专题15 全等与相似模型-手拉手模型（原卷版）

专题15 全等与相似模型-手拉手模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 手拉手模型 【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉 手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 1）双等边三角形型 条件：如图1，△B 和△DE 均为等边三角形，为公共点；连接BE，D 交于点F。 结论：①△D≌△BE；②BE=D；③∠FM=∠BM=60°；④F 平分∠BFD。 图1 图2 2）双等腰直角三角形型 条件：如图2，△B 和△DE 均为等腰直角三角形，为公共点；连接BE，D 交于点。 结论：①△D≌△BE；②BE=D；③∠M=∠BM=90°；④平分∠BD。 3）双等腰三角形型 条件：△B 和△DE 均为等腰三角形，为公共点；连接BE，D 交于点F。 结论：①△D≌△BE；②BE=D；③∠M=∠BFM；④F 平分∠FD。 图3 图4 4）双正方形形型 条件：△BFD 和△EFG 都是正方形，为公共点；连接BG，ED 交于点。 结论：①△△BG≌△DE；②BG=DE；③∠BM=∠DM=90°；④平分∠BE。 例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形B 中，点P 为△B 内一点，连接P，BP，P，将 线段P 绕点 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．（1）用等式表示 与P 的数量关系，并证明； （2）当∠BP＝120°时， ①直接写出 的度数为 ； ②若M 为B 的中点，连接PM，请用等式表示PM 与P 的数量关系，并证明． 例2．（2022·黑龙江·中考真题） 和 都是等边三角形． (1)将 绕点旋转到图①的位置时，连接BD，E 并延长相交于点P（点P 与点重合），有 （或 ）成立；请证明．(2)将 绕点旋转到图②的位置时，连接BD，E 相交于点P，连接 P，猜想线段P、PB、P 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将 绕点旋转到图③的位置时，连 接BD，E 相交于点P，连接P，猜想线段P、PB、P 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知 B 和 M 都是等腰直角三角形( <M=)， ∠B=∠M=90°．(1)如图①，连接M，B，求证： M≌ B；(2)若将 M 绕点顺时针旋转，①如图②，当点恰 好在B 边上时，求证： ； ②当点，M，在同一条直线上时，若B=4， =3，请直接写出线段B 的长． 例4．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角 与 有公共顶点 ． （1）如图①，当点 在同一直线上时，点 为 的中点，求 的长； （2）如图②，将 绕点 旋转 ，点 分别是 的中点， 交 于 ， 交 于 ．①猜想 与 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若 为 的 中点，连接 ，在 旋转过程中，线段 的最小值是多少（直接写出结果）． 例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知 是等腰三角形， ． （1）特殊情形：如图1，当 ∥ 时， ______ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论： 若将图1 中的 绕点 顺时针旋转 （ ）到图2 所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？ 请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 是等腰直角三角形 内一点， ，且 ， ， ，求 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出 的度数． 例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角 顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形 (1)问题发现：如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，B，DE 分别是底边求证： ； (2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点，D，E 在同一条 直线上，M 为 中DE 边上的高，连接BE，请判断∠EB 的度数及线段M，E，BE 之间的数量关系并说 明理由 图1 图2 例7．（2022·广东广州市·八年级期中）如图，两个正方形BD 与DEFG，连结G，E，二者相交于点．（1） 证明：△DG △ ≌DE；（2）请说明G 和E 的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结E 和G，请问△DE 的面积和△DG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 例8．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，ABD  和AEC  均为等边三角形，连接BE、D． （1）请判断：线段BE 与D 的大小关系是 ； （2）观察图，当ABD  和AEC  分别绕点旋转时，BE、D 之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形BD、DEFG 都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜 想（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全 等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形B11D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出 两个全等三角形？ 模型2“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点 不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形 的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠B=∠DE= ， ； 结论：△DE∽△B，△BD∽△E； 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图， ， （即△D∽△B）； 结论：△∽△BD； ，⊥BD， 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件 :M 为等边三角形B 和DEF 的中点； 结论：△BME∽△MF； 条件 :△B 和DE 是等腰直角三角形； 结论：△BD∽△E 手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在△B 中，B＝6，＝5，点D，E 分别在边B，上， 且 ．数学思考：(1)在图1 中， 的值为 ；(2)图1 中△B 保持不动，将△DE 绕点按逆时针方 向旋转到图2 的位置，其它条件不变，连接BD，E，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓 展探究：在图2 中，延长BD，分别交，E 于点F，P，连接P，得到图3，探究∠PE 与∠B 之间有何数量关 系，并说明理由；(4)若将△DE 绕点按逆时针方向旋转到图4 的位置，连接BD，E，延长BD 交E 的延长线 于点P，BP 交于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ∠PE 与∠B 之间的数量关系． 例2．（2022·山东济南·八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P 是底边B 上一点，连接P，以P 为腰作等 腰 ，且 ，连接Q、则BP 和Q 的数量关系是______； (2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P 是腰B 上一点，连接P，以P 为底边作等 腰 ，连接Q，判断BP 和Q 的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形BD 中，点P 是边B 上一点，以DP 为边作正方形DPEF，点Q 是正方形 DPEF 两条对角线的交点，连接Q．若正方形DPEF 的边长为 ， ，求正方形BD 的边长． 例3．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直 角三角形 和等腰直角三角形 ，按如图1 的方式摆放， ，随后保持 不动， 将 绕点按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ． 该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当 时，则 _____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F 重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程； 若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在 与 中， ，若 ， （m 为常数）．保持 不动，将 绕点按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的 数量关系，并说明理由． 例4．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰 中， ，点 是 边上一点（不与点 、 重 合），连结 ．（1）如图1，若 ，点 关于直线 的对称点为点 ，结 ， ，则 ________； （2）若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ． ①在图2 中补全图形；②探究 与 的数量关系，并证明； （3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，并证明． 例5．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△B 和△DE 都是等边三角形，连接BD，E．求证：BD＝E． (2)【类比探究】如图2，△B 和△DE 都是等腰直角三角形，∠B＝∠DE＝90°．连接BD，E．请直接写出 的值．(3)【拓展提升】如图3，△B 和△DE 都是直角三角形，∠B＝∠DE＝90°，且 ＝ ＝ ．连接 BD，E．①求 的值；②延长E 交BD 于点F，交B 于点G．求s∠BF 的值． 例6（2023·四川·成都九年级期中）如图1，已知点G 在正方形BD 的对角线上，GE⊥B，垂足为点E， GF⊥D，垂足为点F．（1）证明：四边形EGF 是正方形；（2）探究与证明：将正方形EGF 绕点顺时针 方向旋转α 角（0°＜α＜45°），如图2 所示，试探究线段G 与BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形EGF 绕点顺时针方向旋转α 角（0°＜α＜45°），如图3 所示，当B，E，F 三点 在一条直线上时，延长G 交D 于点，若G＝9，G＝3 ，求B 的长． 课后专项训练 1．（2022·浙江·温州一模）如图，在△B 中以，B 为边向外作正方形FG 与正方形BDE，连结DF，并过点 作⊥B 于并交FD 于M．若∠B＝120°，＝3，B＝2，则MD 的长为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 3．（2022·广东茂名·二模）如图，在 中， ，D 是边 上的一个动 点，连接 ，并将线段 绕点逆时针旋转 后得线段 ，连接 ，在点D 运动过程中，线段 长度的最小值是_________． 4．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在 中， ， ， ，D 是 上 一点，且 ，过点D 作 交 于E，将 绕点顺时针旋转到图2 的位置．则图2 中 的值为 ． 5、（2022·重庆·九年级期末）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形BD 的一边D 的延长线上，连结G，E 交于点，若 ， ，则的长为________ 6．（2022 秋·江西抚州·九年级临川一中校考期中）将 绕点 按逆时针方向旋转 度，并使各边长变 为原来的 倍，得 ，如图①所示， ，我们将这种变换记为 ． (1)如图①，对 作变换 得到 ，则 _________；直线 与直线 所夹的锐角为_________度；(2)如图②， 中， ，对 作变换 得到 ，使点B、、 在同一直线上，连接 且 ，求 和 的值； (3)如图③， 中， ，对 作变换 得到 ，便点 在同一直线上，且 ，求 和 的值． 7．（2023·辽宁丹东·统考二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形 ，点E 为对角线 上一动点， 将 绕点B 顺时针旋转 到 处，得到 ，连接 ．填空：① ___________；② 的 度数为___________；（2）类比探究：如图2，在矩形 和 中， ， ，连接 ，请分别求出 的值及 的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2） 的条件下，将点E 改为直线 上一动点，其余条件不变，取线段 的中点M，连接 ， ，若 ，则当 是直角三角形时，请直接写出线段 的长． 8．（2023 春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1，在 中， ，点D，E 分别是边 的中点，连接 ．如图2，将 绕点按顺 时针方向旋转，记旋转角为 ．【观察发现】如图2，当 时， _________． 【方法迁移】如图3，矩形 中， 点E，F 分别是 的中点．四边形 为矩 形，连接 ．如图4，将矩形 绕点逆时针旋转．旋转角为α ，连接 ．请探究矩形 旋转过程中， 与 的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形 改为“平行四边形 ”且 ，矩形 改为 “平行四边形 ”，其他条件不变，如图6，在平行四边形 旋转过程中，直接写出 _____ ____． 9．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角 与 有公共顶点 ， ， ， ．现将 绕点 旋转． (1)如图①，当点 ， ， 在同一直线上时，点 为 的中点，求 的长； (2)如图②，连接 ， ．点 为 的中点，连接 交 于点 ，求证： ； (3)如图③，点 为 的中点，以 为直角边构造等腰 ，连接 ，在 绕点 旋转过程中， 当 最小时，直接写出 的面积． 10．（2023 春·广东揭阳·九年级校考期中）已知Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝4，另有一块等腰直角三角板的 直角顶点放在处，P＝Q＝2，将三角板PQ 绕点旋转(保持点P 在△B 内部)，连接P、BP、BQ．（1）如图1 求证：P＝BQ；（2）如图2 当三角板PQ 绕点旋转到点、P、Q 在同一直线时，求P 长． 11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，正方形BD，将边D 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得 到线段DE，连接E，E，过点作F⊥E 交线段E 的延长线于点F，连接BF． （1）当E＝B 时，求α 的度数；（2）求证：∠EF＝45°；（3）求证：E∥FB． 12．（2022·河南·方城县一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1) B △ 是边长为3 的等边三角形，E 是边上的一点，且E=1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图（1） 所示．则F 的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2) B △ 是边长为3 的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图（2）所 示．在点E 从点到点的运动过程中，求点F 所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E 不与点重合时，如图，连结F， ∵△B、△BEF 都是等边三角形 ∴B=B，BE=BF，∠B= EBF ∠ =60° ① ∴ BE ∠ + = BF ∠ + ；∴∠BE= BF ∠ ∴△BE≌△BF ∴ BE= BF ∠ ∠ =60° 又∠B=60° ∴ BF= B ∠ ∠ ②______ ______ ∴ ∥ ； 当点E 在点处时，点F 与点重合． 当点E 在点处时，F=．∴③点F 所经过的路径长为 ． (3)△B 是边长为3 的等边三角形，M 是高D 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BM，如图（3） 所示．在点M 从点到点D 的运动过程中，求点所经过的路径长． (4)正方形BD 的边长为3，E 是边B 上的一个动点，在点E 从点到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正 方形BFG，其中点F，G 都在直线E 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F，G，与点B 重合．则点所 经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 13．（2022·福建福州·九年级校考期中）正方形BD 和正方形EFG 的边长分别为3 和1，将正方形EFG 绕 点逆时针旋转．（1）当旋转至图1 位置时，连接BE，DG，则线段BE 和DG 的关系为 ； （2）在图1 中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中 BDF 的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D 在同一直线上时，求线段BE 的长． 14．（2022·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△B 的边B 上任取一点E（点E 不与B 重 合），以E 为边在△B 同侧作等边△E，连接．求证： B 且＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△B”改成正方形BD，同样在边B 上任取一点E（点E 不与B 重合）， 以E 为边在正方形BD 同则作正方形EM，连接D，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直 接写出结论；若没有，请说明理由； 15．（2023·浙江·九年级课时练习）在△B 中，B＝，∠B＝α，点P 为线段延长线上一动点，连接PB，将线 段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，D．（1）如图1，当α＝60°时，求证：P ＝D；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P 和D 的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若B＝6，BP ＝ ，请直接写出点D 到P 的距离． 16（2022·山东·九年级课时练习）如图， 和 是有公共顶点直角三角形， ， 点P 为射线 ， 的交点． （1）如图1，若 和 是等腰直角三角形，求证： ； （2）如图2，若 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件 下， ， ，若把 绕点旋转，当 时，请直接写出 的长度 17．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt△B 与Rt△DE，∠DE＝∠B＝90°， ，连 接BD，E．求证： ．（2）如图2，四边形BD，∠BD＝∠BD＝90°，且 ，连接B，B、、D 之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△B 绕点逆时针旋转90°，并放大2 倍，点B 对应点D．点落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出B，，D 之间的关系． （3）拓展：如图4，