专题21.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】（解析版）

专题215 一元二次方程的实际应用【九大题型】 【人版】 【题型1 数字问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 平均变化率问题】.....................................................................................................................................3 【题型3 销售利润问题】.........................................................................................................................................4 【题型4 传播问题】................................................................................................................................................. 6 【题型5 循环问题】................................................................................................................................................. 8 【题型6 树枝分叉问题】.......................................................................................................................................10 【题型7 工程问题】...............................................................................................................................................11 【题型8 图形问题】............................................................................................................................................... 14 【题型9 面积问题】............................................................................................................................................... 17 【题型1 数字问题】 【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置 后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6 表示出十位数字，根据新两位数 ×原来的两位数＝1008 列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即 可． 【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6﹣x）， 根据题意可知，[10（6﹣x）+x][10x+（6﹣x）]＝1008， 即x2 6 ﹣x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4， 6 ∴﹣x＝4，或6﹣x＝2， 10 ∴ （6﹣x）+x＝42 或10（6﹣x）+x＝24， 答：这个两位数是42 或24． 【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了 苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东 吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华 数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的 平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ） 1 ．10（x+3）+x＝x2 B．10（x 3 ﹣）+x＝（x 3 ﹣）2 ．10（x 3 ﹣）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x 3 ﹣）2 【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可． 【解答】解：根据题意，可得10（x 3 ﹣）+x＝x2， 故选：． 【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字 小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 84 ． 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十 位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得 出x 的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2 [10 ﹣ （x+4）+x]＝﹣4， 整理得：x1＝4，x2＝﹣5． 又∵x 为非负整数， ∴x＝4， 10 ∴ （x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答为：84． 【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数， 十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三， 个位数字的平方等于他去世时的年龄． 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x 3 ﹣．根据题意建立方程 求出其值就可以求出其结论． 【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x 3 ﹣，依题意得： 10（x 3 ﹣）+x＝x2， 解得x1＝5，x2＝6， 当x＝5 时，25＜30，（不合题意，舍去）， 当x＝6 时，36＞30（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为36 岁． 【题型2 平均变化率问题】 【例2】（2022 春•钟山县期末）某商品原价为20 元，连续两次降价后售价为8 元，设平 1 均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ） ．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 ．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣ 降价的百分率），则第一次降价后的价格是20（1﹣x），第二次后的价格是20（1﹣ x）2，据此即可列方程． 【解答】解：由题意可得， 20（1﹣x）2＝8， 故选：． 【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间， 绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） ．20% B．11% ．22% D．44% 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答． 【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2＝1+44%， 解得x1＝﹣22（舍去），x2＝02． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选：． 【变式2-2】（2022 春•芝罘区期末）某种药品原来售价200 元，连续两次降价后售价为 162 元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 10% ． 【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均 每次下降的百分率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得 出结论． 【解答】解：设平均每次下降的百分率为x， 依题意得：200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝01＝10%，x2＝19（不合题意，舍去）， ∴平均每次下降的百分率为10%． 故答为：10%． 【变式2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区2013 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划 2015 年屋顶绿化面积要达到2880 平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么 这个增长率是多少？ 【分析】设出这个增长率是x，根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即 可得出答． 1 【解答】解：设这个增长率是x，根据题意得： 2000（1+x）2＝2880， 解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（舍去） 答：这个增长率是20%． 【题型3 销售利润问题】 【例3】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50 元，若按每 盒60 元出售，则每周可销售80 盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1 元，每周销量就会减少2 盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超 过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200 元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ） ．70 元 B．80 元 ．70 元或80 元 D．75 元 【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x 的一元二 次方程，解方程即可求出x 的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x 的值． 【解答】解：根据题意得：（x 50 ﹣ ）（200 2 ﹣x）＝1200， 整理得：x2 150 ﹣ x+5600＝0． 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70 时，利润率¿ 70−50 50 ×100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80 时，利润率¿ 80−50 50 ×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 所以要获得1200 元利润，每盒口罩的售价应定为70 元． 故选：． 【变式3-1】（2022 春•乳山市期末）某商场将进价为30 元的台灯以单价40 元售出，平均 每月能售出600 个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1 元，其销售量将减少10 个．为 实现平均每月10000 元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定 为 50 元． 【分析】设售价为x 元，根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者 的角度考虑”取舍后可得． 【解答】解：设售价为x 元， 根据题意得：（x 30 ﹣ ）[600 10 ﹣ （x 40 ﹣ ）]＝10000， 解得：x＝50 或x＝80， 从消费者的角度考虑， x＝80 舍去， 答：这种台灯的售价应定为50 元． 1 故答为：50． 【变式3-2】（2022 春•垦利区期末）第24 届冬季奥林匹克运动会将于2022 年2 月4 日在 北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以 2 元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3 元， 每天可以卖出500 件，而且定价每上涨01 元，其销售量将减少10 张．根据规定：纪念 品售价不能超过批发价 的25 倍． （1）当每张书签定价为35 元时，商店每天能卖出 450 件； （2）如果商店要实现每天800 元的销售利润，那该如何定价？ 【分析】（1）直接利用每个定价3 元，每天可以能卖出500 件，而且定价每上涨01 元， 其销售量将减少10 件，进而得出当每个纪念品定价为35 元时，商店每天能卖出的件数； （2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答． 【解答】解：（1）∵每个定价3 元，每天可以能卖出500 件，而且定价每上涨01 元， 其销售量将减少10 件， ∴当每个纪念品定价为35 元时，商店每天能卖出：500 10 ﹣ × 3.5−3 0.1 =¿450（件）； 故答为：450； （2）设定价x 元， 由题意得：（x 2 ﹣）（500−x−3 0.1 ×10）＝800， 解得：x1＝4，x2＝6， ∵售价不能超过批发价的25 倍， ∴x＝4， 答：定价为4 元． 【变式3-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐 橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40 元，统一零售价定为每箱50 元，可以根据买 家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000 箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减 少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售20 3 m%；为了保 护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m 元给予补贴 进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000 元，求m 的值． 【分析】（1）设打x 折销售，根据利润率¿ 售价−成本 成本 ≥10%，列方程可得结论； 1 （2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每 天可多销售20 3 m%，依此列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设打x 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：50⋅x 10−40 40 ≥10%， x≥88， 答：最多打88 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%； （2）由题意得：5000（1+20 3 m%）[50（1 3 ﹣m%）+m 40] ﹣ ＝49000， 5（1+m 15 ）（50−3 2 m+m 40 ﹣ ）＝49， m2 5 ﹣m 6 ﹣＝0， m1＝6，m2＝﹣1（舍）． 【题型4 传播问题】 【例4】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度 很快．已知有1 个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169 个人患了新冠肺炎，每轮 传染中平均一个人传染m 人，则m 的值为（ ） ．11 B．12 ．13 D．14 【分析】根据“有1 个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169 个人患了新冠肺炎” 列方程即可得到答． 【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169， 即（1+m）2＝169． 解得：m1＝12，m2＝﹣14（不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式4-1】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感 染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感 染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？ 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被 感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x 的值， 并且3 轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700 的大小，即可作出判断． 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x ＝81， 整理得（1+x）2＝81， 1 则x+1＝9 或x+1＝﹣9， 解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， ∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过700 台． 【变式4-2】（2022•长兴县校级期中）截止4 月15 日全国已通报确诊63 例人感染79 禽流 感病例，79 是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽． 如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36 只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活 禽传染了x 只活禽，那么可列方程为 （ x +1 ） 2 ＝ 36 ；轮感染后，被感染的活禽只数 为 6 只．（用含的代数式表示） 【分析】可设每轮感染中平均一只活禽会感染x 个只，则第一轮后共有1+x 只感染，两 轮后有1+x+x（1+x）知感染，列出方程求解即可； 【解答】解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x 个只， 则由题意知：1+x+x（1+x）＝36 整理得：（x+1）2＝36 解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去） 轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）＝6 故答为：（x+1）2＝36；6 【变式4-3】（2022 秋•武汉月考）某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人 会传染给若干人． （1）现有一人患病，开始两天共有225 人患病，求一人传染给几个人？ （2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染5 人的速度递减，求再经过两 天后，共有几人患病？ 【分析】（1）设每天一人传染了x 人，根据题意可得：第一天患病的人数为1+1×传播 的人数；第一天患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人 数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225； （2）根据题意可得：再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3 天 一共患病的人数×（第3 天的传播人数﹣5）． 【解答】解：（1）设每天一人传染了x 人，由题意得： 1+x+（1+x）×x＝225， （1+x）2＝225， 1+ ∵ x＞0， 1+ ∴ x＝15， x＝14． 1 答：每天一人传染了14 人； （2）再过两天的患病人数＝225+225×（14 5 ﹣）+[225+225×（14 5 ﹣）]×（14 5 5 ﹣﹣） ＝11250． 答：共有11250 人患病． 【题型5 循环问题】 【例5】（2022 春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循 环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21 场比赛，则八年级班级的个数为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【分析】设八年级共有x 个班，利用比赛的总场数＝八年级的班级数×（八年级的班级 数﹣1）÷2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设八年级共有x 个班， 依题意得：1 2x（x 1 ﹣）＝21， 整理得：x2﹣x 42 ﹣ ＝0， 解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7， ∴八年级共有7 个班． 故选：． 【变式5-1】（2022•大连一模）第24 届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参 加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45 场，共有多少个队参加比赛？ 【分析】设共有x 个队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1） ÷2，即可得出关于x 的一元