交B、的延长线于E、F 两点，（2）中的结论还成立吗？如果成 立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、B、F 之间的数量关系． 模型3 对角互补模型（全等型：α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α 型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转 的构造，构造手拉手全等。 1）“α 对180°-α 模型” 条件：四边形BD 中，P=BP，∠+∠B=180°。结论：P 平分∠B。 证明：过点P 作PE⊥，PF⊥B，∴∠EP=∠BFP=90°， ∠ ∵ +∠B=180°，∠P+∠PE=180°，∴∠EP=∠B。 ∵P=BP，∴△PE △ ≌PBF，∴PE=PF，∴P 平分∠B。 注意：如下图：①P=BP，②∠+∠B=180°，③P 平分∠B，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：P=BP，∠B=∠PB，结论：P 平分∠B 的外角。 证明：过点P 作PE⊥，PF⊥B，∴∠EP=∠BFP=90°，∵∠B=∠PB，∴∠=∠B。 ∵P=BP，∴△PE △ ≌PBF，∴PE=PF，∴P 平分∠B。 例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P 在 的平分线上，且 ，以点P 为顶点的 绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ， 相交于M，两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不变； ③四边形 的面积不变；④点M 与点的距离保持不变．其中正确的为（ ） ．①③ B．①②③ ．①③④ D．②③ 例2．（2023 春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①， 平分 ， ， ． 判断 与 的大小关系并证明． 探究：如图②， 平分 ， ， ， 与 的大小关系变吗？请 说明理由．应用：如图③，四边形 中， ， ， ，则 与 差是多 少（用含 的代数式表示） 例3．（23-24 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知 的平分线M 上有一点P， 的两边与射线、B 交于点、D，连接D 交P 于点G，设 ， ． (1)如图（1），当 时，试猜想P 与PD， 与 的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当 ， 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论； 若不成立，请说明理由． 模型4 对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线， 从而证明两个三角形相似 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△B 中，∠＝∠EF＝90°，点是B 的中点， 结论：如图，过点作D⊥，⊥B，垂足分别为D，，则：①△DE∼△F；② 证明：∵D⊥，⊥B，垂足分别为D，，∴∠ED＝∠F＝90°， ∠ ∵ ＝90°，∴四边形D 为矩形，∴∠D＝90°，D＝ ∴∠DF+∠F＝90°， ∠ ∵ EF＝90°，∴∠DF+∠DE＝90°，∴∠F＝∠DE，∴△DE∼△F，∴ ， ∠ ∵ ＝∠D＝90°，点是B 的中点，∴为B 中点，∴B＝，∴B＝D，∴ ∠ ∵ ＝∠D＝90°，∠B＝∠B，∴△B∼△B，∴ ，∴ 2）对角互补相似2 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，∠B＝ 结论1：如图1，过点作F⊥，G⊥B，垂足分别为F，G；则①△EG∼△DF；②E＝D· 证明：法1：∵F⊥，G⊥B，垂足分别为F，G；∴∠EG＝∠DF＝90°， ∵∠B＝90°，∴四边形GF 为矩形，∴∠GF＝90°，F=G，∴∠FD+∠DG＝90°， ∠ ∵ DE＝90°，∴∠GE+∠DG＝90°，∴∠GE＝∠FD，∴EG∼△DF，∴ ， ∵F=G，∴ ，∵在Rt△G 中， ，∴E＝D· 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，∠B＝ 结论2：如图2，过点作F⊥，交B 于F；则：①△FE∼△D；②E＝D· 证明：法1：∵F⊥，∴∠F＝90°，∴∠E+∠EF＝90°， ∵∠DE＝90°，∴∠E+∠D＝90°，∴∠EF＝∠D， ∵∠B＝90°，∠F＝90°，∴∠E+∠D＝90°，∴∠E+∠F＝90°， ∠ ∴ D＝∠F，∴FE∼△D，∴ ，∵在Rt△F 中， ，∴E＝D· 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形BD 中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D 作DE⊥B，DF⊥B，垂足分别为E、F；则：①△DE∼△DF；②、B、、D 四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠+∠=180°，∴、B、、D 四点共圆。 ∵DE⊥B，DF⊥B，∴∠ED=∠FD=90°， ∵∠BD+∠=180°，∠BD+∠DE=180°，∴∠=∠DE，∴△DE∼△DF； 例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在 中， ， ， 是 边上一点，且 ( 为正整数）， 、 分别是边 和边 上的点，连接 ，且 ． 【初步感知】（）如图，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程． 【深入探究】（ ） 如图 ，当 ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 ， ， 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必 证明）． 【拓展运用】（）如图，点 为靠近 的四等分点，连接 ，设 的中点为 ，若 ，求 点 从点 运动到点 的过程中，请直接写出点 运动的路径长． 例2．（23-24 九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1， 中， ，过点作 于点D，小明把一个三角板的 直角顶点放置在点D 处，两条直角边分别交线段 于点 E ，交线段 于点 F，在三角板绕着点D 旋转 的过程中，若点E 是 的中点，则点F 也是 的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E 是 的中点，则点F 也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D， ． ∵点 E 是 的中点， ． ， ． 是等边三角形． ， ． ． 又 ， ． ．即若点E 是 的中点，则点F 也是 的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“ ”，其他条件不变（如图2），若 点E 是 的中点，则点F 也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“ ”，其他条件不变旋转过程中，若 （如图3），那么等式 成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“ ”，其他条件不变．若点 E 是 上任意一点 （如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°， ，D⊥B 于点D，点E 是直线上 一动点，连接DE，过点D 作FD⊥ED，交直线B 于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝，点E 在线段上，则 ＝ ； （2）数学思考：①如图2，若点E 在线段上，则 ＝ （用含m，的代数式表示）； ②当点E 在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若＝ ，B＝2 ，DF＝4 ，请直接写出E 的长． 例4．（23-24 九年级上·四川成都·期中）如图1，等边 中， 为 边上的一点，且 ， 分别为 上的两个动点，始终保持 (1)若 ，求证：① ，② ； (2)①如图2，若 ，试探究 之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出 之间的数量关系的一般结论（用含有 的代数式直接写出， 不用证明）；(3)如图3， 为 边上的中点， ，连接 ，当点 分别在线段 上运 动时，当 时，直接写出线段 扫过的图形的面积 1（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ， ． 过顶点作 于E，则 的值为（ ） ． B．9 ．6 D．7．2 2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片 内剪取一个直角 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上．请 完成如下探究：（1）当 为 的中点时，若 ， （2）当 ， 、 时 ， 的长为 3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ， 分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ． 4．（23-24 八年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 为等边三角形，边长为4，点 为 的中点， ，其两边分别交 和 的延长线于 ，则 ． 5．（23-24 九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画 ，并画 的平分线 ． （）把三角尺的直角顶点落在的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 的两边 ， 垂 直，垂足为 ， （如图1）．则 ；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ________ ． （选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用）（2）在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想 ， ， 之间的关系为________． （拓展延伸）（3）如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ， 的两边分别与 ， 相交于