专题22 全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题22 全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°）...................................................................................................1 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°）.................................................................................................7 模型3 对角互补模型（全等型：α—180°-α）............................................................................................13 模型4 对角互补模型（相似模型）.............................................................................................................18 ...............................................................................................................................................31 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线， 构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ ，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝∠DE＝90°，∴∠M＝90°，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E， 根据上述条件易证：四边形M 为正方形，∴∠＝45°，M=， 又∵D＋E＝M-DM++E，∴D＋E=M+=2= ， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90°，平分∠B[ZXXK] 结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝∠DE＝90°，∴∠M＝90°，∴∠MD＝∠E， ∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E，根据上述条件易证：四边形M 为正方形， ∠ ∴ ＝45°，M=，又∵E－D＝+E-（DM-M），∴E－D=+M=2= ， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E， 例1．（23-24 九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△B 中，＝B，∠＝90°，D 为B 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交， B（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥于点E 时（如图1）， ①证明：△DE △ ≌BDF；②猜想：S△DEF+S△EF＝ S△B． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF 绕点D 旋转到DE 与不垂直时，且点E 在线段上，试判断 S△DEF+S△EF 与S△B 的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E 在线段的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，S△DEF，S△EF，S△B 又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 【答】（1）①证明见解析；② ；（2）上述结论成立；理由见解析； （3）不成立；S△DEF﹣S△EF＝ ；理由见解析 【分析】（1）①先判断出DE∥得出∠DE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠=∠BDF，即可得出结论；② 当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥时，四边形EDF 是正方形，边长是的一半，即可得出结论；（2）成立；先判 断出∠DE=∠B，进而得出△DE △ ≌BDF，即可得出结论； （3）不成立；同（2）得：△DE △ ≌DBF，得出S△DEF= =S△FE+ S△B． 【详解】解：（1）①∵∠＝90°，∴B⊥，∵DE⊥，∴DE∥B，∴∠DE＝∠B， ∠ ∵ EDF＝90°，∴∠DE+∠BDF＝90°， ∵DE⊥，∴∠ED＝90°，∴∠+∠DE＝90°，∴∠＝∠BDF， ∵点D 是B 的中点，∴D＝BD，在△DE 和△BDF 中 ，∴△DE △ ≌BDF（SS）； ②如图1 中，当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥时，四边形EDF 是正方形． 设△B 的边长＝B＝，则正方形EDF 的边长为 ． ∴S△B＝ 2，S 正方形DEF＝（ ）2＝ 2，即S△DEF+S△EF＝ S△B；故答为 ． （2）上述结论成立；理由如下：连接D；如图2 所示：∵＝B，∠B＝90°，D 为B 中点， ∠ ∴ B＝45°，∠DE＝ ∠B＝45°，D⊥B，D＝ B＝BD，∴∠DE＝∠B，∠DB＝90°， ∠ ∵ EDF＝90°，∴∠DE＝∠BDF，在△DE 和△BDF 中， ， △ ∴DE △ ≌BDF（S），∴S△DEF+S△EF＝S△DE+S△BDF＝ S△B； （3）不成立；S△DEF﹣S△EF＝ S△B；理由如下：连接D，如图3 所示： 同（2）得：△DE △ ≌DBF，∠DE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S 五边形DBFE，＝S△FE+S△DB，＝S△FE+ S△B，∴S△DEF S ﹣ △FE＝ S△B． ∴S△DEF、S△EF、S△B的关系是：S△DEF S ﹣ △EF＝ S△B． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性 质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P 放在正方形BD 的对角线上，一 条直角边经过点B，另一条直角边交边D 于点E，线段PB 和线段PE 相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线上，一条直角边经过点B，另一条直角 边交D 的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线上，一条直角边经过点B，另一条直角边交 D 的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答】（1）证明见解析（2）PB＝PE 还成立(3) PB＝PE 还成立 【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得∠BD=90°，平分∠BD，而PM⊥D，则四边形PM 是矩形， 根据角平分线的性质可得PM=P，根据四边形的内角和得到∠PB+∠EP=180°，再利用等角的补角相等得到 ∠PBM=∠PE，然后根据S 证明△PBM △ ≌PE，则可证明； （2）连接PD，根据正方形的性质和角平分线的性质，由“SS”以及四边形的内角和得证； （3）过点P 作PM⊥B，P⊥D，然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“S”可证 试题解析：(1)如图1，过点P 作PM⊥B，P⊥D，垂足分别为M，，∵四边形BD 为正方形，∴∠BD＝90°， 平分∠BD，∵PM⊥B，P⊥D，∴四边形PM 为正方形，PM＝P，∵∠BPE＝90°，∠BD＝90°，∴∠PB＋∠EP＝ 180°，而∠EP＋∠PE＝180°，∴∠PBM＝∠PE，在△PBM 和△PE 中， ∴△PBM △ ≌PE(S)， ∴PB＝PE (2)如图2，PB＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM⊥B，P⊥D，垂足分别为M，，∵四边形 BD 为正方形，∴∠BD＝90°，平分∠BD，∵PM⊥B，P⊥D，∴四边形PM 为正方形，PM＝P，∴∠MP＝ 90°，∵∠BPE＝90°，∠BD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EP＝90°，∴∠BPM＝∠EP，在△PBM 和△PE 中， ∴△PBM △ ≌PE(S)，∴PB＝PE (3)如图3，PB＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM⊥B 交B 的延长线于点M，P⊥D 的延长线于点，∵四边形BD 为正方形，∴∠BD＝90°，平分∠BD， ∵PM⊥B，P⊥D，∴四边形PM 为正方形，PM＝P，∴∠MP＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BD＝90°，∴∠BPM＋ ∠BP＝90°，而∠BP＋∠EP＝90°，∴∠BPM＝∠EP，在△PBM 和△PE 中， ∴ △PBM △ ≌PE(S)，∴PB＝PE 例3．（2024·河南·一模）已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一个直角 绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 （1）如图1，若 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由 （2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请 说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明 （3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度 【答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）先证四边形 为矩形，再证矩形 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点 作 于点 ， 于点 ，证四边形 为正方形，再证 ，可得； （3）根据 ，可得 【详解】解：（1）∵ ， ， ，∴四边形 为矩形 ∵ 是 的角平分线，∴ ，∴ ， ∴矩形 为正方形，∴ ， ∴ （2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ， ∵ 平分 ， ，∴四边形 为正方形，由（1）得： ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ，∴ （3） ， ，∴ ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 的长度为 【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝2∠DE＝120°，∴∠B+∠DE＝180°，∴∠D+∠E＝180°， ∠ ∵ D+∠DM＝180°，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E， ∵平分∠B，∴∠＝∠M＝60°，∴=M= ，=M= 。 又∵E+D＝+E+M-DM，∴E+D=+M=， ∵ △MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B，∠DE 的一边与B 的延长线交于点D， 结论：①D＝E，②D－E＝，③ 证明：过点作M⊥D，⊥B，∴∠MD＝∠E＝90°，∵平分∠B，∴M＝， 又∵∠B＝2∠DE＝120°，∴∠B+∠DE＝180°，∠B+∠M＝180°，∴∠DE=∠M＝60° ∠ ∴ DE-∠ME=∠M-∠ME，∴∠MD＝∠E，∴△MD △ ≌E；∴D＝E，MD＝E， ∵平分∠B，∴∠＝∠M＝60°，∴=M= ，=M= 。 又∵D-E＝M+DM-（E-），∴D-E=+M=， ∵△MD △ ≌E，∴S△MD=S△E，∴ 。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△B 是等腰三角形，且∠B=120°，∠BP=60°，P 平分∠BP。 结论：PB+P= P； 证明：将△P 绕点顺时针旋转120°至△QB，即△P △ ≌QB， ∴∠P=∠BQ，∠P=∠BQ，P＝Q，P＝QB； ∵∠B=120°，∠BP=60°，∴∠P+∠BP=180°，∴∠BQ+∠BP=180°，故P、B、Q 共线。 又∵∠BP=60°，P 平分∠BP，∴∠PQ=60°，∵P＝Q，∴∠QP=60°， 根据勾股定理易证：PQ= P，又∵PQ=PB+QB=PB+P，∴PB+P= P。 例1．（2024 重庆八年级期末）如图，已知∠B=120°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个60°角的顶点与 点重合，它的两条边分别与直线、B 相交于点D、E． （1）当∠DE 绕点旋转到D 与垂直时（如图1），请猜想E+D 与的数量关系，并说明理由；（2）当∠DE 绕点旋转到D 与不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DE 绕点旋 转到D 与的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段D、E 与之间 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为E ﹣D=，证明详见解析 【分析】(1)根据M 是∠B 的角平分线，可得∠B=60°，则∠E=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得 出D= ，同理：E= ，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到F+G=，再根据S 证明△FD △ ≌GE，得出 DF=EG，则F=D+DF=D+EG，G=E﹣EG，F+G=D+E，即可得出结论(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等 量代换可得E﹣D= 【详解】(1)∵M 是∠B 的角平分线，∴∠=∠B= ∠B=60°， ∵D⊥，∴∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠E=∠DE﹣∠D=30°， 在Rt△D 中，D= ，同理：E= ，∴D+E=， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点作F⊥于F，G⊥B 于G，如图， ∠ ∴ F=∠G=90°，∵∠B=120°，∴∠FG=60°， 同(1)的方法得，F= ，G= ，∴F+G=， ∵F⊥，G⊥B，且点是∠B 的平分线M 上一点，∴F=G， ∠ ∵ DE=60°，∠FG=60°，∴∠DF=∠EG，∴△FD △ ≌GE，∴DF=EG， ∴F=D+DF=D+EG，G=E﹣EG， ∴F+G=D+EG+E﹣EG=D+E，∴D+E=； (3)(1)中结论不成立，结论为：E﹣D=，理由：过点作F⊥于F，G⊥B 于G，如图， ∠ ∴ F=∠G=90°，∵∠B=120°，∴∠FG=60°，同(1)的方法得，F= ，G= ，∴F+G=， ∵F⊥，G⊥B，且点是∠B 的平分线M 上一点，∴F=G， ∠ ∵ DE=60°，∠FG=60°，∴∠DF=∠EG，∴△FD △ ≌GE， ∴DF=EG，∴F=DF﹣D=EG﹣D，G=E﹣EG，∴F+G=EG﹣D+E﹣EG=E﹣D，∴E﹣D=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质正确作辅助线是 解题的关键 例2．（2024 广东中考一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 （1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由； （2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理 由； （3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 【答】（1） ，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【分析】（1）先判断出∠E＝60°，再利用特殊角的三角函数得出D＝ ，同E＝ ，即可得出结论； （2）同（1）的方法得F＋G＝ ，再判断出△FD △ ≌GE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】解：（1） 是 的角平分线 在 中， ，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 作 于 ， 于 由（1）知， ，且点 是 的平分线 上一点 （3）结论为： 理由：过点作F⊥于F，G⊥B 于G，∴∠F＝∠G＝90°， ∠ ∵ B＝60°，∴∠FG＝120°，同（1）的方法得，F＝ ，G＝ ，∴F＋G＝ ， ∵F⊥，G⊥B，且点是∠B 的平分线M 上一点， ∴F＝G，∵∠DE＝120°，∠FG＝120°，∴∠DF＝∠EG， △ ∴FD △ ≌GE，∴DF＝EG，∴F＝DF−D＝EG−D，G＝E−EG， ∴F＋G＝EG−D＋E−EG＝E−D，∴E−D＝ ． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用， 正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 例3．（23-24 九年级上·重庆江津·期中）在△B 中，B=，∠=60°，点D 是线段B 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段B 相交于点E，DF 与线段（或的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥，垂足为F，B=4，求BE 的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段相交于点F．求证：BE+F= B．（3）如图3，若∠EDF 的两边分别交B、的延长线于E、F 两点，（2）中的结论还成立吗？如果成 立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、B、F 之间的数量关系． 【答】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣F= B 【分析】（1）如图1 中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30 度角性质即可解决问题． （2）如图2 中，过点D 作DM⊥B 于M，作D⊥于．只要证明△BDM △ ≌D，△EDM △ ≌FD 即可解决问题． （3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣F= B，证明方法类似（2）． 【详解】解：（1）如图1 中， ∵B=，∠=60°，∴△B 是等边三角形，∴∠B=∠=60°，B==B=4， ∵点D 是线段B 的中点，∴BD=D= B=2，∵DF⊥，即∠FD=90°，∴∠DF=30°， 又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE= BD=1． （2）如图2 中，过点