专题11.5 角度计算中的经典模型【八大题型】（解析版）

专题115 角度计算中的经典模型【八大题型】 【人版】 【题型1 双垂直模型】............................................................................................................................................. 1 【题型2 字模型】..................................................................................................................................................... 7 【题型3 8 字模型】................................................................................................................................................10 【题型4 飞镖模型】............................................................................................................................................... 16 【题型5 风筝模型】............................................................................................................................................... 23 【题型6 两内角角平分线模型】...........................................................................................................................29 【题型7 两外角角平分线模型】...........................................................................................................................35 【题型8 内外角角平分线模型】...........................................................................................................................39 【知识点1 双垂直模型】 【条件】∠B= D= E=90° ∠ ∠ 【结论】∠B= DE ∠ ，∠B= ED ∠ 【证明】∵∠B= D= E=90° ∠ ∠ ；∴∠B+ B=90° ∠ ；又∠ED+ B=90° ∠ ；∴∠B= DE ∠ 同理, B+ DE ∠ ∠ =90°，且∠ED+ DE ∠ =90°；∴∠B= ED ∠ ，得证 【题型1 双垂直模型】 【例1】（2022 春•建邺区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 上一点，且∠D＝ ∠B． （1）求证：D⊥B 证明：在Rt△B 中，∵∠B＝90°（已知） + ∴∠∠B＝90°（ 直角三角形两锐角互余 ） 又∵∠D＝∠B（已知） + ∴∠∠D＝90°（等量代换） ∴∠D＝90° （ 三角形内角和定理 ） 1 ∴D⊥B． （2）如图②，若∠B 的平分线分别交B，D 于点E，F，求证：∠E＝∠FE； （3）如图③，若E 为B 上一点，E 交D 于点F，B＝3E，B＝4D，S△B＝36． ①求S△EF﹣S△DF的值； ②四边形BDFE 的面积是 21 ． 【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义得到∠E＝∠BE，根据三角形的外角性质计算，证明结论； （3）①根据三角形的面积公式分别求出S△D、S△E，结合图形计算即可； ②连接BF，设S△DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x 代入计算得到 答． 【解答】（1）证明：在Rt△B 中，∵∠B＝90°（已知） + ∴∠∠B＝90°（直角三角形两锐角互余） 又∵∠D＝∠B（已知） + ∴∠∠D＝90°（等量代换） ∴∠D＝90° （三角形内角和定理），∴D⊥B． 故答为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵E 平分∠B， ∴∠E＝∠BE， ∵∠E＝∠BE+∠B，∠FE＝∠D+∠E， ∴∠E＝∠FE； （3）解：①∵B＝3E，B＝4D，S△B＝36， ∴S△D¿ 1 4 S△B＝9，S△E¿ 1 3S△B＝12， ∴S△EF﹣S△DF＝S△E﹣S△D＝12 9 ﹣＝3； ②连接BF， 设S△DF＝x，则S△FE＝3+x， ∵B＝4D， ∴S△BDF＝3x， ∵B＝3E， ∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6， 1 ∴x+3+2x+6+3x¿ 3 4 ×36， 解得，x＝3， ∴四边形BDFE 的面积＝3x+2x+6＝21， 故答为：21． 【变式1-1】（2022 春•润州区期末）已知△B 中，∠B＝90°，BD 是边上的高，E 平分∠B， 分别交B、BD 于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BE＝∠E，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝ ∠FD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠FD，等量代换即可得解． 【解答】证明：∵E 平分∠B， ∴∠BE＝∠E， ∵BD⊥，∠B＝90°， ∴∠BE+∠BEF＝∠E+∠FD＝90°， ∴∠BEF＝∠FD， ∵∠BFE＝∠FD（对顶角相等）， ∴∠BEF＝∠BFE 【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△B 是锐角三角形，高BD、E 相交于 点，找出∠B 和∠之间存在何种等量关系； （2）如图②，若△B 是钝角三角形，∠＞90°，高BD、E 所在的直线相交于点，把图② 补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？ 1 【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠B 与∠ED 的关系，根据四边形的内角和定理， 可得答； （2）根据对顶角的性质，可得∠B 与∠ED 的关系，根据四边形的内角和定理，可得答． 【解答】解：（1）由∠B 与∠ED 是对顶角，得 ∠B＝∠ED． 由高BD、E 相交于点，得 ∠D＝∠E＝90°． 由四边形内角和定理，得 + ∠∠E+∠ED+∠D＝360°， + ∠∠ED＝360°﹣∠E﹣∠D＝360° 90° 90° ﹣ ﹣ ＝180°， ∴∠B+∠＝180°； （2）如图，由∠B 与∠ED 是对顶角，得 ∠B＝∠ED． 由高BD、E 相交于点，得 ∠D＝∠E＝90°． 由四边形内角和定理，得 + ∠∠E+∠ED+∠D＝360°， + ∠∠DE＝360°﹣∠E﹣∠D＝360° 90° 90° ﹣ ﹣ ＝180°， ∴∠B+∠B＝180°． 【变式1-3】（2022 春•香洲区期末）如图1，线段B⊥B 于点B，D⊥B 于点，点E 在线段B 上，且E⊥DE． （1）求证：∠EB＝∠ED； （2）如图2，F、DF 分别平分∠BE 和∠DE，E 平分∠DE 交D 于点，E 的反向延长线交 F 于点G． ①求证EG⊥F； ②求∠F 的度数．【提示：三角形内角和等于180 度】 1 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明； （2）①想办法证明∠EG+∠EG＝90°即可解决问题； ②利用∠DF＝∠DFM+∠FM¿ 1 2∠DE+1 2 ∠EB¿ 1 2（∠DE+∠EB）即可解决问题； 【解答】解：（1）∵B⊥B， ∴∠EB+∠EB＝90°， ∵E⊥ED， ∴∠ED+∠EB＝90°， ∴∠EB＝∠ED． （2）①∵F 平分∠BE， ∴∠EG¿ 1 2∠EB， ∵E 平分∠ED， ∴∠ED¿ 1 2∠ED， ∵∠EB＝∠ED， ∴∠ED＝∠EG， ∴∠ED+∠EG＝90°， ∴∠EG+∠EG＝90°， ∴∠EG＝90°，∴EG⊥F． ②作FM∥D． ∵B⊥B，D⊥B， ∴B∥D，∴FM∥B， ∴∠DFM＝∠DF¿ 1 2∠DE，∠FM＝∠FB¿ 1 2∠EB， ∵∠DE+∠ED＝90°， ∴∠DE+∠EB＝90°， ∴∠DF＝∠DFM+∠FM¿ 1 2∠DE+1 2 ∠EB¿ 1 2（∠DE+∠EB）＝45°． 1 【知识点2 字模型】 【条件】△DE 与△B 【结论】∠ED+ DE= B+ ∠ ∠ 【证明】根据三角形内角和可得，∠ED+ DE=180°- ∠ ∠，∠B+=180°-∠， ED+ DE= B+ ∠ ∠ ∠ ，得证 【题型2 字模型】 【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝ 120°，那么∠3 2 ﹣∠的度数为 60° ． 【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； 【解答】解：如图 1+ 4 ∵∠ ∠＝180°，∠1＝120°， 4 ∴∠＝60°， 3 ∵∠＝∠2+ 4 ∠， 3 2 ∴∠ ∠ ﹣ ＝∠4＝60°， 故答为60°． 1 【变式2-1】（2022 春•道里区期末）如图，△B 中∠＝115°，若图中沿虚线剪去∠，则 ∠1+ 2 ∠等于（ ） ．180° B．230° ．290° D．295° 【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠＝65°，再根据四边形的内角和可求出 ∠1+ 2 ∠． 【解答】解：∵∠＝115°， ∴∠B+∠＝65°， 1+ 2+ ∵∠ ∠ ∠B+∠＝360°， 1+ 2 ∴∠ ∠＝360° 65° ﹣ ＝295°． 故选：D． 【变式2-2】（2022 武功县期末）如图，点D、E 分别在△B 的边B、上，连接D、DE，在 D 上取一点F，连接EF，若∠1+ 2 ∠＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥B． 【分析】先利用平行线的判定定理判定B∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠DE， 利用等量代换得到∠B＝∠DE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可． 【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+ 2 ∠＝180°， 2 ∴∠＝∠DFE． ∴B∥EF． 3 ∴∠＝∠DE． 3 ∵∠＝∠B， ∴∠B＝∠DE． ∴DE∥B． 故答为：240°． 【变式2-3】（2022 春•新野县期末）旧知新意： 1 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一 个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DB 与∠EB 分别为△B 的两个外角，试探究∠与∠DB+∠EB 之间存在怎样 的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△B 纸片中剪去△DE，得到四边形BDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠＝ 50° ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△B 中，BP、P 分别平分外角 ∠DB、∠EB，∠P 与∠有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答 ∠ P ＝ 90° −1 2 ∠ ． 拓展提升： （4）如图4，在四边形BD 中，BP、P 分别平分外角∠EB、∠FB，∠P 与∠、∠D 有何数 量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．） 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 ∠DB+∠EB，再利用三角形内角和定理整理即可得解； （2）根据（1）的结论整理计算即可得解； （3）表示出∠DB+∠EB，再根据角平分线的定义求出∠PB+∠PB，然后利用三角形内角 和定理列式整理即可得解； （4）延长B、D 相交于点Q，先用∠Q 表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解． 【解答】解：（1）∠DB+∠EB ＝180°﹣∠B+180°﹣∠B ＝360°﹣（∠B+∠B） ＝360°﹣（180°﹣∠） ＝180°+∠； （2）∵∠1+ 2 ∠＝∠180°+∠， 1 130°+ 2 ∴ ∠＝180°+∠， 2 ∴∠ ∠ ﹣ ＝50°； （3）∠DB+∠EB＝180°+∠， ∵BP、P 分别平分外角∠DB、∠EB， ∴∠PB+∠PB¿ 1 2（∠DB+∠EB）¿ 1 2（180°+∠）， 在△PB 中，∠P＝180°−1 2 （180°+∠）＝90°−1 2 ∠； 即∠P＝90°−1 2 ∠； 故答为：50°，∠P＝90°−1 2 ∠； （4）延长B、D 于Q， 则∠P＝90°−1 2 ∠Q， ∴∠Q＝180° 2 ﹣∠P， ∴∠BD+∠D＝180°+∠Q， ＝180°+180° 2 ﹣∠P， ＝360° 2 ﹣∠P． 【知识点3 8 字模型】 【条件】D、B 相交于点 【结论】∠+∠B= + ∠∠D(上面两角之和等于下面两角之和) 1 【证明】在△B 中，由内角和定理：∠+∠B+∠B=180°，在△D 中，∠+∠D+∠D=180°， + ∴ ∠∠ B+∠B=180°= + ∠∠D+∠D，由对顶角相等：∠B=∠D + ∴ ∠∠ B= + ∠∠D，得证 【题型3 8 字模型】 【例3】（2022 春•叙州区期末）如图，BP 平分∠B 交D 于点F，DP 平分∠D 交B 于点E， 若∠＝45°，∠P＝40°，则∠的度数为（ ） ．30° B．35° ．40° D．45° 【分析】根据三角形内角和定理，得∠+∠DG＝∠+∠GB，∠+∠DE＝∠P+∠PBE．根据 角平分线的定义，得到∠GB＝2∠PBE，∠DG＝2∠DE，进而推断出∠+∠＝2∠P，从而 解决此题． 【解答】解：∵∠+∠DG+∠GD＝180°，∠B+ + ∠∠BG＝180°， + ∴∠∠DG+∠GD＝∠B+ + ∠∠BG． 又∵∠GD＝∠BG， + ∴∠∠DG＝∠+∠GB． ∴∠ ∠ ﹣ ＝∠GB﹣∠DG． 同理可得，∠+∠DE＝∠P+∠PBE． ∴∠ ∠ ﹣ P＝∠PBE﹣∠DE． ∵BP 平分∠B 交D 于点F，DP 平分∠D 交B 于点E， ∴∠GB＝2∠PBE，∠DG＝2∠DE． ∴∠ ∠ ﹣ ＝2（∠﹣∠P）． + ∴∠∠＝2∠P． 又∵∠＝45°，∠P＝40°， ∴∠＝35°． 故选：B． 【变式3-1】（2022 春•靖江市校级月考）已知，如图，线段D、B 相交于点，连结B、D， ∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P．试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关 系，请说明理由． 1 【分析】根据“8 字形”可得∠B+∠B＝∠D+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定 义可得∠B＝2 1 ∠，∠D＝2 2 ∠，整理可得结论． 【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下： 如图， 在△B 和△D 中， ∵∠B＝∠D， ∴∠B+∠B＝∠D+∠D， 在△EP 和△ED 中， ∵∠EP＝∠ED， 1+ ∴∠ ∠P＝∠2+∠D， ∵P、P 分别是∠DB 和∠BD 的角平分线， ∴∠B＝2 1 ∠，∠D＝2 2 ∠， 2 ∴∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D， 整理得，2∠P＝∠B+∠D． 【变式3-2】（2022 春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老 师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°． 小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以 过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整 （1）已知：如图1，三角形B，求证：∠B+∠B+∠＝180°，证明：过点作EF∥B． （2）如图2，线段B、D 相交于点，连接D、B，我们把形如图2 这样的图形称之为“8 字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系： ∠ +∠ D ＝∠ +∠ B ； （3）在图2 的条件下，∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P，并且与D、B 分别相 交于M、，得到图3，请判断∠P 与∠D、∠B 之间存在的数量关系，并说明理由． 1 【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义 解决问题； （2）利用（1）的结论即可求解； （3）利用（2）的结论即可求解． 【解答】（1）证明：过作EF∥B， ∴∠EB＝∠B，∠F＝∠， 又∠EB+∠B+∠F＝180°， ∴∠B+ + ∠∠B＝180°； （2）解：根据（1）得∠+∠D+∠D＝∠+∠B+∠B＝180°， 又∠D＝∠B， + ∴∠∠D＝∠+∠B； 故答为：∠+∠D＝∠+∠B； （3）解：2∠P＝∠D+∠B． 根据（2）∠D+∠DP＝∠P+∠DP①，∠PB+∠P＝∠B+∠PB②， ∵∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P， ∴∠DP＝∠PB，∠DP＝∠PB， ∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B， 2 ∴∠P＝∠D+∠B． 【变式3-3】（2022 春•石家庄期中）如图1 至图2，在△B 中，∠B＝α°，点D 在边所在直线 上，作DE 垂直于直线B，垂足为点E；BM 为△B 的角平分线，∠DE 的平分线交直线B 于点G． 特例感悟： （1）如图1，延长B 交DG 于点F，若BM∥DG，∠F＝30°． 解决问题： ①∠B＝ 60 °； ②求证：⊥B； 深入探究； （2）如图2，当α＜90，DG 与BM 反向延长线交于点，用含α 的代数式表示∠BD＝ 1 45°−1 2 α ； 拓展延伸： （3）当点D 在直线上移动时，若射线DG 与射线BM 相交，设交点为，直接写出∠BD 与α 的关系式． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答；②根据平行线的性质得 ∠DG＝∠BM＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）由八字模型可得，△BG 和△DEG 中，∠BD＝∠EDG+90°﹣∠BG，再整理可得答； （3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可． 【解答】解：（1）①∵BM∥DG， ∴∠BM＝∠F＝30°， ∵BM 为△B 的角平分线， ∴∠B＝2∠BM＝60°， 故答为：60°； ②证明：由①得，∠BM＝∠BM＝30°， ∵BM∥DG， ∴∠DG＝∠BM＝30°， ∵DE⊥B， ∴∠EDG＝60°， ∵DG 平分∠DE， 1 ∴∠DF＝60°， ∴∠＝180° 30° 60° ﹣ ﹣ ＝90°， ∴⊥B； （2）由八字模型可得，△BG 和△DEG 中， ∠BD＝∠EDG+90°﹣∠BG¿ 1