专题6.2 实数与估算【十大题型】（原卷版）

专题62 实数与估算【十大题型】 【人版】 【题型1 实数的分类】............................................................................................................................................. 1 【题型2 实数的性质】............................................................................................................................................. 2 【题型3 实数与数轴的关系】.................................................................................................................................3 【题型4 利用数轴化简】.........................................................................................................................................4 【题型5 实数的运算】............................................................................................................................................. 5 【题型6 实数的应用】............................................................................................................................................. 6 【题型7 估算无理数的范围】.................................................................................................................................8 【题型8 已知无理数的范围求值】.........................................................................................................................8 【题型9 估算无理数最接近的值】.........................................................................................................................9 【题型10 无理数整数、小数部分问题】................................................................................................................ 9 【知识点1 实数的分类】 【知识点2 无理数的概念】 无限不循环小数叫做无理数 常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多 一个0）．②含有π 的绝大部分数，如2π． 【题型1 实数的分类】 【例1】（2022 秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里． 100，﹣082，﹣301 2，314，﹣2，0，﹣2011，﹣31 ．，3 7 ，−π 4 ，2010010001…． 正分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 非正整数集合：{ …}； 1 无理数集合：{ …}； 【变式1-1】（2022 春•长葛市期中）下列各数：①3141、②033333…、③❑ √5−❑ √7、 ④π、⑤±❑ √2.25、⑥−2 3 、⑦03030030003…（相邻两个3 之间0 的各数逐次增加1）， 其中是无理数的有 ．（填序号） 【变式1-2】（2022 春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种 说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有 （注：填写出所有错误说法的编号） 【变式1-3】（2022 春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内： 3π ，﹣12 ，+6 ，38 ，﹣6 ，2 5，87 ，2002 ，−1 3 ，0 ，﹣42 ，31415 ，﹣1000 ， 121121112… 【题型2 实数的性质】 【例2】（2022 秋•洛宁县期中）已知、b 互为相反数，、d 互为倒数，m 的倒数等于它本 身，求cd m 2 +¿（+b）m﹣m 的立方根． 【变式2-1】（2022 秋•射阳县校级期末）已知实数、b 互为相反数，、d 互为倒数，x 的绝 对值为❑ √49， 求代数式（+b+d）x+❑ √a+b− 3 √cd的值． 1 【变式2-2】（2022 春•洛阳期中）已知实数，b，，d，e，f，且，b 互为倒数，，d 互为相 反数，e 的绝对值为❑ √2，f 的算术平方根是8，求1 2b+c+d 5 +¿e2+ 3 √f 的值． 【变式2-3】（2022 秋•西湖区校级期中）已知，b 为实数，下列说法：①若b＜0，且，b 互为相反数，则a b=−¿1；②若+b＜0，b＞0，则|2+3b|＝﹣2 3 ﹣b；③若|﹣b|+﹣b＝0， 则b＞；④若||＞|b|，则（+b）×（﹣b）是正数；⑤若＜b，b＜0 且| 3| ﹣＜|b 3| ﹣，则+b＞ 6，其中正确的是 ． 【题型3 实数与数轴的关系】 【例3】（2022 秋•松滋市期末）如图，，，B，四点在数轴上，其中为原点，且＝2，＝ 2B，若点所表示的数为m，则B 点所表示的数正确的是（ ） ．﹣2（m+2） B．m−2 2 ．m+2 2 D．2−m 2 【变式3-1】（2022 春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，❑ √3的对应点分别为，B，以点 为圆心，B 长为半径画圆，与数轴的交点为，则点所表示的数为 ． 【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点与点B 关于点对称，、B 两点对 应的实数分别是1 和❑ √5，则点对应的实数是（ ） ．1−❑ √5 B．❑ √5−¿2 ．−❑ √5 D．2−❑ √5 【变式3-3】（2022 秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2 个单位长度到 达点B，点表示−❑ √2，设点B 所表示的数为m． 1 （1）实数m 的值是 ； （2）求|m+1|+|m 1| ﹣的值； （3）在数轴上还有、D 两点分别表示实数和d，且有|2+d|与❑ √d 2−16互为相反数，求2 3 ﹣d 的平方根． 【题型4 利用数轴化简】 【例4】（2022 春•荔湾区校级期中）如图，化简❑ √a 2−¿|+b|+ ❑ √(c−a) 2+¿|b+|． 【变式4-1】（2022 秋•镇江期末）如图，、b、分别是数轴上、B、所对应的实数，试化简： ❑ √b 2−¿| | ﹣+ 3 √(a+b) 3． 【变式4-2 】（2022 春• 芜湖期末）实数、b 在数轴上的位置如图，则化简 ❑ √a❑ 2− ❑ √b❑ 2− ❑ √(a−b)❑ 2的结果是（ ） ．0 B．﹣2 ．2（b﹣） D．﹣2b 【变式4-3】（2022 秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z 在数轴上的对应点如图所示， 化简：❑ √( x−y) 2−¿（❑ √¿ y−z∨¿¿）2+ 3 √( x−z) 3的值． 1 【题型5 实数的运算】 【例5】（2022 春•呼和浩特期中）计算 （1）❑ √(−5) 2−¿| 3 √(−3) 3+¿2|+（−❑ √0.64）×❑ √400 （2）3 √27−¿|❑ √2−¿3|+（﹣1）2016． 【变式5-1】（2022 春•环江县期末）计算：❑ √2−❑ √9+¿3−❑ √2∨− 3 √8． 【变式5-2】（2022 秋•盘龙区校级期中）−❑ √100+❑ √16−❑ √4+❑ √ 4 9 −❑ √ 16 9 +❑ √81+¿（﹣ 6）− 3 √27． 【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题： （1）❑ √16+ 3 √−27−❑ √ 1 4 + 3 √0.125+❑ √1−63 64 ． （2）¿7−❑ √2∨−¿ ❑ √2−π∨− ❑ √(−7) 2． （3）❑ √(−6) 2+¿1−❑ √2∨− 3 √8+(−❑ √5) 2． 1 【题型6 实数的应用】 【例6】（2022 春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上， 两个正方形的面积分别为3 和5，那么阴影部分的面积是多少？ 【变式6-1】（2022 春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2： 4，其体积为16 000m3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r 的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积 的1 60，求该小球的半径为多少（π 取3，结果精确到001m）？ 【变式6-2】（2022 秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的 点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在 草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 1 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1 与﹣1 表示的点重合，则﹣2 表示的点与 2 表示的 点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1 表示的点与﹣3 表示的点重合，回答以下问题： ①❑ √3表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、B 两点之间距离为8（在B 的左侧），且、B 两点经折叠后重合，则、B 两点表示的数分别是 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9 个单位长度（从﹣1 到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠， 然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1： 2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【变式6-3】（2022 春•海淀区校级期中）如图，面积为（＞1）的正方形BD 的边B 在数轴 上，点B 表示的数为1．将正方形BD 沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为'B'D'， 点、B、、D 的对应点分别为'、B'、、D'，移动后的正方形'B''D'与原正方形BD 重叠部分 图形的面积记为S．当S¿ ❑ √a时，数轴上点B'表示的数是 （用含的代数式表示）． 【知识点3 估算法】 （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．例如： ，则 ； ，则 ． 常见实数的估算值： ， ， ． 【题型7 估算无理数的范围】 【例7】（2022 春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝ 2116．若为整数，且＜❑ √2048＜+1，则的值为（ ） ．43 B．44 ．45 D．46 1 【变式7-1】（2022 春•滨海新区期末）估计❑ √23大小在（ ） ．2 与3 之间 B．3 与4 之间 ．4 与5 之间 D．5 与6 之间 【变式7-2】（2022 春•巩义市期末）估计❑ √15−¿1 的值在（ ） ．1 和2 之间 B．2 和3 之间 ．3 和4 之间 D．4 和5 之间 【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知¿ ❑ √13+¿1 介于两个连续自然数之间，则下列结论 正确的是（ ） ．1＜＜2 B．2＜＜3 ．3＜＜4 D．4＜＜5 【题型8 已知无理数的范围求值】 【例8】（2022 秋•乳山市校级月考）满足−❑ √5＜x＜❑ √14的整数x 有 个． 【变式8-1】（2022 秋•永春县期末）如果整数满足❑ √7＜a＜❑ √11，则的值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式8-2】（2022 春•自贡期末）若、b 为正整数．且＞❑ √10，b＜❑ √6，则+b 的最小值 为 ． 【变式8-3】（2022 春•昆明期中）若＜❑ √40＜b，且，b 是两个连续的整数，则+b 的值为 ． 【题型9 估算无理数最接近的值】 【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10−❑ √30最接近的是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式9-1】（2022 春•凤凰县期末）与50 的算术平方根最接近的整数是（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【变式9-2】（2022 春•思明区校级期中）若m＝4（m、是正整数），且8＜❑ √m＜9，则 与实数❑ √n的最大值最接近的数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式9-3】（2022 春•潮安区期末）若m＝5（m、是正整数），且10＜❑ √m＜12，则与 实数❑ √n的最大值最接近的数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【题型10 无理数整数、小数部分问题】 【例10】（2022 秋•章丘市校级期末）设x 是❑ √35的整数部分，y 是❑ √35的小数部分，化简 |x﹣y 3| ﹣． 1 【变式10-1】（2022•饶平县校级模拟）若❑ √13的整数部分为，小数部分为b，求2+b −❑ √13的值． 【变式10-2】（2022 春•孟村县期末）已知5+❑ √7的小数部分为，5−❑ √7的小数部分为b， 求+b． 【变式10-3】（2022 春•西城区校级期中）任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，如[4] ＝4，[❑ √3]＝1，现对72 进行如下操作： 72 → 第一次[❑ √72]＝8 → 第二次[❑ √8]＝2 → 第三次[❑ √2]＝1，这样对72 只需进行3 次操作后变为1． （1）对10 进行1 次操作后变为 3 ，对200 进行3 次操作后变为 ； （2）对实数m 恰进行2 次操作后变成1，则m 的取值范围是 ． （3）恰需要进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是 ． 1