中考二次函数与几何综合答案

一题可破万题山 ——中考二次函数与几何综合训练 知识点分布表 类型 题目考查知识点 解析式 1-解析式、对称轴、顶点、与坐标轴交点 线段问题 2-判定三角形形状、3,5-线段成比例、4-线段相等 6-线段最值(直)、7,10-线段最值(斜)、8,9,11,12-和最小、13-差最大 面积问题 14-定点求面积、16,17-斜三角形求面积、18-同底等高(直)、19-同底等 高(斜)、20,21,22-面积平分、23-面积成比例 特殊图形 25-28-等腰三角形、29-31-直角三角形、32-34-等腰直角三角形、 35-39-平行四边形、40-矩形、41-菱形、42-正方形、43-50-相似三角 形、44-三角比 角度问题 51-54-角相等、55-倍半角、56-57-和差角 几何变换 58-平移问题、59-翻折问题、60-旋转问题 【例题】 如图,在平面直角坐标系xO y中,抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于A 、B两点(点A在点B的左 侧),与y轴交于点C ,OA=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E (1) 求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 x y A B C D O x y A B C D O 解:【一般式,交点式,顶点式】 方法一【一般式】 ∵OA=OC=3, ∴A (−3,0),C (0,−3), ∵抛物线y=x 2+bx+c经过点A (−3,0)、C (0,−3), ∴{ 9−3b+c=0 c=−3 , 解得:{ b=2 c=−3 ∴抛物线的解析式为y=x 2+2 x−3, ∵y=x 2+2 x−3=(x+1) 2−4, ∴抛物线的对称轴是直线x=−1,顶点D的坐标为(-1,-4) 方法二【交点式】【略】 专题1、线段问题 原理:平面直角坐标系中的线段有如下三种位置关系: 若AB/¿ x轴,则AB=|xB−x A| 若AB/¿ y轴,则AB=|yB−y A| 若AB不平行x轴、y轴,则AB=❑ √(xB−x A) 2+( yB−y A) 2 (2) 判断△ACD的形状,并说明理由(用三种不同的方法) 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 x y A B C D O x y A B C D O 解:【勾股定理,等腰直角三角形,相似三角形,垂直直线斜率关系】 方法一: 【勾股定理】 ∵A(−3,0),C(0,−3), D(−1,−4) ∴A C 2=3 2+3 2=18 A D 2=4 2+2 2=20 C D 2=1 2+1 2=2 ∴A C 2+C D 2=18+2=20=A P 2 ∴△ACD是直角三角形 方法二:【等腰直角三角形】 如图,过D作DE⊥y轴于E ∵A (−3,0),C (0,3), D (−1,−4 ) ∴AO=3,OC=3, DE=1,OE=4 ∴CE=OE=OE=4−3=1 ∴ΔAOC , ΔCDE为等腰直角三角形 ∴∠ACO=∠CDE=45 ∘ ∴∠ACD=180 ∘−∠ACO=∠DCE=180 ∘−45 ∘−45 ∘=90 ∘ ∴AC=1 ∴A (−3,0),C (0,−3), D (−1,−4 ) ∴AC=(−3) 2+(−3) 2=18 ∴C D 2=(−1+3) 2+(−4+5) 2=2 ∴A C 2+C D 2=A D 2 ∴ΔACD是直角三角形 x y A B C D O E 方法三:【相似三角形】 过DM ⊥y轴于E , E (0,−4 ) ∴DE=1,CE=1 ∴AO BO =1 1= DE CE ∴AO DE = BO CE 且∠AOE=∠CED=90 ∘ ∴Δ AOC ∼ΔCED ∴∠1=∠2∴∠3+∠2=∠1+∠3=90 ∘ ∴∠ACD=180 ∘−(∠3+∠2)=90 ∘ x y A B C D O E 1 2 3 方法四:【垂直直线斜率关系】 k AC= −3−0 0−(−3)=−1 kCD=−4−(−3) −1−0 =1 ∵k AC⋅kCD=(−1)⋅1=−1 ∴AC ⊥CD , ∴△ACD是直角三角形 (3) 在抛物线上有一动点P,过点P作PM ⊥x轴于点M,交直线AC于点N,在线段PN、MN中, 若其中一条线段是另一条线段的2 倍,求点P的坐标 【变式:线段AC】 解:抛物线为y=( x+3)( x−1)=x 2+2×3 ∴A为(−3,0),把x=0代入y=3×(−1)=−3,故C为(0,−3) 由两点式得LAC为:y=−x−3 ∴可以设N为(x1,−x1−3),则M为(x1,0), P为(x1, x1 2+2 x−3) ∴MN=|−x1−3|=3+x1 PN=−x1−3−(x1 2+2 x1−3)=−x1 2−3 x1 (1)当PN=2 MN,则|−x1 2−3 x1|=2|x1+3| (2)当MN=2 PN,则2|−x1 2−3 x1|=|x1+3| ∴x1=−3(舍去)或+2,−2,或+1 2 ,−1 2 综上所述x1=+2,−2或+1 2 ,−1 2,代入y=x 2+2 x−3 ∴P为(2,5),(−2,−3)或( 1 2 ,−7 4),( −1 2 ,−15 4 ) (4) 在抛物线上是否存在一点P,使PA=PC,若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由 解:在抛物线上存在一点p,使PA=PC 方法一【设点，利用勾股定理列方程】 设点P ( p, p 2+2 p−3), ∵PA=PC,A (−3,0)、C (0,−3), ∴P A 2=PC 2,即有 ( p+3) 2+( p 2+2 p−3) 2=p 2+( p 2+2 p) 2 整理,得 p 2+ p−3=0, 解得: p1=−1+❑ √13 2 ,p2=−1−❑ √13 2 , 当p=−1+❑ √13 2 时,p 2+2 p−3=( −1+❑ √13 2 ) 2 +2×−1+❑ √13 2 −3=−1+❑ √13 2 当p=−1−❑ √13 2 时,p 2+2 p−3=( −1−❑ √13 2 ) 2 +2×−1−❑ √13 −2 −3=−1−❑ √13 2 ⋅ 点P的坐标为( −1+❑ √13 2 ,−1+❑ √13 2 )或( −1−❑ √13 2 ,−1−❑ √13 2 ), 方法二【几何方法，利用垂直平分线的性质】【如果斜率不是+1或−1，要补充互 相垂直直线斜率的知识点，后面不再重复说明】 x y A B C O P1 P2 要使PA=PC，则P在线段AC的中垂线上 ∵OA=OC , ∴直线y=x是A C的中垂线， ∴P (a,a 2+2a−3), 则a=a 2+2a−3， 解得a1=−1+❑ √13 2 ,a2=−1+❑ √13 2 ∴P1( −1+❑ √13 2 ,−1+❑ √13 2 ), P2( −1+❑ √13 2 ,−1+❑ √13 2 ). 【补】面积问题:求此时三角形PAC的面积 ∴当点P坐标为( −1+❑ √13 2 ,−1+❑ √13 2 )时,点P在第一象限的角平分线上, ∴S△PAC=S△AOP+S△COP+S△AOC=1 2 ×3×−1+❑ √13 2 + 1 2 ×3×−1+❑ √13 2 + 1 2 ×3×3=6+3 ❑ √13 2 ; 当点P坐标为( −1+❑ √13 2 ,−1−❑ √13 2 )时,点P在第三象限的角平分线上, ∴S△PAC=S△AOP+S△COP−S△AOC=1 2 ×3× 1+❑ √13 2 + 1 2 ×3× 1+❑ √13 2 −1 2 ×3×3=−6+3 ❑ √13 2 , 综上所述,此时△PAC的面积为6+3 ❑ √13 2 或−6+3 ❑ √13 2 . (5) 在抛物线的对称轴上的一点H(−1,−15 4 ),过点H的任一条与y轴不平行的直线l交抛物线于 点M 、N,说明MH ⋅NH MN 是否为定值？若是定值,请求出这个定值,若不是,请说明理由 解:【计算量偏大,不太适合初中学生】 MH ⋅NH MN 是定值理由如下: 设过点H(−1,−15 4 )的直线为y=kx+b, 则−15 4 =−k+b, 设M (x1, y1), N (x2, y2),∴b=−15 4 +k, ∴过点H的直线为y=kx+k−15 4 , 由{ y=x 2+2 x−3 y=kx+k−15 4 得:x 2+(2−k )x−k+ 3 4 =0, ∴x1+x2=k−2, x1 x2=−k+ 3 4 ∵y1=k x1+k−15 4 , y2=k x2+k−15 4 ∴y1−y2=k (x1−x2), ∴MN=❑ √(x1−x2) 2+( y1−y2) 2 ¿ ❑ √1+k 2⋅❑ √(x1−x2) 2 ¿ ❑ √1+k 2⋅❑ √(x1+x2) 2−4 x1⋅x2 ¿1+k 2 ∵MH=❑ √( y1+ 15 4 ) 2 +(x1+1) 2 ¿ ❑ √(k x1+k−15 4 + 15 4 ) 2 +(x1+1) 2 ¿ ❑ √(x1+1) 2+k 2(x1+1) 2 ¿ ❑ √(1+k 2)(x1+1) 2 同理:NH= ❑ √1+k 2⋅❑ √(x2+1) 2, ∴MH ⋅NH=(1+k 2)❑ √[(x1+1)(x2+1)] 2= 1 4 (1+k 2), ∴MH ⋅NH MN = 1 4 . 专题2、线段最值问题 将军饮马:这个将军饮的不是马,是数学！ 原理:两点间线段最短;点到直线的垂直距离最短;对称(翻折)、平移 策略:对称(翻折)→化同为异；化异为同；化折为直 两村一路(异侧)和最小 两村一路(同侧)和最小 两路一村和最小 两村两路和最小 两村一路和最小 两村一路(同侧)差最大 两村一路(异侧)差最大 (6) 直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PN /¿ y轴交AC于N,求线段PN的最大值及此 时点P的坐标 解:设p(t ,t 2+2t−3),N (t ,−t−3) NP=(−t−3)−(t 2+2t−3)=−t 2−3t=−(t+ 3 2) 2 + 9 4 ∴当t=−3 2 时P N最大值为9 4 当t=−3 2 时t 2+2t−3=−15 4 ∴此时P点的坐标为( −3 2 ,−15 4 ) (7) 直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PH ⊥AC于H,求线段PH的最大值及此时点 P的坐标 x y A B C O P H 1 2 E 【恰好是45 ∘，否则就会用到三角函数或相似知识了】 解:作PE⊥x轴交AC于E,设P (t ,t 2+2t−3),E(t ,−t−3) ∴PE=−t 2−3t 又P H ⊥AC ,∠HEP=∠OAH=45 ∘ ∴△P H E是等腰直角三角形 ∴PH= ❑ √2 2 PE=−❑ √2 2 (t+ 3 2) 2 + 9 ❑ √2 8 当t=−1 2 时,PH最大值为9 ❑ √2 8 此时,P( −3 2 , 9 ❑ √2 8 ) (8) 直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PN /¿ y轴交AC于N,过点P作PH ⊥AC于H, 求△PNH周长的最大值及此时点P的坐标 解:设P (t ,t 2+2t−3) 设AC : y=kx+b.代入A(−3,0),C(0,−3) { −3k+b=0 b=−3 ∴{ k=−1 b=−3 ∴AC : y=−x−3. 法一： 由上题可知 PN=−t 2−3t 又三角形PNH是等腰直角三角形, 所以三角形PNH周长¿ PN +PM +NM ¿ PN + ❑ √2 2 PN + ❑ √2 2 PN ¿ PN +❑ √2 PN=(1+❑ √2) PN ¿−(1+❑ √2)(t 2+3t ) ¿−(1+❑ √2)(t+ 3 2) 2 + 9+9 ❑ √2 4 ∵−1−❑ √2<0 ∴当t=−3 2 时,△PNH最大值为9+9 ❑ √2 4 , 此时P( −3 2 ,−15 4 ) 法二(高中知识) 当与AC平行的直线与抛物线相切时,此时只有一个交点即为PPH最大 设该直线:y=−x+b2代入P (t ,t 2+2t−3) ∴−t+b2=t 2+2t−3 ∴b2=t 2+3t−3. ∴y=−x+t 2+3t−3. ∴两线间距离d=|−3−(t 2+3t−3)| ❑ √2 =|t 2+3t| ❑ √2 当m=−b 2a =−3 2 时,d取最大值 此时dmax=9 8 ❑ √2 P( −3 2 ,( −3 2 ) 2 +2×( −3 2 )−3) 即P( −3 2 ,−15 4 ) (9) 在抛物线对称轴上找一点N,使得△BCN的周长最小,求△BCN周长的最小值及此时点N的 坐标 解：【将军饮马】 由前面可知A(−3,0),B(1,0),C(0,−3),对称轴x=−1. A ,B关于x=1对称,连接AC交x=1于N x y A B C D O N 此时△BCN周长最小,BC= ❑ √1 2+3 2=❑ √10 直线AC : y=−x−3 当x=−1时y=−2 ∴N (−1,−2) AC= ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √2 C △BCN最小¿ BN +NC+BC=AN +NC+BC=AC+BC C △BCN最小¿3 ❑ √2+❑ √10 此时N (−1,−2). (10) 在线段OA上找一点N,连接NC,作NM ⊥NC交AC于点M,求CM的最小值 解： 分析：M NC三点共圆,M C为直径,M ’为圆心,圆M ’与O A交于N,当圆M ’与O A相切于N 点时,有∠MNC=90,且M C最小 作N M ’平行于y轴,交A C于点M ’ x y A B C O M N M  设ON=a则AN=3−a, M ' N=3−a,C M '=M M '=3−a, A M '=❑ √2(3−a) ∴AC=A M '+C M ' 3 ❑ √2=❑ √2(3−a)+(3−a) ∴a= 3 ❑ √2+1=3(❑ √2−1) ∴C M '=6−3 ❑ √2 ∴CM=2C M '=12−6 ❑ √2 (11) 在OC上找一点M,使AM + ❑ √10 10 MC值最小,求出最小值及此时M点坐标 解： 思路分析：【三角函数,相似】【涉及线段与定值乘积问题】 sin ⁡∠OCB= MN MC = ❑ √10 10 ,OB BC = ❑ √10 10 ,∴MN= ❑ √10 10 MC, ∴AM + ❑ √10 10 MC=AM +MN=AN 由前面题目可知B(1,0),C(0,−3) ∴可求直线BC解析式y=3 x−3, 于是BC=❑ √10,sin ⁡∠OCB=OB BC = ❑ √10 10 作AN ⊥BC于N 1交y轴于M, Rt △MNC中MN MC =sin ⁡∠OCB= ❑ √10 10 ∴MN= ❑ √10 10 MC ∴AM + π 10 MC=AM +MN ∴AM + ❑ √6 10 MC最小值即AM +MN最小值 当AN ⊥BC时,线段最短,∠BAN=∠OCB ∴cos ⁡∠BAN=cos ⁡∠OCB, AN AB =OC BC ∴AN= 4×3 ❑ √10 = ❑ √10 5 tan ⁡∠BAN=tan ⁡∠OCB,OM AO = OB OC ∴OM=3×1 3 =1 ∴M (0,−1) 当M 坐标为(0,−1)时AM + ❑ √40 10 MC最小值为6 ❑ √10 5 (12) 在抛物线对称轴上有两动点N 、M(点N在点M上方),且MN=1,求四边形BNMC周长的最 小值及此时M的坐标 解：【两村一路和最小模型】 将点C向上平移1 个单位得C ‘(0,−2),M随之重合到N点 点B关于直线x=−1的对称点为A(−3,0) 连接A C ',求得直线A C ': y=−2 3 x−2 交直线x=1于N,此时BN +MN +CM最小 即四边形BNMC周长最小 x=−1时,y=−2 3 ×(−1)−2=−4 3 , 此时N(−1,−4 3),M(−1,−7 3) 四边形BNMC周长¿ BN +NM +MC+BC=BN +MC+1+❑ √10=❑ √13+1+❑ √10 (13) 在对称轴上找一点N,使得¿ NA−NC∨¿最大,求点N的坐标 解：由于三角形三边性质,¿ NA−NC∨¿ AC ∴当N 、C 、A在同一直线上时,¿ NA−NC∨¿的值最大 由(1)知在AC上x=−1时,y=−6 ∴N (−1,−6) 专题3、面积问题 宽高法(铅锤法):S=(宽×高)÷2 ※重点:什么是宽？什么是高？如何确定？(横平竖直；改斜归正) 定义:过三角形的一个顶点做y轴的平行线(x轴的垂线)与这个顶点的对边(或延长线)相交, 交点到这点的距离(纵坐标的差的绝对值)叫做该三角形的"高"(铅锤高)；另外两个顶点的 水平距离(横坐标的差的绝对值)叫做该三角形的"宽"(水平宽) 注:一般来讲:过动点(设横坐标表示纵坐标)做y轴的平行线与其对边或延长线相交!具体操 作时有如图所示的三种情形: S=(m× AD)÷2 S=(m×BD)÷2 S=(m×CD)÷2 (14) 求四边形ABCD的面积 解：【割补法】 (1)S四边形ABCD=S ADEA+SDEOC+SCOB=2×4× 1 2 +(4+3)× 1 2 + 1 2 ×3=4+5=9 (2)连接OD, S四边形ABCD=S△AOD+S△OCD+S△OBC ¿ 1 2 ×3×4+ 1 2 ×3×1+ 1 2 ×1×3=6+3=9 (2)作D到y轴垂线交y轴于H, 则S四边形ABCD=S ADHO−SCDH+SOBC=(1+3)×4× 1 2−1×1 2 + 1 2 ×3=9 (15) 过E点的直线l将四边形ABCD的面积分成2:7两部分,求直线l的解析式 解：【2:7来源于上题计算面积为9,方便本题计算而已】 方法一：【常规方法】 设l与直线A D或BC交于点Q, S△BEQ=S AEQ= 2 9 S四边形ABCD=2, 直线AD: y=−2 x−6,直线BC : y=3 x−3 1 2 ×2×|yQ|=2 yQ=−2 令2 x−6=−2,解得x=−2 令3 x−3−2,解得x=1 3 直线l方程为:y=2 x+2或y=−3 2 x