专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）（解析版）

专题284 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应 用中考真题的综合问题的所有类型！ 一．解答题（共50 题） 1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识 测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α， cosα= 4 5 ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30° （点A，B，C，D在同一平面内）． (1)求C，D两点的高度差； (2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：❑ √3≈1.7） 【答】(1)9m (2)24m 【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt △DCE中，可得 CE=CD⋅cosα=15× 4 5 =12(m)，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答． （2）过点D作DF ⊥AB于F，设AF=x m，在Rt △ADF中， tan30°= AF DF = x DF = ❑ √3 3 ，解得DF=❑ √3 x，在Rt △ABC中，AB=( x+9)m， BC=(❑ √3 x−12)m，tan 60°= AB BC = x+9 ❑ √3 x−12=❑ √3，求出x的值，即可得出答． （1） 解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， 1 ∵在Rt △DCE中，cosα= 4 5 ，CD=15m， ∴CE=CD⋅cosα=15× 4 5 =12(m)． ∴DE= ❑ √C D 2−C E 2= ❑ √15 2−12 2=9(m)． 答：C，D两点的高度差为9m． （2） 过点D作DF ⊥AB于F， 由题意可得BF=DE，DF=BE， 设AF=x m， 在Rt △ADF中，tan∠ADF=tan30°= AF DF = x DF = ❑ √3 3 ， 解得DF=❑ √3 x， 在Rt △ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=( x+9)m， BC=BE−CE=DF−CE=(❑ √3 x−12)m， tan 60°= AB BC = x+9 ❑ √3 x−12=❑ √3， 解得x=6 ❑ √3+ 9 2， ∴AB=6 ❑ √3+ 9 2 +9≈24(m)． 答：居民楼的高度AB约为24 m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−¿仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三 角函数的定义是解答本题的关键． 2．（2022·山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上， 使黄河南北“天堑变通途”已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索 AD 、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、之间的距离约为33m，求主 塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：❑ √2≈1.41,❑ √3≈1.73） 1 【答】主塔AB的高度约为78m． 【分析】在Rt△BD 中，利用正切的定义求出AB=❑ √3 BD，然后根据∠＝45°得出B＝B， 列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵B⊥B， ∴∠B＝90°， 在Rt△BD 中，AB=BD⋅tan 60°=❑ √3 BD， 在Rt△B 中，∠＝45°， ∴B＝B， ∴❑ √3 BD=BD+33， ∴BD= 33 ❑ √3−1=33×(❑ √3+1) 2 m， ∴B＝B＝BD+33=33×(❑ √3+1) 2 +33≈78m， 答：主塔AB的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 3．（2022·河南·中考真题）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰测得潜艇的俯角 为30°，位于军舰正上方1000 米的反潜直升机B 测得潜艇的俯角为68°，试根据以上数据求 出潜艇离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：s68°≈09，s68°≈04， t68°≈25，❑ √3≈17） 【答】潜艇离开海平面的下潜深度为308 米 【分析】过点作D⊥B，交B 的延长线于点D，则D 即为潜艇的下潜深度，分别在Rt 三角 形D 中表示出D 和在Rt 三角形BD 中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解． 1 【详解】解：过点作D⊥B，交B 的延长线于点D，则D 即为潜艇的下潜深度， 根据题意得：∠D=30°，∠BD=65°， 设D=x，则BD=B+D=1000+x， 在Rt 三角形D 中，CD= AD tan∠ACD = x tan30° =❑ √3 x， 在Rt 三角形BD 中，BD=D•t68°， ∴1000+x=❑ √3 x⋅tan 68°， 解得：x= 1000 ❑ √3⋅tan 68°−1= 1000 1.7×2.5−1 ≈308（米）， ∴潜艇离开海平面的下潜深度为308 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选 择合适的边角关系求解． 4．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧 道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点处测得隧道一端点在他的北偏东15°方向上， 他沿西北方向前进100 ❑ √3米后到达点D，此时测得点在他的东北方向上，端点B 在他的北 偏西60°方向上，（点、B、、D 在同一平面内） (1)求点D 与点的距离； (2)求隧道AB的长度．（结果保留根号） 【答】(1)点D 与点的距离为300 米 (2)隧道AB的长为(150 ❑ √2+150 ❑ √6)米 1 【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt △ADC即可求 解； （2）过点D 作DE⊥AB于点E．分别解Rt △ADE，Rt △BDE求出AE和BE，即可求 出隧道AB的长 （1） 由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°−45°−45°=90° 在Rt △ADC中， ∴AD=DC ×tan∠ACD=100 ❑ √3×tan 60°=100 ❑ √3×❑ √3=300（米） 答：点D 与点的距离为300 米． （2） 过点D 作DE⊥AB于点E． ∵AB是东西走向 ∴∠ADE=45° ,∠BDE=60° 在Rt △ADE中， ∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin 45°=300× ❑ √2 2 =150 ❑ √2 在Rt △BDE中， ∴BE=DE×tan∠BDE=150 ❑ √2×tan 60°=150 ❑ √2×❑ √3=150 ❑ √6 ∴AB=AE+BE=150 ❑ √2+150 ❑ √6（米） 答：隧道AB的长为(150 ❑ √2+150 ❑ √6)米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角 的三角函数值是解题的关键． 5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校内旗杆顶端到地面的高度（旗 杆底端有台阶）．该小组在处安置测角仪D，测得旗杆顶端的仰角为30°，前进8m 到达E 处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端的仰角为45°（点B，E，在同一直线上），测角仪支架 高D＝EF＝12m，求旗杆顶端到地面的距离即B 的长度．（结果精确到1m．参考数据： ❑ √3≈17） 1 【答】旗杆顶端到地面的距离即B 的长度约为12m 【分析】延长DF 交B 于点G，根据题意可得：DF＝E＝8m，D＝EF＝BG＝12m，∠GF＝ 90°，然后设G＝xm，在Rt△FG 中，利用锐角三角函数的定义求出FG 的长，从而求出DG 的长，再在Rt△DG 中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可详解． 【详解】解：延长DF 交B 于点G， 由题意得： DF＝E＝8m，D＝EF＝BG＝12m，∠GF＝90°， 设G＝xm， 在Rt△FG 中，∠FG＝45°， ∴FG¿ AG tan 45° =¿x（m）， ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△DG 中，∠DG＝30°， t30° ∴ ¿ AG DG = x x+8= ❑ √3 3 ， ∴x＝4❑ √3+¿4， 经检验：x＝4❑ √3+¿4 是原方程的根， ∴B＝G+BG≈12（m）， ∴旗杆顶端到地面的距离即B 的长度约为12m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图 形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为 纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业 1 献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在 点处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点的俯角为61°，无人机与烈士塔的水 平距离D 为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：s61°≈087，s61°≈048， t61°≈180） 【答】烈士塔的高度约为28m． 【分析】在Rt△BD 中，∠BD=45°，D=10m，则BD=D=10m，在Rt△D 中，t∠D=t61°= CD AD =CD 10 ≈180，解得D≈18m，由B=BD+D 可得出答． 【详解】解：由题意得，∠BD=45°，∠D=61°， 在Rt△BD 中，∠BD=45°，D=10m， ∴BD=D=10m， 在Rt△D 中，∠D=61°， t61°=CD AD =CD 10 ≈180， 解得D≈18， ∴B=BD+D=10+18=28（m）． ∴烈士塔的高度约为28m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解 答本题的关键． 7．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善． 某市政府为了实现5G 络全覆盖，2021~2025 年拟建设5G 基站3000 个，如图，在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50 米到达D处，D处离地平面的距离为30 米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点 A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈4 5 ， 1 cos53°≈3 5，tan53°≈4 3 ） (1)求坡面CB的坡度； (2)求基站塔AB的高． 【答】(1)3:4 (2)基站塔AB的高为17.5米 【分析】（1）过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作 DM ⊥CE，垂足为M，利用勾股定理求出CM，然后利用坡度的求解方式求解即可； （2）设DF=4 a米，则MN=4 a米，BF=3a米，根据∠ACN=45°，求出 AN=CN=(40+4 a)米，AF=(4 a+10)米．在Rt △ADF中，求出a=15 2 ；再根据 AB=AF−BF（米)． （1） 解：如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作DM ⊥CE， 垂足为M． 根据他沿坡面CB行走了50 米到达D处，D处离地平面的距离为30 米， ∴CD=50（米），DM=30（米）， 1 根据勾股定理得：CM= ❑ √C D 2−D M 2=40（米） ∴坡面CB的坡度为；DM CM =30 40= 3 4 , 即坡面CB的坡度比为3:4； （2） 解：设DF=4 a米，则MN=4 a米，BF=3a米， ∵∠ACN=45°， ∴∠CAN=∠ACN=45°， ∴AN=CN=(40+4 a)米， ∴AF=AN−FN=AN−DM=40+4 a−30=(4 a+10)米． 在Rt △ADF， ∵DF=4 a米，AF=(4 a+10)米，∠ADF=53°， ∴tan∠ADF= AF DF = 4 a+10 4 a = 4 3 ， ∴解得a=15 2 ； ∴AF=4 a+10=4× 15 2 +10=40（米）， BF=3a=3× 15 2 = 45 2 （米)， ∴AB=AF−BF=40−45 2 =35 2 （米）． 答：基站塔AB的高为17.5米． 【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关 系和坡度的意义进行计算是常用的方法． 8．（2022·辽宁鞍山·中考真题）北京时间2022 年4 月16 日9 时56 分，神舟十三号载人飞 船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即 GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首 先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向学楼条幅 方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测 得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮 助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 1 【答】条幅底端F 到地面的距离FE 的长度约为57 米． 【分析】设与GE 相交于点，根据题意可得：B＝D＝E＝165 米，＝BD＝12 米，∠G＝ 90°，然后设＝x 米，则＝（12＋x）米，在Rt△F 中，利用锐角三角函数的定义求出F 的长， 从而求出G 的长，最后再在Rt△G 中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行 计算即可解答． 【详解】解：设与GE 相交于点， 由题意得： B＝D＝E＝165 米，＝BD＝12 米，∠G＝90°， 设＝x 米， ∴＝＋＝（12＋x）米， 在Rt△F 中，∠F＝45°， ∴F＝•t45°＝x（米）， ∵GF＝8 米， ∴G＝GF＋F＝（8＋x）米， 在Rt△G 中，∠G＝37°， 1 t37° ∴ ＝GH AH = x+8 12+x ≈0.75， 解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原方程的根， ∴FE＝F＋E＝565≈57（米）， ∴条幅底端F 到地面的距离FE 的长度约为57 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义 是解题的关键． 9．（2022·山东菏泽·中考真题）荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电 梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面B 的长为8 米，更换后的电梯坡面为 D，点B 延伸至点D，求BD 的长．（结果精确到01 米．参考数据： sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,❑ √3≈1.73） 【答】约为19 米 【分析】根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出B，根据正切的定义求出D，结合图 形计算，得到答． 【详解】解：在Rt△B 中，B=8 米，∠B=37°， 则=B•s∠B≈8×060=48（米）， B=B•s∠B≈8×080=640（米）， 在Rt△D 中，∠D=30°， 则D= AC tan∠ADC = 4.8 tan30° = 4.8 ❑ √3 3 ≈830（米）， ∴BD=D-B=830-640≈19（米）， 答：BD 的长约为19 米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是 解题的关键． 10．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，小睿为测量公的一凉亭B 的高度，他先在水平地 面点E 处用高15m 的测角仪DE 测得∠ADC=31°，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高15m 的测角仪FG 测得∠AFC=42°．求凉亭B 的高度．（，，B 三点 共线，AB⊥BE，AC ⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到01m）（参考数据： 1 sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74， tan 42°≈0.90） 【答】6.9m 【分析】根据题意可得B＝FG＝DE＝15，DF＝GE＝3，∠F＝90°，然后设F＝x，则D＝ （x+3），先在Rt△F 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在Rt△D 中，利用锐角三 角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： B＝FG＝DE＝15，DF＝GE＝3，∠F＝90°， 设F＝x， ∴D＝F+DF＝（x+3）， 在Rt△F 中，∠F＝42°， ∴＝F•t42°≈09x（m）， 在Rt△D 中，∠D＝31°， t31° ∴ ¿ AC CD =0.9 x x+3 ≈0.6， ∴x＝6， 经检验：x＝6 是原方程的根， ∴B＝+B＝09x+15＝69（m）， ∴凉亭B 的高约为69m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义 是解题的关键． 11．（2022·江苏盐城·中考真题）2022 年6 月5 日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载 “明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直 于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m， ∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m． 1 (1)求A、C两点之间的距离； (2)求OD长． （结果精确到01m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ❑ √5≈2.24） 【答】(1)67m (2)45m 【分析】（1）连接AC，过点A作AH ⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定 义和勾股定理即可解决问题． （2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （1） 解：如图2，连接AC，过点A作AH ⊥BC，交CB的延长线于H． 在Rt △ABH中，∠ABH=180°−∠ABC=37°， sin37°= AH AB ，所以AH=AB⋅sin37°≈3m， cos37°= BH AB ，所以BH=AB⋅cos37°≈4 m， 1 在Rt △ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m， 根据勾股定理得AC= ❑ √C H 2+ A H 2=3 ❑ √5≈6.7m， 答：A、C两点之间的距离约67m． （2） 如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G， 则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD， 所以CG=CD−GD=5m， 在Rt △ACG中，AG=3 ❑ √5m，CG=5m， 根据勾股定理得AG= ❑ √A C 2−C G 2=2❑ √5≈4.5m． ∴OD=AG=4.5m． 答：OD的长为45m． 【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线 段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形