45 二次函数与几何模型综合压轴突破

二次函数与几何模型综合压轴突破 《学习目标分解》 1 熟练掌握二次函数图象和性质； 2 掌握二次函数与几何综合问题的处理方法 《重难点分析》 1 二次函数图象和性质的综合应用； 2 二次函数与几何问题的综合处理； 3 二次函数与新定义问题的处理 《专题热点精准分析》 二次函数与几何综合问题 1 二次函数与几何图形的面积问题 二次函数与几何图形的面积问题一般是利用面积公式表达出图形的面积函数关系式— —一般是二次函数的表达式，再利用函数的解析式的特点求面积的最值问题；此外还会涉 及到面积相等、给出面积的值等问题，其核心处理方法都是表示出面积的表达式，再去研 究相关的性质 2 二次函数与等腰三角形 在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶 角与底角是分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性 质来转化已知条件是常用的处理手段 3 二次函数与直角三角形 在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直 角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条 件是常用的处理手段 4 二次函数平行四边形 在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转 化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的 5 二次函数与线段和、差的最值问题 在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题，一般会用到初二所学的将军饮马问 题的思想，其本质一般是三点共线问题的处理 典例1 如图，二次函数y=x2+bx+的图象与x 轴交于 、B 两点，与y 轴交于点，B=．点D 在 函数图象上，D x ∥轴，且D=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点． （1）求b、的值； （2）如图①，连接BE，线段上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F 的 坐标； （3）如图②，动点P 在线段B 上，过点P 作x 轴的垂线分别与B 交于点M，与抛物线交于 点．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQ 与△PM 的面积相等，且线段Q 的长度最小？ 如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由． 【答】解：（1）∵D x ∥轴，D=2，∴抛物线对称轴为x=1．∴ ． B= ∵ ，（0，），∴B 点的坐标为（﹣，0）， 0= ∴ 2+2+，解得= 3 ﹣或=0（舍去），∴= 3 ﹣； （2）设点F 的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线x=1，∴点F 关于直线l 的对称点F 的坐标为（2，m）． 由（1）可知抛物线解析式为y=x2 2x 3= ﹣ ﹣ （x 1 ﹣）2 4 ﹣，∴E（1，﹣4）， ∵直线BE 经过点B（3，0），E（1，﹣4）， ∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x 6 ﹣． ∵点F 在BE 上，∴m=2×2 6= 2 ﹣ ﹣，即点F 的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点Q 满足题意． 设点P 坐标为（，0），则P=+1，PB=PM=3﹣，P=﹣2+2+3． 作QR P ⊥，垂足为R， S ∵△PQ=S PM △ ，∴ ，∴QR=1． ①点Q 在直线P 的左侧时，Q 点的坐标为（﹣1，2 4 ﹣），R 点的坐标为（，2 4 ﹣），点的 坐标为（，2 2 3 ﹣﹣）． ∴在Rt QR △ 中，Q2=1+（2 3 ﹣）2， ∴ 时，Q 取最小值1．此时Q 点的坐标为 ； ②点Q 在直线P 的右侧时，Q 点的坐标为（+1，2 4 ﹣）． 同理，Q2=1+（2 1 ﹣）2， ∴ 时，Q 取最小值1．此时Q 点的坐标为 ． 综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为 或 ． 【精准解析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由B=，可用表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由 B、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程， 可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为（，0），可表示出P、PB、P 的长，作QR P ⊥， 垂足为R，则可求得QR 的长，用可表示出Q、R、的坐标，在Rt QR △ 中，由勾股定理可 得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时的值，则可求得Q 点的坐 标， 练习1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于（﹣1，0），B（4， 0），（0，﹣4）三点，点P 是直线B 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使△P 是以为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在， 请说明理由； （3）动点P 运动到什么位置时，△PB 面积最大，求出此时P 点坐标和△PB 的最大面积． 【答】解：（1）设抛物线解析式为y=x2+bx+， 把、B、三点坐标代入可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=x2 3x 4 ﹣ ﹣； （2）作的垂直平分线DP，交于点D，交B 下方抛物线于点P，如图1， P=P ∴ ，此时P 点即为满足条件的点， ∵（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P 点纵坐标为﹣2， 代入抛物线解析式可得x2 3x 4= 2 ﹣ ﹣ ﹣，解得x= （小于0，舍去）或x= ， ∴存在满足条件的P 点，其坐标为（ ，﹣2）； （3）∵点P 在抛物线上，∴可设P（t，t2 3t 4 ﹣﹣）， 过P 作PE x ⊥轴于点E，交直线B 于点F，如图2， B ∵（4，0），（0，﹣4），∴直线B 解析式为y=x 4 ﹣， F ∴（t，t 4 ﹣），∴PF=（t 4 ﹣）﹣（t2 3t 4 ﹣﹣）= t ﹣2+4t， S ∴ PB △=S PF △+S PFB △ = PF•E+ PF•BE= PF•B= （﹣t2+4t）×4= 2 ﹣（t 2 ﹣）2+8， ∴当t=2 时，S PB △ 最大值为8，此时t2 3t 4= 6 ﹣﹣ ﹣， ∴当P 点坐标为（2，﹣6）时，△PB 的最大面积为8． 【精准解析】（1）由、B、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由 题意可知点P 在线段的垂直平分线上，则可求得P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）过P 作PE x ⊥轴，交x 轴于点E，交直线B 于点F，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PB 的面积，利用二次函数的性质可求得△PB 面积的最大值及P 点的坐 标． 《小结》 二次函数与几何图形的面积问题一般是利用函数的面积公式表达出图形的面积函数关系式 ——一般是二次函数的表达式，再利用函数的解析式的特点去研究面积的特点 典例2 已知抛物线1的顶点为（﹣1，4），与y 轴的交点为D（0，3）． （1）求1的解析式； （2）若直线l1：y=x+m 与1仅有唯一的交点，求m 的值； （3）若抛物线1关于y 轴对称的抛物线记作2，平行于x 轴的直线记作l2：y=．试结合图形 回答：当为何值时，l2与1和2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点； （4）若2与x 轴正半轴交点记作B，试在x 轴上求点P，使△PB 为等腰三角形． 【答】解：（1）∵抛物线1的顶点为（﹣1，4）， ∴设抛物线1的解析式为y=（x+1）2+4， 把D（0，3）代入y=（x+1）2+4 得3=+4，∴= 1 ﹣， ∴抛物线1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y= x ﹣ 2 2x+3 ﹣ ； （2）解 得x2+3x+m 3=0 ﹣ ， ∵直线l1：y=x+m 与1仅有唯一的交点，∴△=9 4m+12=0 ﹣ ，∴m= ； （3）∵抛物线1关于y 轴对称的抛物线记作2， ∴抛物线2的顶点坐标为（1，4），与y 轴的交点为（0，3）， ∴抛物线2的解析式为：y= x ﹣ 2+2x+3， ∴①当直线l2过抛物线1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作2的顶点（1，4）时，即=4 时，l2 与1和2共有两个交点； ②当直线l2过D（0，3）时，即=3 时，l2与1和2共有三个交点； ③当3＜＜4 或＜3 时，l2与1和2共有四个交点； （4）如图，∵若2与x 轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴B=3，∴B= =4 ， ①当P=B=4 时，PB=8，∴P1（﹣5，0）， ②当B=BP=4 时，P2（3 4 ﹣ ，0）或P3（3+4 ，0）， ③当P=PB 时，点P 在B 的垂直平分线上，∴P=PB=4，∴P4（﹣1，0）， 综上所述，点P 的坐标为（﹣5，0）或（3 4 ﹣ ，0）或（3+4 ，0）或（﹣1，0）时， △PB 为等腰三角形． 【精准解析】（1）设抛物线1的解析式为y=（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=（x+1）2+4 即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m 3=0 ﹣ ，由于直线l1：y=x+m 与1仅有唯一的交 点，于是得到△=9 4m+12=0 ﹣ ，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线2的解 析式为：y= x ﹣ 2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到B=3，根据 勾股定理得到B= =4 ，①当P=B，②当B=BP=4 时，③当P=PB 时，点 P 在B 的垂直平分线上，于是得到结论． 练习1 如图，已知两直线l1，l2分别经过点（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于 y 轴的正半轴上的点，当点的坐标为（0， ）时，恰好有l1 l ⊥2，经过点、B、的抛物线 的对称轴与l1、l2、x 轴分别交于点G、E、F，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）试说明DG 与DE 的数量关系？并说明理由； （3）若直线l2绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MG 为等腰三角形时，请直 接写出点M 的坐标． 【答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y=x2+bx+． ∵点（1，0），点B（﹣3，0），点（0， ）在抛物线上， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ； （2）DG=DE．理由如下： 设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将（1，0），（0， ）代入，解得y=﹣ x+ ； 设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），（0， ）代入，解得y= x+ ； ∵抛物线与x 轴的交点为（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x= 1 ﹣， 又∵点G、D、E 均在对称轴上， G ∴（﹣1，2 ），D（﹣1， ），E（﹣1， ）， DG=2 ∴ ﹣ = ，DE= ﹣ = ，∴DG=DE； （3）若直线l2绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MG 为等腰三角形时，分三 种情况： ①以G 为圆心，G 为半径画弧交抛物线于点M1、，点M1与关于抛物线的对称轴对称，则 M1的坐标为（﹣2， ）； ②以为圆心，G 为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点重合，点、、G 在一条直线 上，不能构成三角形，M3与M1重合； ③作线段G 的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4 与点D 重合，点D 的坐标为 （﹣1， ），M5与M1重合； 综上所述，满足条件的点M 只有两个，其坐标分别为（﹣2， ），（﹣1， ）． 【精准解析】（1）设抛物线的函数解析式为y=x2+bx+．将点、B、的坐标代入，得到关于、 b、的方程组，解方程求出、b、的值，进而得到抛物线的解析式；（2）利用待定系数法分 别求出直线l1、直线l2 的解析式，再求出G、D、E 的坐标，计算得出DG=DE= ； （3）当△MG 为等腰三角形时，分三种情况：①GM=G；②M=G；③M=MG． 《小结》 在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶角与 底角是分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来 转化已知条件是常用的处理手段 典例3 如图，在平面直角坐标系中，△B 为等腰直角三角形，∠B=90°，抛物线y= x ﹣ 2+bx+ 经过，B 两点，其中点，的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点E 是直角三角形B 斜边B 上的一个动点（不与，B 重合），过点E 作x 轴的垂线， 交抛物线于点F，当线段FE 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF 是以EF 为直角边的直角三角 形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】解：（1）∵，的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），∴=5． B ∵△ 为等腰直角三角形，∠=90°，∴B==5．∴B（﹣4，﹣5）． 将点和点B 的坐标代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为y= x ﹣ 2 2x+3 ﹣ ． （2）如图1 所示： 设直线B 的解析式为y=kx+b， 将点和点B 的坐标代入得： ，解得：k=1，b= 1 ﹣． 所以直线B 的解析式为y=x 1 ﹣． 设点E 的坐标为（t，t 1 ﹣），则点F 的坐标为（t，﹣t2 2t+3 ﹣ ）． EF= t ∴ ﹣2 2t+3 ﹣ ﹣（t 1 ﹣）= t ﹣2 3t+4= ﹣ ﹣（t+ ）2+ ． ∴当t=﹣ 时，FE 取最大值 ，此时，点E 的坐标为（﹣ ，﹣ ）． （3）存在点P，能使△PEF 是以EF 为直角边的直角三角形． 理由：如图所示：过点F 作直线⊥EF，交抛物线于点P，过点E 作直线b EF ⊥ ，交抛物线 P′、P″． 由（2）可知点E 的坐标为（t，t 1 ﹣），则点F 的坐标为（t，﹣t2 2t+3 ﹣ ），t=﹣ ， ∴点E（﹣ ，﹣ ）、F（﹣ ， ）． ①当﹣t2 2t+3= ﹣ 时，解得：t=﹣ 或t=﹣ （舍去）． ∴点P 的坐标为（﹣ ， ）． ②当﹣t2 2t+3= ﹣ ﹣ 时，解得：t= 1+ ﹣ 或t= 1 ﹣﹣ ． ∴点P′（﹣1﹣ ，﹣ ），P″（﹣1+ ，﹣ ）． 综上所述，点P 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣1﹣ ，﹣ ）或P″（﹣1+ ，﹣ ）． 【精准解析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B 的坐标，然后将点和点B 的 坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）设直线B 的解析式为y=kx+b，将点和点B 的坐 标代入可求得直线B 的解析式，设点E 的坐标为（t，t 1 ﹣），则点F 的坐标为（t，﹣t2﹣ 2t+3），然后列出EF 关于t 的函数关系式，最后利用配方法求得EF 的最大值即可；（3） 过点F 作直线⊥EF，交抛物线于点P，过点E 作直线b EF ⊥ ，交抛物线P′、P″，先求得点E 和点F 的纵坐标，然后将点E 和点F 的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x 的值，从 而可求得点P、P′、P″的坐标． 练习1 如图，在矩形B 中，点为原点，点的坐标为（0，8），点的坐标为（6，0）．抛物 线y=﹣ x2+bx+经过点、，与B 交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P 为线段B 上一个动点（不与点重合），点Q 为线段上一个动点，Q=P，连接 PQ，设P=m，△PQ 的面积为S． ①求S 关于m 的函数表达式； ②当S 最大时，在抛物线y=﹣ x2+bx+的对称轴l 上，若存在点F，使△DFQ 为直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】解：（1）将、两点坐标代入抛物线，得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8； （2）①∵=8，=6，∴= =10， 过点Q 作QE B ⊥ 与E 点，则s B= ∠ = = ， ∴ = ，∴QE= （10 m ﹣），∴S= •P•QE= m× （10 m ﹣）=﹣ m2+3m； S= ②∵ •P•QE= m× （10 m ﹣）=﹣ m2+3m=﹣ （m 5 ﹣）2+ ， ∴当m=5 时，S 取最大值； 在抛物线对称轴l 上存在点F，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8 的对称轴为x= ， D 的坐标为（3，8），Q（3，4）， 当∠FDQ=90°时，F1（ ，8）， 当∠FQD=90°时，则F2（ ，4）， 当∠DFQ=90°时，设F（ ，）， 则FD2+FQ2=DQ2，即 +（8﹣）2+ +（﹣4）2=16，解得：=6± ， F ∴ 3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为 F1（ ，8），F2（ ，4），F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ）． 【精准解析】（1）将、两点坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；②直接写出满 足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写． 《小结》 在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶 点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补、相似（下学期学）等性 质来转化已知条件是常用的处理手段 典例4 如图，抛物线y=x2+bx 3 ﹣经过点（2，﹣3），与x 轴负半轴交于点B，与y 轴交于 点，且=3B． （1）求抛物线的解析式； （2）点D 在y 轴上，且∠BD= B ∠，求点D 的坐标； （3）点M 在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，B，M，为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】解：（1）由y=x2+bx 3 ﹣得（0．﹣3），∴=3， =3B ∵ ，∴B=1，∴B（﹣1，0）， 把（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=x2+bx 3 ﹣得 ，∴ ， ∴抛物线的解析式为y=x2 2x 3 ﹣ ﹣； （2）设连接，作BF⊥交的延长线于F， ∵（2，﹣3），（0，﹣3），∴F x ∥轴，∴F（﹣1，﹣3）， BF=3 ∴ ，F=3，∴∠B=45°， 设D（0，m），则D=|m|， BD= B ∵∠ ∠，∴∠BD=45°，∴D=B=1，∴|m|=1，∴m=±1， D ∴ 1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（，2 2 3 ﹣﹣），（1，）， ①以B 为边，则B M ∥ ，B=M，如图2，过M 作ME⊥对称轴y 于E，F x ⊥轴于F，则 △BF ME △ ， E=F=3 ∴ ，ME=BF=3，∴| 1|=3 ﹣ ，∴=4 或= 2 ﹣，∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以B 为对角线，B=M，B M ∥ ，如图3， 则在x 轴上，M 与重合，∴M（0，﹣3）， 综上所述，存在以点，B，M，为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或 （0，﹣3）． 【精准解析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接，作BF⊥交的延长线于F，根据 已知条件得到F x ∥轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则D=|m|即可得到结论； （3）设M（，2 2 3 ﹣﹣），（1，），①以B 为边，则B M ∥ ，B=M，如图2，过M 作ME⊥ 对称轴y 于E，F x ⊥轴于F，于是得到△BF ME ≌△ ，证得E=F=3，ME=BF=3，得到M（4， 5）或（﹣2，11）