专题28.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）（解析版）

专题283 解直角三角形的中考常考题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，其中选择题15 题，填空题15 题，解答题20 题 题型针对性较高，覆 盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！ 一、选择题（共15 题） 1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4 个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的格，菱 形的顶点称为格点，点，B，都在格点上，∠=60°，则t∠B=（ ） ．1 3 B．1 2 ． ❑ √3 3 D． ❑ √3 2 【答】 【分析】证明四边形DB 为菱形，求得∠B=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：连接D，如图： ∵格是有一个角60°为菱形， ∴△D、△BE、△BD、△D 都是等边三角形， ∴D= BD= B= ， ∴四边形DB 为菱形，且∠DB=60°， ∴∠BD=∠B=30°， 1 t ∴∠B= t30°= ❑ √3 3 ． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形DB 为菱形是 解题的关键． 2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D， AD= 4 7 AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（ ） ．3 ❑ √3 14 B．9 ❑ √3 14 ．3 ❑ √3 7 D．6 ❑ √3 7 【答】 【分析】过点作CE⊥AB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到 S△DBC:S△ABC=3:7，再证明△ADB∼△ACE，解得AB AE = 4 7 ，分别求得E、E 长，最后 根据△ACE的面积公式解题． 【详解】解：过点作CE⊥AB的延长线于点E， ∵△DBC与△ADB是等高三角形， S△ADB:S△DBC=AD: DC= 4 7 AC : 3 7 AC=4:3 ∴S△DBC:S△ABC=3:7 ∵BD⊥AB ∴ △ADB∼△ACE ∴S△ADB S△ACE =( AD AC ) 2 =( 4 7 AC AC ) 2 =16 49 ∴AB AE = 4 7 1 ∵AB=2 ∴AE=7 2 ∴BE=7 2−2=3 2 ∵∠ABC=150° , ∴∠CBE=180°−150°=30° ∴CE=tan30°⋅BE= ❑ √3 2 设S△ADB=4 x ,S△DBC=3 x ∴S△ACE= 49 4 x ∴ ∴49 4 x=1 2 × 7 2 × ❑ √3 2 ∴x= ❑ √3 14 ∴3 x=3 ❑ √3 14 ， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是 解题关键． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45° ,∠C=60° , AD⊥BC 于点D，BD=❑ √3．若E，F 分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ） ． ❑ √3 3 B． ❑ √3 2 ．1 D． ❑ √6 2 【答】 【分析】根据条件可知△BD 为等腰直角三角形，则BD=D，△D 是30°、60°的直角三角形， 可求出长，再根据中位线定理可知EF= AC 2 。 【详解】解：因为D 垂直B， 则△BD 和△D 都是直角三角形， 1 又因为∠B=45° ,∠C=60° , 所以D=BD=❑ √3， 因为s = ∠AD AC = ❑ √3 2 ， 所以=2， 因为EF 为△B 的中位线， 所以EF= AC 2 =1， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条 件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点 E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若 CE=4，OF=6．则下列结论：①GF=2；②OD=❑ √2OG；③tan∠CDE=1 2；④ ∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D 到F 的距离为8 ❑ √5 5 ．其中正确的结论是（ ） ．①②③④ B．①③④⑤ ．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答】 【分析】由题意易得 BC=CD ,BO=OD=OA=OC ,∠BDC=45° ,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形 中位线可进行判断；②由△D 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解； ④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作D⊥F，交F 的延长线于点，然后根据三角函数 可进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD ,BO=OD=OA=OC ,∠BDC=45° ,∠BCD=∠DCE=90°，AC ⊥BD， ∵点F是DE的中点， 1 ∴OF=1 2 BE ,OF // BE， ∵OF=6，CE=4， ∴BE=12，则CD=BC=8， ∵F∥BE， ∴△DGF∽△DE， ∴DG CD =GF CE =1 2， ∴GF=2，故①正确； ∴点G 是D 的中点， ∴G⊥D， ∵∠D=45°， ∴△D 是等腰直角三角形， ∴OD=❑ √2OG，故②正确； ∵E=4，D=8，∠DE=90°， ∴tan∠CDE= CE CD =1 2，故③正确； ∵tan∠CDE=1 2 ≠1， ∴∠CDE≠45°， ∴∠ODF ≠90°，故④错误； 过点D 作D⊥F，交F 的延长线于点，如图所示： ∵点F 是D 的中点， ∴F=DF， ∴∠DE=∠DF， ∴tan∠CDE=tan∠DCF=1 2， 设DH=x，则CH=2 x， 在Rt△D 中，x 2+4 x 2=64， 1 解得：x=± 8 ❑ √5 5 ， ∴DH=8 ❑ √5 5 ，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正 方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△B 中，点是角平分线D、BE 的交点，若B＝＝ 10，B＝12，则t∠BD 的值是（ ） ．1 2 B．2 ． ❑ √6 3 D． ❑ √6 4 【答】 【分析】根据等腰三角形的性质，可得D⊥B，BD=1 2B=6，再根据角平分线的性质及三角 的面积公式得AB BD = AO OD =10 6 ，进而即可求解． 【详解】解：B＝＝10，B＝12， D 平分∠B， ∴D⊥B，BD=1 2B=6， ∴D=❑ √10 2−6 2=8， 过点作F⊥B， ∵BE 平分∠B， ∴F=D， ∵S△AOB S△DOB = AO OD = 1 2 AB⋅OF 1 2 BD⋅OD = AB BD 1 ∴AB BD = AO OD =10 6 ，即：8−OD OD =10 6 ，解得：D=3， t ∴∠BD=OD BD =3 6=1 2， 故选． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出 AB BD = AO OD ，是解题的关键． 6．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点在B 上，OC :BC=1:2，连接，过点作OP∥AB交的延长线于P．若 P (1,1)，则tan∠OAP的值是（ ） ． ❑ √3 3 B． ❑ √2 2 ．1 3 D．3 【答】 【分析】由P (1,1)可知，P 与x 轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角 形，设=x，B=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P 点坐标为（1，1）， 则P 与x 轴正方向的夹角为45°， 又∵OP∥AB， 则∠B=45°，△OAB为等腰直角形， = ∴B， 1 设=x，则B=2=2x， 则B==3x， ∴tan∠OAP=OC OA = x 3 x =1 3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解， 根据P 点坐标推出特殊角是解题的关键． 7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC=❑ √5，点D 是 上一点，连接BD．若tan∠A=1 2，tan∠ABD=1 3，则D 的长为（ ） ．2❑ √5 B．3 ．❑ √5 D．2 【答】 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=2❑ √5，再由勾股定理求出AB=5,过点D 作 DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得DE=1 2 AE , DE=1 3 BE ,从而得BE=3 2 AE，再由 AE+BE=5得E=2，DE=1，由勾股定理得D=❑ √5，从而可求出D． 【详解】解：在Rt △ABC中，∠C=90°，BC=❑ √5， ∴tan∠A= BC AC =1 2 ∴AC=2BC=2❑ √5, 由勾股定理得,AB= ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √(2❑ √5) 2+(❑ √5) 2=5 过点D 作DE⊥AB于点E，如图， ∵tan∠A=1 2，tan∠ABD=1 3， ∴DE AE =1 2 , DE BE =1 3 , ∴DE=1 2 AE , DE=1 3 BE , 1 ∴1 2 AE=1 3 BE ∴BE=3 2 AE ∵AE+BE=5, ∴AE+ 3 2 AE=5 ∴AE=2, ∴DE=1, 在Rt Δ ADE中,A D 2=A E 2+D E 2 ∴AD= ❑ √A E 2+D E 2= ❑ √2 2+1 2=❑ √5 ∵AD+CD=AC=2❑ √5, ∴CD=AC−AD=2❑ √5−❑ √5=❑ √5, 故选： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是 解答本题的关键． 8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在4×4格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶 点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ） ． ❑ √5 5 B． ❑ √10 5 ．2❑ √5 5 D．4 5 【答】 【分析】过点作B 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作B 的垂线交B 于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴AC=❑ √5,BC=❑ √10, AB=5， 设AD=x，则BD=5−x， 在Rt △ACD中，DC 2=A C 2−A D 2, 1 在Rt △BCD中，DC 2=BC 2−B D 2, ∴10−(5−x) 2=5−x 2， 解得x=2， ∴cos∠BAC= AD AC = 2 ❑ √5=2❑ √5 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△B 中，sB=1 3， t=2，B=3，则的长为（ ） ．❑ √2 B． ❑ √5 2 ．❑ √5 D．2 【答】B 【分析】过点作⊥B 于点，先由s B ∠及B=3 算出的长，再由t∠算出的长，最后在Rt△中由 勾股定理即可算出的长． 【详解】解：过点作⊥B 于点，如下图所示： 由sin∠B= AH AB = 1 3，且AB=3可知，AH =1， 由tan∠C= AH CH =2，且AH =1可知，CH=1 2， ∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC= ❑ √A H 2+C H 2= ❑ √1 2+( 1 2 ) 2 = ❑ √5 2 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以 通过作垂线构造直角三角形进而求解． 10．（2022·四川绵阳·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时 给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ−cosθ) 2=¿( ) 1 ．1 5 B． ❑ √5 5 ．3 ❑ √5 5 D．9 5 【答】 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5 ❑ √5，小正方形的边长为5，再根 据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为5 ❑ √5，小正方形的边长为5， ∴5 ❑ √5cosθ−5 ❑ √5sinθ=5， ∴cosθ−sinθ= ❑ √5 5 ， ∴(sinθ−cosθ) 2=1 5． 故选． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的 关键是正确得出cosθ−sinθ= ❑ √5 5 ． 11．（2022·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性， 在计算t15°时，如图．在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝30°，延长B 使BD＝B，连接D，得∠D ＝15°，所以t15°¿ AC CD = 1 2+❑ √3= 2−❑ √3 (2+❑ √3) (2−❑ √3) =2−❑ √3．类比这种方法，计算t225°的 值为（ ） ．❑ √2+1 B．❑ √2﹣1 ．❑ √2 D．1 2 【答】B 【分析】作Rt B △，使∠＝90°，∠B＝45°，延长B 到D，使BD＝B，连接D，根据构造的直角 三角形，设＝x，再用x 表示出D，即可求出t225°的值 【详解】解：作Rt B △，使∠＝90°，∠B＝90°，∠B＝45°，延长B 到D，使BD＝B，连接D， 1 设＝x，则：B＝x，B＝❑ √2 x，D＝(1+❑ √2)x， tan 22.5°=tan∠D= AC CD = x (1+❑ √2)x =❑ √2−1 故选：B 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅 助线得到225°的直角三角形 12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt △ABC中，∠BAC=90°，cos B= 1 4 ，点D 是边B 的中点，以D 为底边在其右侧作等腰三角形DE，使∠ADE=∠B，连结E，则 CE AD 的值为（ ） ．3 2 B．❑ √3 ． ❑ √15 2 D．2 【答】D 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出AD=BD=CD=1 2 BC，在结合题意 可得∠BAD=∠B=∠ADE，即证明AB/¿ DE，从而得出 ∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易证△ADE≅△CDE(SAS)，得出AE=CE． 再由等腰三角形的性质可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即证明 △ABD∼△ADE，从而可间接推出CE AD = BD AB ．最后由cos B= AB BC = 1 4 ，即可求出BD AB 的值，即CE AD 的值． 【详解】∵在Rt △ABC中，点D 是边B 的中点， 1 ∴AD=BD=CD=1 2 BC， ∴∠BAD=∠B=∠ADE， ∴AB/¿ DE． ∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE， ∴在△ADE和△CDE中，¿， ∴△ADE≅△CDE(SAS)， ∴AE=CE， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE， ∴△ABD∼△ADE， ∴DE BD = AD AB ，即CE AD = BD AB ． ∵cos B= AB BC = 1 4 ， ∴AB BD =1 2， ∴CE AD = BD AB =2． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三 角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的 思想是解答本题的关键． 13．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90° ,CE是斜边AB上 的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F．若BC=4 , △AEF的面积为5，则sin∠CEF 的值为（ ） ．3 5 B． ❑ √5 5 ．4 5 D．2❑ √5 5 【答】 【分析】由题意易得△AEF ∽△ACB，设CE=BE=AE=x，则有AB=2 x，则有 1 AC= ❑ √4 x 2−16，EF=10 x ，然后可得 4 10 x = ❑ √4 x 2−16 x ，过点作⊥B 于点，进而根据三 角函数及勾股定理可求解问题． 【详解】解：∵EF ⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠AEF=∠ACB=90°， ∴△AEF ∽△ACB， ∵CE是斜边AB上的中线， ∴CE=BE=AE=1 2 AB， 设CE=BE=AE=x，则有AB=2 x， ∵BC=4， ∴由勾股定理可得AC= ❑ √A B 2−BC 2= ❑ √4 x 2−16， ∵△AEF的面积为5， ∴EF=10 x ， ∵△AEF ∽△ACB， ∴BC EF = AC AE ，即 4 10 x = ❑ √4 x 2−16 x ，化简得：x 4−25 x 2+100=0， 解得：x 2=5或x 2=20， 当x 2=5时，则=2，与题意矛盾，舍去； ∴当x 2=20时，即x=2❑ √5，过点作⊥B 于点，如图所示： ∴AB=4 ❑ √5, AC=8，CE=2❑ √5，EF // CH， ∴∠CEF=∠ECH，sin∠B= AC AB =2❑ √5 5 ， ∴CH=BC ⋅sin∠B=8 ❑ √5 5 ， ∴HE= ❑ √C E 2−C H 2=6 ❑ √5 5 ， 1 ∴sin∠CEF=sin∠ECH= HE CE =3 5； 故选． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函 数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 14．（2022·四川巴中·中考真题）如图，点、B、在边长为1 的正方形格格点上，下列结论 错误的是（ ） ．sB¿ 1 3 B．s¿ 2❑ √5 5 ．tB¿ 1 2 D．s2B+s2＝1 【答】 【分析】根据勾股定理得出B，，B 的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△B 是直角三角 形，进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得： AB= ❑ √2 2+2 2=2❑ √2, AC= ❑ √1 2+1 2=❑ √2,BC= ❑ √1 2+3 2=❑ √10, ∴BC 2=A B 2+ A C 2, ∴△B 是直角三角形，∠B=90°， ∴sin