专题13.1 轴对称与轴对称图形【八大题型】（解析版）

专题131 轴对称与轴对称图形【八大题型】 【人版】 【题型1 轴对称的相关概念】.................................................................................................................................1 【题型2 轴对称图形的相关概念】.........................................................................................................................3 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】.............................................................................................................5 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】................................................................................................................. 7 【题型5 轴对称的操作应用】.................................................................................................................................8 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】....................................................................................................10 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】................................................................................................................ 11 【题型8 轴对称的实际应用】...............................................................................................................................13 【知识点1 轴对称与轴对称图形】 （1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对 称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的 两部分沿着对称 轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【题型1 轴对称的相关概念】 【例1】（2022•盐都区月考）如图，在格中与△B 成轴对称的格点三角形一共有 4 个． 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答． 【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故在格中与△B 成轴对称的格点三角形一共有4 个， 故答为：4． 1 【变式1-1】（2022 秋•丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ② ．（填写序号） 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：第②个图形为轴对称图形． 故答为：②． 【变式1-2】（2022 秋•香洲区期中）如图，在2×2 的方格纸中有一个以格点为顶点的△B， 则与△B 成轴对称且以格点为顶点三角形共有 5 个． 【分析】解答此题首先找到对称轴，E、G、D，BF 等都可以是它的对称轴，然后依据 对称找出相应的三角形即可． 【解答】解：与△B 成轴对称且以格点为顶点三角形有△BG、△DF、△EF、△DB，△BG 共 5 个， 故答为：5． 【变式1-3】（2022 秋•江都区校级月考）如图，在3×3 的正方形格纸中，格线的交点称为 格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△B 是一个格点三角形，在这个正 方形格纸中，与△B 成轴对称的格点三角形最多有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【分析】根据格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 1 【解答】解：如图，最多能画出6 个格点三角形与△B 成轴对称． 所以与△B 成轴对称的格点三角形最多有6 个． 故选：D． 【题型2 轴对称图形的相关概念】 【例2】（2022 秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形， 共有 4 种补法． 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 故共有4 种补法． 故答为：4． 【变式2-1】（2022 秋•来宾期中）下面是一位美术爱好者利用格图设计的几个英文字母的 图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ） 1 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：B、是轴对称图形，共2 个． 故选：B． 【变式2-2】（2022 春•贵阳期末）如图，是4×4 正方形格，其中已有3 个小正方形涂成了 黑色，现在从剩余的13 个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正 方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 4 个． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：如图所示，有4 个位置使之成为轴对称图形． 故答为：4． 【变式2-3】（2022•南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1 个小三角形 涂黑，使4 个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有（ ） ．2 种 B．3 种 ．4 种 D．6 种 【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可． 【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4 种， 故选：． 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】 【例3】（2022 秋•仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6 条的图形是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：、有5 条对称轴，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； D、有6 条对称轴，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（2022 秋•平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图①）的图玲珑剔透、千 变万化，窗框一部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ） ．1 条 B．2 条 ．3 条 D．4 条 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答． 【解答】解：如图所示： 其对称轴有2 条． 故选：B． 【变式3-2】（2022 秋•嘉陵区期末）如图，它的对称轴有 2 条． 【分析】根据轴对称图形的概念作出对称轴即可得解． 【解答】解：如图，共有2 条对称轴． 故答为：2． 1 【变式3-3】（2022•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ） ．1 条 B．2 条 ．4 条 D．无数条 【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可． 【解答】解：其对称轴共有4 条， 故选：． 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】 【例4】（2022 春•二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数 字显示为如下图，请问他的学号应该是（ ） ．70625 B．70952 ．70925 D．52607 【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即 可求解． 【解答】解：做轴对称图形得： |70625， 【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的 影像是下列各图中的（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】根据轴对称的性质判断即可． 【解答】解：镜子里的影像与原来的图形成轴对称， 故选：． 故选：． 【变式4-2】（2022 春•李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到 该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12 ： 51 ． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺 序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51 成轴对称， 所以此时实际时刻为12：51． 故答为：12：51． 【变式4-3】（2022 春•成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟 是4 点过7 分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7 点过5 分（如图2），则 小明在外边待了 48 分钟． 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物 恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据对面镜子里的挂钟是7 点过5 分， ∴根据镜面对称得出：分针指在5 上与11 对称，时针指在7 上与5 对称， ∴故实际时间是4：55， ∴小明在外边待了：55 7 ﹣＝48 分钟． 故答为：48． 1 【题型5 轴对称的操作应用】 【例5】2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下 的图形展开后可得到（ ） ．三角形 B．梯形 ．正方形 D．五边形 【分析】动手操作可得结论． 【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后 可得到：正方形． 故选：． 【变式5-1】（2022 春•锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母 “B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据轴对称的知识可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 展开后的图形呈轴对称， 故选：． 【变式5-2】（2022•诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续 对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展 开后得到的图形是（ ） ． B． ． 1 D． 【分析】动手操作可得结论． 【解答】解：重新展开后得到的图形是： 故选：． 【变式5-3】（2022•丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图 形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ） ． B． ． D． 【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来． 【解答】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是： 故选：． 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】 【例6】下列图中是由字母和构成的（把、视为轴对称图形）．… （1）仔细观察其中的变化规律．回答下列问题； ①第100 个字母是什么？ ②图形中的字母在前2014 个字母中一共出现多少次？ （2）从左往右在图中至少取多少个（多于1 个）字母能构成一次轴对称？字母个数为 多少个（多于 1 个）字母能构成轴对称？ 【分析】（1）①仔细观察可得四个字母一个循环，从而可得第100 个字母；②每个循 环有2 个，求出循环数，即可得出出现的次数； （2）根据轴对称的性质可得至少4 个字母可构成一次轴对称，再由循环数为4，可得字 母个数为4（≥1）时，能构成轴对称． 【解答】解：（1）通过观察可得：4 个字母一个循环， 则第100 个字母是25 个循环刚结束， 即第100 个字母是； 1 ②2014 4 =¿503…2， 则出现503×2+1＝1007； （2）仔细观察可得：至少取4 个字母能构成一次轴对称， 字母个数为4（≥1）时，能构成轴对称． 【变式6-1】（2022 秋•连城县期末）仔细观察下列图，并按规律在横线上画出合适的图． 【分析】观察图形规律，可得空白处应该为字母E 和它的轴对称图形，作出图形即可． 【解答】解：如图所示： ． 【变式6-2】（2022 秋•海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律， 然后在横线上的空白处填上恰当的图形 正反写的 4 和 6 ． 【分析】根据图中所给的数字，从对称性来分析：分别是正反写的4 和正反写的6． 【解答】解：图形为正反写的4 和正反写的6． 【变式6-3】（2022•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车 牌号码，例 、 等，这些牌照中的5 个数字都是关于 中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字 对称”牌照，如果让你负责制作以8 或9 开头且有5 个数字的“数字对称”牌照，那么 最多可制作（ ） ．2000 个 B．1000 个 ．200 个 D．100 个 【分析】分情况讨论：若以8 开头，第五位也是8，只需考虑中间3 位，又第二位和第 四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，得出有多少种情况． 同样求出以9 开头的数量． 【解答】解：根据题意：若以8 开头，则第五位也是8，只需考虑中间3 位， 又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位， 共有10×10＝100 种情况． 同样，以9 开头的也是有100 种情况， 所以共有200 个． 故选：． 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】 【例7】（2022 秋•沧州期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图成一 1 个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平 移和旋转瓷砖） 【分析】根据轴对称图形的概念，平移和旋转即可作出图形． 【解答】解：拼法如下： 【变式7-1】（2022 春•衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象 的轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念、结合实际解答． 【解答】解： 1 【变式7-2】（2022 春•炎陵县期末）如图，由4 个大小相等的正方形组成的L 形图， （1）请你改变1 个正方形的位置，使它变成轴对称图形； （2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重 合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出． 【解答】解：答不唯一，（1） （2） 【变式7-3】（2022 春•盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答． 【解答】解：如图所示（答不唯一）： 【题型8 轴对称的实际应用】 【例8】（2022•浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在 如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ） 1 ．① B．② ．⑤ D．⑥ 【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可． 【解答】解：如图，求最后落入①球洞； 故选：． 【变式8-1】（2022•汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5 的台球桌面示意图， 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出 （球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ） ．1 号袋 B．2 号袋 ．3 号袋 D．4 号袋 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是1 号袋， 故选：． 【变式8-2】（20202 春•兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图， 一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个 1 球囊．图1 中回弹次数为1 次，图2 中回弹次数为2 次，图3 中回弹次数为3 次，图4 中回弹次数为5 次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的 次数为（ ）次． ．6 B．7 ．8 D．9 【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【解答】解：根据图形可得总共反射了7 次． 故选：B． 【变式8-3】（2022 秋•常州期中）如图，弹性小球从点P 出发，沿所示方向运动，每当小 球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1 次碰到矩形的边时的点 为Q，第2 次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022 次碰到矩形的边时的点为图中的（ ） ．点P B．点Q ．点M D．点 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6 次反弹为一个循环组依次循环， 用2022 除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可． 【解答】解：如图，经过6 次反弹后动点回到出发点P， 1 2022÷6 ∵ ＝337， ∴当点P 第2022 次碰到矩形的边时为第337 个循环组的第6 次反弹， ∴第2022 次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：． 1