专题21.7 一元二次方程章末题型过关卷（解析版）

第21 章 一元二次方程章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．(3 分)（2022 春•温州期中）若关于x 的方程x2+2x+4＝0 有一个根为﹣3，则的值是（ ） ．9 B．45 ．3 D．﹣3 【分析】把x＝﹣3 代入方程得9 6+4 ﹣ ＝0，然后解关于的一次方程即可． 【解答】解：把x＝﹣3 代入方程得9 6+4 ﹣ ＝0， 解得＝45． 故选：B． 2．(3 分)（2022 春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0，下列配方正确 的是（ ） ．( x−1 4 ) 2= 3 4 B．( x−1 4 ) 2=3 2 ．( x−1 2 ) 2= 3 4 D．( x−1 2 ) 2=3 2 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程2x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0， 整理得：x2﹣x¿ 1 2， 配方得：x2﹣x+1 4 = 3 4 ，即（x−1 2 ）2¿ 3 4 ． 故选：． 3．(3 分)（2022 春•莱芜区期末）以x= 4± ❑ √16+4 c 2 为根的一元二次方程可能是（ ） ．x2 4 ﹣x﹣＝0 B．x2+4x﹣＝0 ．x2 4 ﹣x+＝0 D．x2+4x+＝0 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【解答】解：．此方程的根为x¿ 4± ❑ √16+4 c 2 ，符合题意； B．此方程的根为x¿ −4± ❑ √16+4 c 2 ，不符合题意； ．此方程的根为x¿ 4± ❑ √16−4 c 2 ，不符合题意； D．此方程的根为x¿ −4± ❑ √16−4 c 2 ，不符合题意； 1 故选：． 4．(3 分)（2022 秋•沐川县期末）m 是方程x2+x 2 ﹣＝0 的根，则代数式2m2+2m 2022 ﹣ 的值 是（ ） ．﹣2018 B．2018 ．﹣2026 D．2026 【分析】把x＝m 代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值 即可． 【解答】解：∵实数m 是关于x 的方程x2+x 2 ﹣＝0 的一个根， ∴m2+m 2 ﹣＝0， ∴m2+m＝2， 2 ∴m2+2m 2022 ﹣ ＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018． 故选：． 5．(3 分)（2022 春•淄川区期中）已知多项式P¿ 1 2x 2 ﹣，Q＝x2−3 2 x（x 为任意实数），试 比较多项式P 与Q 的大小．（ ） ．无法确定 B．P＞Q ．P＝Q D．P＜Q 【分析】先求出Q﹣P 的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P 与Q 的 大小． 【解答】解：∵P¿ 1 2x 2 ﹣，Q＝x2−3 2 x， ∴Q﹣P＝x2−3 2 x−1 2 x+2＝x2 2 ﹣x+2＝（x 1 ﹣）2+1＞0， ∴P＜Q． 故选：D． 6．(3 分)（2022 秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x 为自变量的函数，当x＝m 时，函数值 分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”． 以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（ ） ．y1=−1 x 和y2＝﹣x+1 B．y1=x 2+2 x和y2＝﹣x+1 ．y1=−1 x 和y2＝﹣x 1 ﹣ D．y1=x 2+2 x和y2＝﹣x 1 ﹣ 【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无 解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 【解答】解：、令y1+y2＝0， 则−1 x −¿x+1＝0， 1 整理得：x2﹣x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故不符合题意； B、令y1+y2＝0， 则x2+2x﹣x+1＝0， 整理得：x2+x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故B 不符合题意； 、、令y1+y2＝0， 则−1 x −¿x 1 ﹣＝0， 整理得：x2+x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故不符合题意； D、、令y1+y2＝0， 则x2+2x﹣x 1 ﹣＝0， 整理得：x2+x 1 ﹣＝0， 解得：x1¿ −1+❑ √5 2 ，x2¿ −1−❑ √5 2 ， ∴函数y1和y2是“和谐函数”， 故D 符合题意； 故选：D． 7．(3 分)（2022 秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2 9 ﹣x+20＝0 的两 个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ） ．3 B．❑ √41 ．3 或❑ √41 D．5 或❑ √41 【分析】利用因式分解法解方程求出x 的值，再分情况讨论求解即可． 【解答】解：∵x2 9 ﹣x+20＝0， ∴（x 4 ﹣）（x 5 ﹣）＝0， 则x 4 ﹣＝0 或x 5 ﹣＝0， 解得x1＝4，x2＝5， 若4、5 均为直角边长度，则斜边长度为❑ √4 2+5 2=❑ √41， 1 若4、5 有一边是斜边长度，则斜边长度为5， 故选：D． 8．(3 分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业， 保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021 这两年中国 经济的年平均增长率为51%，其中2021 年的年增长率为81%，若设2020 年的年增长率 为x，则可列方程为（ ） ．81%（1﹣x）2＝51% B．（1+x）（1+81%）＝（1+51%）2 ．51%（1+x）2＝81% D．（1+x）（1+81%）＝2（1+51%） 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系 列出方程即可求解． 【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+81%）＝（1+51%）2． 故选：B． 9．(3 分)（2022•周村区二模）已知、b、m、为互不相等的实数，且（+m）（+）＝2， （b+m）（b+）＝2，则b﹣m 的值为（ ） ．4 B．1 ．﹣2 D．﹣1 【分析】先把已知条件变形得到2+（m+）+m 2 ﹣＝0，b2+（m+）b+m 2 ﹣＝0，则可把、 b 看作方程x2+（m+）x+m 2 ﹣＝0 的两实数根，利用根与系数的关系得到b＝m 2 ﹣，从 而得到b﹣m 的值． 【解答】解：∵（+m）（+）＝2，（b+m）（b+）＝2， ∴2+（m+）+m 2 ﹣＝0，b2+（m+）b+m 2 ﹣＝0， 而、b、m、为互不相等的实数， ∴、b 看作方程x2+（m+）x+m 2 ﹣＝0 的两实数根， ∴b＝m 2 ﹣， ∴b﹣m＝﹣2． 故选：． 10．(3 分)（2022•青县二模）定义运算：m※＝m2 2 ﹣m 1 ﹣，例如：4 2 ※ ＝4×22 2×4×2 1 ﹣ ﹣ ＝﹣1．若关于x 的方程※x＝0 有实数根，则的取值范围为（ ） ．﹣1≤≤0 B．﹣1≤＜0 ．≥0 或≤﹣1 D．＞0 或≤﹣1 【分析】根据新定义运算法则列出关于x 的方程，根据根的判别式进行判断即可． 【解答】解：由题意可知：※x＝x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0， 当＝0 时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解； 1 当≠0 时， ∵关于x 的方程※x＝0 有实数根， Δ ∴＝42+4＝4（+1）≥0， 解得≤﹣1 或＞0． 故选：D． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．(3 分)（2022 秋•鄂州期末）如果﹣b+＝0，则关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 的根有 一个为 ﹣ 1 ． 【分析】将x＝﹣1 代入方程x2+bx+＝0 中的左边，得到﹣b+，由﹣b+＝0 得到方程左右 两边相等，即x＝﹣1 是方程的解． 【解答】解：将x＝﹣1 代入x2+bx+＝0 的左边得：×（﹣1）2+b×（﹣1）+＝﹣b+， ∵﹣b+＝0， ∴x＝﹣1 是方程x2+bx+＝0 的根． 故答为：﹣1． 12 ．(3 分) （2022• 成都模拟）若m 是x2 2 ﹣x 3 ﹣ ＝0 的一个实数根，则 (m 2−2m)(m−3 m−1)=¿ 3 ． 【分析】将x＝m 代入已知方程得到m2 2 ﹣m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代 数式进行化简即可． 【解答】解：依题意得：m2 2 ﹣m 3 ﹣＝0， ∴m2 2 ﹣m＝3，m2﹣m＝3+m， ∴(m 2−2m)(m−3 m−1) ＝3× 3+m−3 m ＝3×1 ＝3． 故答是：3． 13．(3 分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x 1 ﹣）（x2 2 ﹣x+k 4 ）＝0 的三根可以作为 一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是 3 ＜ k ≤4 ． 【分析】根据原方程可得出：①x 1 ﹣＝0，②x2 2 ﹣x+k 4 =¿0；根据根与系数的关系，可 求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k 的取值范围． 1 【解答】解：由题意，得：x 1 ﹣＝0，x2 2 ﹣x+k 4 =¿0； 设x2 2 ﹣x+k 4 =¿0 的两根分别是m、（m≥）；则m+＝2，m¿ k 4 ； m﹣¿ ❑ √(m+n) 2−4 mn=❑ √4−k； 根据三角形三边关系定理，得： m﹣＜1＜m+，即❑ √4−k ＜1＜2； ∴{ ❑ √4−k ＜1 4−k ≥0 ，解得3＜k≤4． 14．(3 分)（2022 秋•盐湖区校级月考）如图，点在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴， 且点对应的数是2x 1 ﹣，点B 对应的数是x2+x，已知B＝5，则x 的值为 1−❑ √17 2 ． 【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x 的方程，解之求出x 的值，再结 合、B 的位置取舍即可． 【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x 1 ﹣）＝5， 整理，得：x2﹣x 4 ﹣＝0， ∵＝1，b＝﹣1，＝﹣4， Δ ∴＝（﹣1）2 4×1× ﹣ （﹣4）＝17＞0， 则x¿ −b± ❑ √b 2−4 ac 2a =1± ❑ √17 2 ， ∴x1¿ 1+❑ √17 2 ，x2¿ 1−❑ √17 2 ， ∵点在数轴的负半轴， 2 ∴x 1 ﹣＜0，即x＜1 2， ∴x¿ 1−❑ √17 2 ， 故答为：1−❑ √17 2 ． 15．(3 分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积 分别是已知矩形的周长和面积的2 倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”， 当已知矩形的长和宽分别为3 和1 时，其“加倍矩形”的对角线长为 2 ❑ √13 ． 【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式 即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 1 【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]， 依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1， 整理，得：x2 8 ﹣x+6＝0， 解得：x1＝4+❑ √10，x2＝4−❑ √10， 当x＝4+❑ √10时，2×（3+1）﹣x＝4−❑ √10＜4+❑ √10，符合题意； 当x＝4−❑ √10时，2×（3+1）﹣x＝4+❑ √10＞4−❑ √10，符不符合题意，舍去． “ ∴加倍矩形”的对角线长为❑ √(4+❑ √10) 2+(4−❑ √10) 2=¿2❑ √13． 故答为：2❑ √13． 16．(3 分)（2022 秋•昌江区校级期末）若实数，b，满足122+7b2+52≤12|b| 4 ﹣b|| 16 16 ﹣ ﹣ ， 则+b+＝ −5 2 ． 【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得，b，的值，最后代入计算 即可． 【解答】解：∵122+7b2+52≤12|b| 4 ﹣b|| 16 16 ﹣ ﹣ ， 12 ∴ 2+7b2+52 12| ﹣ b|+4b||+16+16≤0． 3 ∴（42 4| ﹣b|+b2）+（4b2+4b||+2）+4（2+4+4）≤0． 3 ∴（2 | ﹣b|）2+（2b+||）2+4（+2）2≤0． 3 ∵（2 | ﹣b|）2≥0，（2b+||）2≥0，4（+2）2≥0， ∴{ 2a−¿b∨¿0 2b+¿c∨¿0 c+2=0 ． 解得：{ a=1 2 b=−1 c=−2 ． + ∴b+¿ 1 2−¿1 2 ﹣¿−5 2． 故答为：−5 2 ． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．(6 分)（2022 春•道里区期末）解下列方程： （1）（x 2 ﹣）2 2 ﹣x+4＝0； （2）x2 4 ﹣x 1 ﹣＝0． 【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的 解即可； 1 （2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x 2 ﹣）2 2 ﹣x+4＝0， （x 2 ﹣）2 2 ﹣（x 2 ﹣）＝0， （x 2 ﹣）（x 2 2 ﹣﹣）＝0， x 2 ﹣＝0 或x 2 2 ﹣﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （2）x2 4 ﹣x 1 ﹣＝0， x2 4 ﹣x＝1， 配方，得x2 4 ﹣x+4＝1+4， （x 2 ﹣）2＝5， 开方得：x 2 ﹣¿± ❑ √5， 解得：x1＝2+❑ √5，x2＝2−❑ √5． 18．(6 分)（2022 秋•海淀区期末）已知关于x 的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值． 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，则有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m 2 ﹣， x1x2＝1﹣m，从而可进行求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2 4×1× ﹣ （1﹣m）＝m2≥0， ∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根， 即该方程总有两个实数根； （2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得： x1﹣x2＝3，x1+x2＝m 2 ﹣，x1x2＝1﹣m， ∴（x1﹣x2）2＝32， x1 2 2 ﹣x1x2+x2 2＝9， x1 2+x2 2＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11 2 ﹣m， ∵（x1+x2）2＝（m 2 ﹣）2， ∴x1 2+2x1x2+x2 2＝m2 4 ﹣m+4， 11 2 ∴ ﹣m+2（1﹣m）＝m2 4 ﹣m+4， 整理得：m2＝9， 解得：m＝3 或m＝﹣3， ∵m＜0， ∴m＝﹣3． 1 19．(8 分)（2022 秋•安居区期末）为解方程（x2 1 ﹣）2 5 ﹣（x2 1 ﹣）+4＝0，我们可以将x2 1 ﹣视为一个整体，然后设x2 1 ﹣＝y，则原方程可化为y2 5 ﹣y+4＝0，解此方程得y1＝ 1，y2＝4． 当y＝1 时，x2 1 ﹣＝1，所以x=± ❑ √2； 当y＝4 时，x2 1 ﹣＝4，所以x=± ❑ √5． 所以原方程的根为x1=❑ √2，x2=−❑ √2，x3=❑ √5，x4=−❑ √5． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． 运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x 4 ﹣）＝﹣4； （2）x4+x2 12 ﹣ ＝0． 【分析】（1）设x2﹣x＝，原方程可化为2 4+4 ﹣ ＝0，求出的值，再代入x2﹣x＝求出x 即可； （2）设x2＝y，原方程化为y2+y 12 ﹣ ＝0，求出y，再把y 的值代入x2＝y 求出x 即可． 【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x 4 ﹣）＝﹣4， 设x2﹣x＝，则原方程可化为2 4+4 ﹣ ＝0， 解此方程得：1＝2＝2， 当＝2 时，x2﹣x＝2，即x2﹣x 2 ﹣＝0， 因式分解得：（x 2 ﹣）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1； （2）x4+x2 12 ﹣ ＝0， 设x2＝y，则原方程化为y2+y 12 ﹣ ＝0， 因式分解，得（y 3 ﹣）（y+4）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣4， 当y＝3 时，x2＝3，解得：x¿± ❑ √3； 当y＝﹣4 时，x2＝﹣4，无实数根， 所以原方程的解是x1¿ ❑ √3，x2¿−❑ √3． 20．(8 分)（2022 春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k 满足各个数位上的数 字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍，那 么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169 是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100+10b+（1≤、b、≤9，其中，b，为正整数），请直接 写出，b，所满足的关系式 b 2 4 ﹣ ＝ 0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或 1 “不是”），并写出一个“喜鹊数” 121 ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k 中的，b，构造两个一元二次方程x2+bx+＝0①与 x2+bx+＝0②，若x＝m 是方程①的一个根，x＝是方程②的一个根，求m 与满足的关系 式； （3）在（2）中条件下，且m+＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k 的值． 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m 与互为倒数，又m+＝﹣2，得出m＝﹣1，＝﹣1，求出b＝+，＝，结合喜 鹊数的定义即可得出答． 【解答】解：（1）∵k＝100+10b+是喜鹊数， ∴b2＝4，即b2 4 ﹣＝0； 4 ∵ 2＝16，4×2×1＝8，16≠8， 241 ∴ 不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， 2 ∵ 2＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121． 故答为：b2 4 ﹣＝0；不是；121． （2）∵x＝m 是一元二次方程x2+bx+＝0 的一个根，x＝是一元二次方程x2+bx+＝0 的一 个根， ∴m2+bm+＝0，2+b+＝0， 将2+b+＝0 两边同除以2得：（1 n）2+b（1 n）+＝0， ∴将m、1 n看成是方程x2+bx+的两个根， ∵b2 4 ﹣＝0， ∴方程x2+bx+有两个相等的实数根， ∴m¿ 1 n，即m＝1； 故答为：m＝1． （3）∵m+＝﹣2，m＝1， ∴m＝﹣1，＝﹣1， ∴﹣b+＝0， ∴b＝+， 1 ∵b2＝4， ∴（+）2＝4， 解得：＝， ∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484． 故答为：121，242，363，484． 21．(8 分)（2022 春