专题28.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）（原卷版）

专题283 解直角三角形的中考常考题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，其中选择题15 题，填空题15 题，解答题20 题 题型针对性较高，覆 盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！ 一、选择题（共15 题） 1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4 个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的格，菱 形的顶点称为格点，点，B，都在格点上，∠=60°，则t∠B=（ ） ．1 3 B．1 2 ． ❑ √3 3 D． ❑ √3 2 2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D， AD= 4 7 AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（ ） ．3 ❑ √3 14 B．9 ❑ √3 14 ．3 ❑ √3 7 D．6 ❑ √3 7 3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45° ,∠C=60° , AD⊥BC 于点D，BD=❑ √3．若E，F 分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ） 1 ． ❑ √3 3 B． ❑ √3 2 ．1 D． ❑ √6 2 4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点 E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若 CE=4，OF=6．则下列结论：①GF=2；②OD=❑ √2OG；③tan∠CDE=1 2；④ ∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D 到F 的距离为8 ❑ √5 5 ．其中正确的结论是（ ） ．①②③④ B．①③④⑤ ．①②③⑤ D．①②④⑤ 5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△B 中，点是角平分线D、BE 的交点，若B＝＝ 10，B＝12，则t∠BD 的值是（ ） ．1 2 B．2 ． ❑ √6 3 D． ❑ √6 4 6．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点在B 上，OC :BC=1:2，连接，过点作OP∥AB交的延长线于P．若 P (1,1)，则tan∠OAP的值是（ ） 1 ． ❑ √3 3 B． ❑ √2 2 ．1 3 D．3 7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC=❑ √5，点D 是 上一点，连接BD．若tan∠A=1 2，tan∠ABD=1 3，则D 的长为（ ） ．2❑ √5 B．3 ．❑ √5 D．2 8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在4×4格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶 点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ） ． ❑ √5 5 B． ❑ √10 5 ．2❑ √5 5 D．4 5 9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△B 中，sB=1 3， t=2，B=3，则的长为（ ） ．❑ √2 B． ❑ √5 2 ．❑ √5 D．2 10．（2022·四川绵阳·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时 给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 1 个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ−cosθ) 2=¿( ) ．1 5 B． ❑ √5 5 ．3 ❑ √5 5 D．9 5 11．（2022·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性， 在计算t15°时，如图．在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝30°，延长B 使BD＝B，连接D，得∠D ＝15°，所以t15°¿ AC CD = 1 2+❑ √3= 2−❑ √3 (2+❑ √3) (2−❑ √3) =2−❑ √3．类比这种方法，计算t225°的 值为（ ） ．❑ √2+1 B．❑ √2﹣1 ．❑ √2 D．1 2 12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt △ABC中，∠BAC=90°，cos B= 1 4 ，点D 是边B 的中点，以D 为底边在其右侧作等腰三角形DE，使∠ADE=∠B，连结E，则 CE AD 的值为（ ） ．3 2 B．❑ √3 ． ❑ √15 2 D．2 13．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90° ,CE是斜边AB上 的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F．若BC=4 , △AEF的面积为5，则sin∠CEF 的值为（ ） 1 ．3 5 B． ❑ √5 5 ．4 5 D．2❑ √5 5 14．（2022·四川巴中·中考真题）如图，点、B、在边长为1 的正方形格格点上，下列结论 错误的是（ ） ．sB¿ 1 3 B．s¿ 2❑ √5 5 ．tB¿ 1 2 D．s2B+s2＝1 15．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E 是BC的中点，AF 平分∠EAD交CD于点F， FG∥AD 交AE于点G，若cos B= 1 4 ，则FG的长是（ ） ．3 B．8 3 ．2❑ √15 3 D．5 2 二、填空题（共15 题） 16．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足 为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为_____． 1 17．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形BD，与BD 相交于点，∠B=∠D=90°， tan∠ACB=1 2 , BO OD = 4 3 ，则S△ABD S△CBD =___． 18．（2022·广东·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=5, AB=12,sin A= 4 5 ．过点D 作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE=¿______． 19．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在矩形BD 中，BD 是对角线，E⊥BD，垂足为E， 连接E，若tan∠ADB=1 2，则t∠DE 的值是________． 20．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， AB=2．若点P 是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为____________． 21．（2022·山东德州·中考真题）如图．在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称 为格点ΔABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是__________． 1 22．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，△B 中，∠B＞90°，B=5，将△B 绕点按顺时针方向 旋转90°，点B 对应点B′落在B 的延长线上．若s B = ∠′ 9 10，则=_____． 23．（2022·上海·中考真题）如图，在△B 中，B=，B=8，tanC=3 2，如果将△B 沿直线l 翻折 后，点B 落在边的中点处，直线l 与边B 交于点D，那么BD 的长为________． 24．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，BC=❑ √6+❑ √2，∠C=45°， AB=❑ √2 AC，则AC的长为________． 25．（2022·四川·中考真题）如图，由10 个完全相同的正三角形构成的格图中， ∠α 、∠β 如图所示，则cos (α+β )=______ 26．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在矩形BD 中，AB=3，BC=2，是B 的中点，将 ΔCBH沿折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接P，则tan∠HAP=¿__． 27．（2022·山东济南·中考真题）如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝❑ √5，E 为D 边上一点， 1 将△BE 沿BE 折叠，使得落到矩形内点F 的位置，连接F，若t BF ∠ ＝1 2，则E＝_____． 28．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，矩形ABCD中，点G，E 分别在边BC , DC上，连 接AG , EG , AE，将△ABG和△ECG分别沿AG , EG折叠，使点B，恰好落在AE上的同 一点，记为点F．若CE=3,CG=4，则sin∠DAE=¿_______． 29．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC 为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=¿_____ ____． 30．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E 分别在 CA、CB上，点F 在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1 的正方形，则sin∠FBA=¿_ _______． 1 三、解答题（共20 题） 31．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上 (1)在图中画出以 为底、面积为12 的等腰 ，且点 在小正方形的顶点上； (2)在图中画出平行四边形 ，且点 和点 均在小正方形的顶点上， ， 连接 ，请直接写出线段 的长 32．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在▱BD 中 过点作E⊥D，垂足为E，连接BE，F 为BE 上一点，且∠FE=∠D． （1）求证：△BF∽△BE； （2）若D=5，B=8，sD=4 5 ，求F 的长． 33．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，将△B 沿着射线B 方向平移至△A ' B 'C '，使点A '落 在∠B 的外角平分线D 上，连接A A '． 1 (1)判断四边形AC C ' A '的形状，并说明理由； (2)在△B 中，∠B=90°，B=24，s∠B=12 13，求C B '的长． 34．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，点M 是正方形BD 边D 上一点，连接M，作 DE⊥M 于点E，BF⊥M 于点F，连接BE． （1）求证：E=BF； （2）已知F=2，四边形BED 的面积为24，求∠EBF 的正弦值． 35．（2022·上海·中考真题）如图，已知△B 中，B=B=5，t∠B=3 4 ． （1）求边的长； （2）设边B 的垂直平分线与边B 的交点为D，求AD DB 的值． 36．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在△B 中，∠B=90°，、D 分别是边、B 的中点，过 点作E∥B 交D 的延长线于点E，连接E． (1)求证：四边形ED 是菱形； (2)若四边形ED 的面积为24，t∠B=3 4 ，求B 的长． 37．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形BD 中，AD=5，CD=4，点E 是B 边上 的点，BE=3，连接E，DF ⊥AE交于点F． (1)求证：△ABE≌△DFA； 1 (2)连接F，求sin∠DCF的值； (3)连接交DF 于点G，求AG GC 的值． 38．（2022·湖南常德·中考真题）如图，在△B 中，D 是B 边上的高，E 是B 边上的中线， ∠=45°，sB=1 3，D=1． （1）求B 的长； （2）求t DE ∠ 的值． 39．（2022·浙江绍兴·中考真题）在△B 中，∠B=90°，D⊥B 于点D，点E 为B 的中点，E 与 D 交于点G，点F 在B 上． （1）如图1，∶B=1 2 ∶，EF⊥B，求证∶EF=D． （2）如图2，∶B=1∶❑ √3，EF⊥E，求EF∶EG 的值． 40．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，D为BC上一点， AB=5 , BD=1，tan B= 3 4 ． （1）求AD的长；（2）求sin α的值． 1 41．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点E 是矩形BD 中D 边上一点，△BE 沿BE 折叠为 △BFE，点F 落在D 上． （1）求证：△BF DFE ∽△ ； （2）若 ，求t EB ∠ 的值． 42．（2022·福建厦门·中考真题）已知 BD，对角线与BD 相交于点，点P 在边D 上，过点 P 分 别作PE⊥、PF BD ⊥ ，垂足分别为E、F，PE＝PF． （1）如图，若PE＝❑ √3，E＝1，求∠EPF 的度数； （2）若点P 是D 的中点，点F 是D 的中点，BF ＝B＋3❑ √2－4，求B 的长． 43．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为10， ∠ABC=60°，对角 线AC ,BD相交于点，点E 在对角线BD 上，连接E，作∠AEF=120°且边EF 与直线D 相交于点F． (1)求菱形ABCD的面积； (2)求证AE=EF． 44．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形BD 中，∠BD = 120°，B = 6，连接BD ． 1 (1)求BD 的长； (2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合）， 点F 在边D 上，且BE=❑ √3DF， ①当E 丄B 时，求四边形BEF 的面积； ②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+❑ √3F 的值是否也最小？如果是，求E+❑ √3F 的 最小值；如果不是，请说明理由． 45．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在Rt △ABC中，点P为斜边BC上一动点，将 △ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B '，连接A B '，C B '，B B '，P B '． （1）如图①，若P B '⊥AC，证明：P B '=A B '． （2）如图②，若AB=AC，BP=3 PC，求cos∠B ' AC的值． （3）如图③，若∠ACB=30°，是否存在点P，使得AB=C B '．若存在，求此时PC BC 的 值；若不存在，请说明理由． 46．（2022·山东济南·中考真题）在等腰△B 中，＝B，△ADE是直角三角形，∠DE＝ 90°，∠DE＝1 2∠B，连接BD，BE，点F 是BD 的中点，连接F． （1）当∠B＝45°时． ①如图1，当顶点D 在边上时，请直接写出∠EB 与∠B 的数量关系是 ．线段BE 与线 段F 的数量关系是 ； ②如图2，当顶点D 在边B 上时，（1）中线段BE 与线段F 的数量关系是否仍然成立？若 成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； 1 学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考： 思路一：作等腰△B 底边上的高M，并取BE 的中点，再利用三角形全等或相似有关知识来 解决问题； 思路二：取DE 的中点G，连接G，G，并把△CAG绕点逆时针旋转90°，再利用旋转性质、 三角形全等或相似有关知识来解快问题． （2）当∠B＝30°时，如图3，当顶点D 在边上时，写出线段BE 与线段F 的数量关系，并 说明理由． 47．（2022·四川南充·中考真题）如图，点E 在正方形BD 边D 上，点F 是线段B 上的动点 （不与点重合）．DF 交于点G，GH ⊥AD于点，AB=1，DE=1 3． （1）求tan∠ACE． （2）设AF=x，GH= y，试探究y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）． （3）当∠ADF=∠ACE时，判断EG 与的位置关系并说明理由． 48．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△B 和△DE 都是等边三角形，连接BD，E．求证：BD＝E． (2)【类比探究】如图2，△B 和△DE 都是等腰直角三角形，∠B＝∠DE＝90°．连接BD，E． 1 请直接写出BD CE 的值． (3)【拓展提升】如图3，△B 和△DE 都是直角三角形，∠B＝∠DE＝90°，且AB BC ＝AD DE ＝3 4 ． 连接BD，E． ①求BD CE 的值； ②延长E 交BD 于点F，交B 于点G．求s∠BF 的值． 49．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD 边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长 CE交BA的延长线于点G． (1)求线段AE的长； (2)求证四边形DGFC为菱形； (3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且 ∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存 在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 50．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运 动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美， 体会数学实践活动带给我们的乐趣． 如图①，在矩形BD 中，点E、F、G 分别为边B、B、D 的中点，连接EF、DF，为DF 的 中点，连接G．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF、G 和E 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题： 1 (1)图②中，B=B，此时点E 落在B 的延长线上，点F 落在线段B 上，连接F，猜想G 与E 之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)图③中，B=2，B=3，则GH CE =¿ ； (3)当B=m , B=时． GH CE =¿ ． (4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得△B（如图④)．点 M、分别在、B 上，连接M，将△M 沿 M 翻折，使点的对应点P 落在B 的延长线上，若PM 平分∠P，则M 长为 ． 1