模型37 四边形对角互补模型（原卷版）(1)

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与 120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明 两个三角形全等或者相似 模型一、含90°的全等型 1 如图，已知∠B＝∠DE＝90º，平分∠B 则可以得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝ ， ③ 2 如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90º，平分 ∠B 则可得到如下几个结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 模型二、 含60°与120°的全等型 模型介绍 如图，已知∠B＝2∠DE＝120º，平分∠B 则可得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 【例1】．如图，在四边形BD 中，∠＝∠＝90°，B＝D，若这个四边形的面积为12，求 B+D 的值． 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的对角线与BD 相交于点，E，F 分别是B，B 上的点，连 接EF．若E＝4，F＝3，E⊥F，求EF 的长． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作 EF⊥BE，垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝_________ 例题精讲 【例2】．如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，BD 平分∠B，∠DB＝60°，B+B＝4，则的 长是 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形BD 顶点的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线，BD 交于点M，M＝ ，则点的坐标为 ． 【变式2-2】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，Rt△MP，∠MP＝90°，点P 在 上，PM 交B 于点E，P 交B 于点F，当PE＝2PF 时，P＝ ． 【变式2-3】．如图，正方形BD，点P 是对角线上一点，连接BP，过P 作PQ⊥BP，PQ 交D 于Q，连接BQ 交于G，若P＝ ，Q 为D 中点，则下列结论： ①∠PB＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BP＝∠BQ；④正方形BD 的面积是16； 其中正确结论是_________ 1．如图，在四边形BD 中，∠＝∠＝90°，B＝D，若这个四边形的面积为12，则B+D＝ ． 2．如图，在△B 中，∠B＝60°，B＝2 ，B＝8，以为腰，点为顶点作等腰△D，且∠D＝ 120°，则BD 的长为 ． 3．如图所示，在四边形BD 中，D＝3，D＝2，∠B＝∠B＝∠D＝45°，则BD 的长为 ． 4．四边形BD 被对角线BD 分为等腰直角△BD 和直角△BD，其中∠和∠都是直角，另一条对 角线的长度为2，求四边形BD 的面积． 5．如图，正方形BD 与正方形MP 的边长均为10，点是正方形BD 的中心，正方形MP 绕 点旋转，证明：无论正方形MP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一 个定值，并求这个定值． 6．基本模型 在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型． 解题思路： 1．过互补角的顶点作旋转构造全等或相似； 2 过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似． 问题： 如图，在四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，BD 平分∠B． 结论：①D＝D；②B+B＝ BD；③S 四边形BD＝ BD2 请证明【基本模型】中的结论． 求证：①D＝D；②B+B＝ BD；③S 四边形BD＝ BD2． 7．如图1，∠B＝90°，平分∠B，以为顶点作∠DE＝90°，交于点D，B 于点E． （1）求证：D＝E； （2）图1 中，若＝3，求D+E 的长； （3）如图2，∠B＝120°，平分∠B，以为顶点作∠DE＝60°，交于点D，B 于点E．若＝ 3，求四边形ED 的面积． 8．感知：如图1，D 平分∠B．∠B+∠＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝D． 探究：如图2，D 平分∠B，∠BD+∠D＝180°，∠BD＜90°，求证：DB＝D． 应用：如图3，四边形BD 中，∠B＝45°，∠＝135°，DB＝D＝，则B﹣＝ （用含的 代数式表示） 探究： 9．问题提出： （1）如图1，已知线段B＝2，＝4，连接B，则三角形B 面积最大为 ； 问题探究： （2）如图2，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝∠BD＝90°，若D+B＝10，求四边形BD 的面积； 问题解决： （3）在四边形BD 中，B＝D，∠BD+∠BD＝180°，＝8，求四边形BD 面积的最大值． 10．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）概念理解： ①在互补四边形BD 中，∠与∠是一组对角，若∠B：∠：∠D＝2：3：4，则∠＝ °； ②如图1，在△B 中，点D，E 分别在边B，B 上，且BE•B＝B•BD，求证：四边形DE 是 互补四边形． （2）探究发现：如图2，在等腰△BE 中，E＝BE，点，D 分别在边BE，E 上，D＝B， 四边形ED 是互补四边形，求证：∠BD＝∠B＝ ∠E． 11．如图，正方形BD 中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶 点P 在射线上移动，另一边交D 于Q． （1）如图1，当点Q 在D 边上时，探究PB 与PQ 所满足的数量关系； 小明同学探究此问题的方法是： 过P 点作PE⊥D 于E 点，PF⊥B 于F 点， 根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF， 再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是 ； （2）如图2，当点Q 落在D 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，并 证明你的猜想． 12．【提出问题】 （1）如图1，在等边△B 中，点M 是B 上的任意一点（不含端点B、），连接M，以M 为边作等边△M，连接．求证：BM＝． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△B 中，点M 是B 延长线上的任意一点（不含端点），其它条件不 变，（1）中结论BM＝还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△B 中，B＝B，B＝6，＝4，点M 是B 上的任意一点（不含端点 B、），连接M，以M 为边作等腰△M，使顶角∠M＝∠B．连接．试探究BM 与的数量关 系，并说明理由． 13．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． （1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有 ； （2）性质探究： ①如图1，四边形BD 是奇异四边形，B＝D，求证：平分∠BD； ②如图2，四边形BD 是奇异四边形，B＝D，∠BD＝2α，试说明：sα＝ ； （3）性质应用： 如图3，四边形BD 是奇异四边形，四条边中仅有B＝D，且四边形BD 的周长为6+2 ，∠B＝45°，＝3 ，求奇异四边形BD 的面积． 14．已知：在四边形BD 中，∠+∠＝180°，DB 平分∠D． （1）求证：B＝B； （2）如图2，若∠DB＝60°，试判断△B 的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）得条件下，在B 上取一点E，B 上取一点F，连接E、F 交于点 M，连接EF，若∠MF＝60°，D＝EF＝7，D＝8（F＞BF），求E 的长． 15．在△B 中，B＝，∠＝60°，点D 是线段B 的中点，∠EDF＝120°，DE 与线段B 相交于点 E，DF 与线段（或的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥，垂足为F，B＝4，求BE 的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段相交于点 F．求证：BE+F＝ B． （3）如图3，若∠EDF 的两边分别交B、的延长线于E、F 两点，（2）中的结论还成立 吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、B、F 之间的数量关系． 16．如图，已知∠DE 与∠B，平分∠B． （1）如图1，∠DE 与∠B 的两边分别相交于点D、E，∠B＝∠DE＝90°，试判断线段D 与E 的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：D＝E． 理由如下：如图1，过点作F⊥，交B 于点F，则∠F＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠B＝120°，∠DE＝60°． ①如图3，∠DE 与∠B 的两边分别相交于点D、E 时，（1）中的结论成立吗？为什么？ 线段D、E、有什么数量关系？说明理由． ②如图4，∠DE 的一边与的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接 写出线段D、E、有什么数量关系；如图5，∠DE 的一边与B 的延长线相交时，请回答 （1）中的结论是否成立，并请直接写出线段D、E、有什么数量关系． 17．在⊙中，弦D 平分圆周角∠B，连接B，过点D 作DE∥B 交B 的延长线于点E． （1）求证：DE 是⊙的切线； （2）若t∠B＝ ，且B 是E 的中点，⊙的直径是 ，求DE 的长． （3）P 是弦B 下方圆上的一个动点，连接P 和BP，过点D 作D⊥BP 于点，请探究点P 在运动的过程中， 的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值． 18．（1）探究：如图1，在△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在边B 上． ①求∠DE 的度数； ②直接写出线段D，E，之间的数量关系； （2）应用：如图2，在四边形BD 中，B＝B，∠B＝60°，P 是四边形BD 内一点，且∠P ＝120°，求证：P+P+PD≥BD； （3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为（﹣4，0），点B 是y 轴上一个 动点，以B 为边在B 的下方作等边△B，求的最小值． 19．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形． （1）如图1，在等邻边互补四边形BD 中，D＝D，且D∥B，B＝2D，求∠B 的度数； （2）如图2，四边形BD 内接于⊙，连接D 交于点E（不与点重合），若E 是的中点， 求证：四边形BD 是等邻边互补四边形； （3）在（2）的条件下，延长D 交B 于点F，交⊙于点G，若 ＝ ，t∠B＝ ，＝ 12，求FG 的长； （4）如图3，四边形BD 内接于⊙，B＝B，BD 为⊙的直径，连接并延长交B 于点E，交 ⊙于点F，连接F，设t∠BF＝x， ＝y，求y 与x 之间的函数关系式．