专题18 全等与相似模型之十字模型（原卷版）

专题18 全等与相似模型之十字模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 模型1 正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 1）如图1，在正方形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，E⊥BF；则 E=BF。 2）如图2，在正方形BD 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 3）如图3，在正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片 的顶点折叠至 边上的点 E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ） ．13 B．14 ．15 D．16 例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F 分别在边 ， 上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ． 例3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、分别是 的中 点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例4．（广西2022-2023 学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形BD 中，E 为边B 上一点（点E 不与点B 重合），连接DE，过点作 ，交B 于点F，证明： ． （2）探究：如图②，在正方形BD 中，E，F 分别为边B，D 上的点（点E，F 不与正方形的顶点重合）， 连接EF，作EF 的垂线分别交边D，B 于点G，，垂足为．若E 为B 中点， ， ，求G 的长． （3）应用：如图③，在正方形BD 中，点E，F 分别在B，D 上， ，BF，E 相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则 的面积为______， 的周长为_____ _． 模型2 矩形的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关 系。 如图1，在矩形BD 中，若E 是B 上的点，且DE⊥，则 如图2，在矩形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，且EF⊥，则 如图3，在矩形BD 中，若E、F、M、分别是B、D、D、B 上的点，且EF⊥M，则 例1．（22·23 下·广西·九年级期中）如图，把边长为 ， 且 的平行四边形 对 折，使点 和 重合，求折痕 的长． 例2．（22·23 下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 边上的点，当 时，证明： ． 例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，将 矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．（1）如图1，当点 与点 重合 时，则线段 _______________， _____________；（2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时， 取 的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ．①求证：四边形 是平行四边形：②当 时，求四边形 的面积． 例4．（2022 年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形BD 中，EF⊥G，EF 分别交B，D 于 点E，F，G 分别交D，B 于点G，．求证： ；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，分别在 边B，D 上，若 ，求 的值；(3)如图3 四边形BD 中，∠B＝90°，B＝D＝10，M⊥D，点M，分 别在边B，B 上，，求 的值． 模型3 三角形的十字架模型（全等+相似模型） 1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）： 如图1，已知等边△B，BD=E（或D=E），则D=BE，且D 和BE 夹角为60°，△B。 2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 如图2，在△B 中，B=B，B⊥B，①D 为B 中点，②BF⊥D，③F：F=2：1，④∠BD=∠DF，⑤ ∠FB=∠FD，⑥∠E=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。 3）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形B 中，B=kB，B⊥B，D 为B 中点，BF⊥D，则F：F=2：k2，（相似） 例1（22-23 成都市八年级期中）如图，在等边△B 中，D、E 分别是B、上的点，且BD＝E，D 与BE 相交 于点P．下列结论：①E＝D；②P＝BE；③∠PE＝∠BE；④∠PB＝120°，其中正确的结论是________ （填序号） 例2．（22·23 下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F 分别在，B 边上， ，连接F，BE，相交 于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ． 例3．（22·23 下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6 的等边 中， 、 分别为边 、 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ＝ °；则 的周长为 ． 例4．（22·23 下·六安·一模）如图1，等边 中，点D、E 分别在 上，且 ，连接 交于点 (1)求证： ；(2)如图2，连接 ，若 ，判断 与 的位置关系 并说明理由；(3)如图3，在 的条件下，点G 在 上， 的延长线交 于，当 时，请直 接写出线段F 的长． 例5．（22·23 上·深圳·期中）如图，在 中， ， ，点D 为 边上的中点， 连接 ，过点B 作 于点E，延长 交 于点F．则 的长为 ． 例6．（22·23 下·沧州·二模）如图，在 中， ， ，点D 是线段 上的一点， 连接 ，过点B 作 ，分别交 、 于点E、F，与过点且垂直于 的直线相交于点G，连接 ，下列结论错误的是（ ） ． B．若点D 是B 的中点，则 ．当B、、F、D 四点在同一个圆上时， D．若 ，则 例7．（22·23·广东·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连 接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长． 例8．（22-23 下·深圳·一模）如图①，在Rt 中， ， ，点D 为 边上的一点， 连接 ，过点作 于点F，交 于点E，连接 ． (1)若 ，求证： ；(2)如图②，若 ， ，求 的值． 例9．（22·23 上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做 了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 ， ， ，则 的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是边 上一点，连接 ， ，且 ，求 的值．【拓展延伸】(3)如图③，在 中， ，点 在 边上，连结 ，过点 作 于点 ， 的延长线交 边于点 ．若 ， ， ，则 ___________． 课后专项训练 1．（22·23 下·杭州·一模）如图，在等边 的，B 边上各取一点M，使 ，，BM 相交于点．若 ， ，则B 的长是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 2．（2023 湖北九年级期末）如图，将边长为12m 的正方形BD 折叠，使得点落在D 边上的点E 处，折痕为 M．若E 的长为7m，则M 的长为（ ） ．10 B．13 ．15 D．无法求出 3．（2023 南充市中考模拟）如图，正方形BD 的边长为2，P 为D 的中点，连结P，过点B 作BE P ⊥于点 E，延长E 交D 于点F，过点作⊥BE 于点G，交B 于点，连接F，下列结论正确的是（ ） ．E= B．EF= ．s EP= ∠ D．F2=EF•F 4．（黑龙江省牡丹江市2021 年中考数学真题试卷）如图，正方形BD 的边长为3，E 为B 边上一点，BE＝ 1 将正方形沿GF 折叠，使点恰好与点E 重合，连接F，EF，GE，则四边形GEF 的面积为（ ） ．2 B．2 ．6 D．5 5．（22·23 下·东营·中考模拟）如图，在Rt B △中，∠B=90°，B=B，点D 是线段B 上的一点，连结D，过点B 作BG D ⊥，分别交D、于点E、F，与过点且垂直于B 的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：① ；②若点D 是B 的中点，则F= B；③当B、、F、D 四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 ，则 其中正确的结论序号是（ ） ．①② B．③④ ．①②③ D．①②③④ 6．（22·23 下·江门·模拟预测）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，=B．点D 是线段B 上的一点，连接D，过点 作G⊥D，分别交D、B 于点G、E，与过点B 且垂直于B 的直线相交于点F，点D 是B 的中点，连接DE． 则 = ； 7．（22·23 下·山西·一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B＝2，E 是B 边上的中线，过点B 作E 的垂线 BD，垂足为，交于点D，则D 的长为 ． 8．（山东2022-2023 学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形BD 中，点E、F、分别是B、B、D 的中点，E、DF 交于G，连接G、G．下列结论：①G=D；②G⊥G；③∠DG=60°；④∠GE=∠BE．其中正 确的有 ． 9．（江西2023-2024 学年九年级月考数学试题）在矩形纸片 中， ， ，将纸片折叠． (1)如图1，若沿 对折，使点恰好落在 上得到点E，求 的长． (2)如图2，若沿对角线 折叠，使点落在点F 处， 与 交于点E，求 的长． (3)如图3，若沿 折叠，使点与点重合，求折痕 的长． 10．（2023 年成都市中考三模数学试题）已知正方形 的边长为6，动点 分别在边 上运 动，连接 ．(1)如图1，过 作 交边 于点 ，交 于点 ．）若 为 的中点， 为 的中点，求 的长；ⅱ）探索线段 之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2， 将四边形 沿 翻折得到四边形 与 相交于点 ，调整点 和点 的位置使得线段 始终经过顶点 ．）若点 到 的距离 ，求 的长；ⅱ）点 到 的距离是否存在最 大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 11．（四川省成都市2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形 中，E 为边 上一点（不与点B、重合），过点D 作垂直于 的一条直线 ，垂足为G，交 于点F．小明发现可以通过证明： 得 （不需证明） 【模型探究】（1）如图2，在正方形 中，P 为边 上一点（不与点B、重合），M 为线段 上一 点（不与、D 重合），过点M 作 ，垂足为G，交 于点，请直接写出 与 及线段 、 、 之间的数量关系． （2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G 恰好为 的中点，连接 ，交 于点，连接 并延长交 边 于点，再连接 ，请探究线段 、 的数量关系； 【拓展应用】（3）如图4，若正方形 的边长为8，点M、分别为边 、 上的点，过作 ，已知 ，将正方形 沿着 翻折， 的对应边 恰好经过点，连接 交 于点Q 过点Q 作 ，垂足为R，求线段 的长．（直接写出结论即可） 12．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形 ，点 ， 分别在边 ， 上， 于点 ，点 ， 分别在边 、 上， ． ①判断 与 的数量关系： ； ②推断： 的值为： ；（无需证明） （2）类比探究：如图（2），在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上 的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关 系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分别在边 、 上，求 的值． （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长． 13．（22·23 下·江苏·九年级期中）平行四边形 中， ， 分别是边 、 上的点， ，G 为垂足．（1）如图1，当 ， 时，求证： （2）如图2，当 ， ， ，求 的最小值 （3）如图3，当 ， ，E 为 的中点，直接写出 的值． 14．（2022 年湖北中考模拟）知矩形BD 中， ，点E 是B 边上一点， 于点，分别交B、D 于点F、G．(1)特例发现：如图1，若 ，则 ______； (2)类比探究：如图2，若 ，请探究 的值，并写出探究过程； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形BD 沿F 折叠，使点恰好落在B 边上的点E 处，得到四边 形PEFG，PE 与D 交于点，连接P．已知 ， ，求P 的长 15．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形BD 中，点 E，F 分别是B，D 上的两点，连接DE，F，若 ，则 的值为______； （2）如图2，在矩形BD 中， ， ，点E 是D 上的一点，连接E，BD，若 ，则 的 值为______； （3）如图3，在四边形BD 中， ，点E 为B 上一点，连接DE，过点作DE 的垂线交ED 的延 长线于点G，交D 的延长线于点F，求证： ； （4）如图4，在 中， ， ，将 沿BD 翻折，点落在点处，得到 ， 点F 为线段D 上一动点，连接F，作 交B 于点E， 垂足为点G，连接G．设 ，求G 的最 小值． 16．（2023 年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】 如图1，已知正方形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．当 时， 求证： ； 【类比迁移】如图2，在菱形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．若 ，求证： ． 【拓展延伸】如图3，在四边形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ． ， ， ， ，若 ，请求出 的值． 17．（22·23 下·安徽·模拟预测）如图1，在等边 中，点D，E 分别在边 上，且 ，连 接 相交于点F． (1)求 的度数；(2)如图2，连接 ，当 时，求 的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将 沿 翻折，使点落在点G 处，连接 并延长交 于点，交 于点．当 时，求 的长． 18．（22·23 下·深圳·期中）课本再现 如图1，在等边 中，E 为边 上一点，D 为 上一点，且 ，连接 与 相交于点F． （1） 与 的数量关系是 ， 与 构成的锐角夹角 的度数是 ； 深入探究（2）将图1 中的 延长至点G，使 ，连接 ， ，如图2 所示．求证： 平分 ．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰 中， ，D， E 分别是边 ， 上的点， 与 相交于点F．若 ，且 ，求 值． 19．（22-23 下·太原·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系． 已知：在Rt△B 中，＝B，∠B＝90°，D 是射线B 上的一个动点，连接D，过点作D 的垂线，垂足为点E， 过点B 作的平行线交E 的延长线于点F． 独立思考：(1)如图1，当点D 与点B 重合时，小颖发现BF＝，请你帮她说明理由； (2)如图2，当点D 为B 中点时，直接写出线段BF 与的数量关系； 合作交流：(3)①如图3，当点D 在线段B 上（不与、B 重合），请探究线段BF、BD 与之间的数量关系 （要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D 在线段B 延长线上，请探究线段BF、BD 与 之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）． 20．（22·23 下·渝北·阶段练习） 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，连接 、 交于点 ． (1)如图1，求 的度数；(2)如图2，以 为边作等边 ，连接 ，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，延长 、 交于点 ，点 在线段 上，且 ，连接 交 于点 ，若 ， ，直接写出 的值．（提示：可过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，作 于点 ．）