专题27.6 图形的位似变换【八大题型】（原卷版）

专题276 图形的位似变换【八大题型】 【人版】 【题型1 位似图形的相关概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 判断位似中心】.........................................................................................................................................2 【题型3 求位似图形的相似比】.............................................................................................................................3 【题型4 求位似图形的长度】.................................................................................................................................4 【题型5 求位似图形的面积】.................................................................................................................................5 【题型6 求位似图形的周长】.................................................................................................................................6 【题型7 求位似图形的坐标】.................................................................................................................................8 【题型8 格点中作位似图形】.................................................................................................................................9 【知识点1 位似图形】 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 , 所在的直线都经过同一 点 ，且有 = ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描 出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同 一个数 ， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【题型1 位似图形的相关概念辨析】 【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比 的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A ' B 'C '中， AB A ' B ' = AC A 'C ' ，∠A=∠A '，那么△ABC ∼△A ' B 'C '；④已知△ABC及位似中心，能 够作一个且只能作一个三角形与△ABC位似，使位似比为2 其中真命题的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（ ） ．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形 ．位似图形的位似比等于相似比 1 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部 【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似； ②两个等腰三角形一定相似； ③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9； ④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4 个表述中： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这 两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【题型2 判断位似中心】 【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形， 且点D 与点G 是一对对应点，点D (2，2)，点G (0，1)，则它们位似中心的坐标是 （ ） ．(−2，0) B．(−1，0) ．(0，0) D．(−3，0) 【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们 的位似中心是（ ） 1 ．点P B．点 ．点M D．点 【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形， 它们的位似中心是（ ） ．点E B．点F ．点G D．点D 【题型3 求位似图形的相似比】 【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1 的正方形格中，△B 与△DEF 是位似图形， 则△B 与△DEF 的相似比为（ ）． ．1 2 B．1 3 ． ❑ √2 2 D．2 【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为 点，△ABC的面积与△≝¿面积之比为16：9，则CO:OF的值为（ ） ．3：4 B．4：7 ．4：3 D．7：4 【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则 1 △AOB与△COD的相似比为______． 【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、 C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ' B' C '三个顶点分别为A '(1,2)， B'(2, 2 3 )，C( 2 3 ,−1 3 )，则△A ' B' C '与△ABC的位似比是________． 【题型4 求位似图形的长度】 【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△≝¿是位似图形，且位似中心为， OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE 的长为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△B 与△′B′′是以坐标原点为位似中心 的位似图形，且OA OA ' =1 2，若点（﹣1，0），点（1 2，1），则′′=_____． 1 【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6,3)、B(6,0) 两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为1 3，把线段AB缩小后得到线段A ' B'，则 A ' B'的长度等于________． 【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若 矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F 在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点、F 之 间的距离为_________． 【题型5 求位似图形的面积】 【例5】（2022·河北·石家庄外国语育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位 似图形，位似中心为点A，若AD: AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（ ） ．1:2 B．1:3 ．1:9 D．1:16 【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A ' B' C '位似，位 似中心为点，OA '=2 AA '，△ABC的面积为9，则△A ' B' C '面积为（ ） 1 ．4 B．6 ．9 2 D．9 4 【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B 为位似 中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为2 3，连接G、 DG．则△ADG的面积为________． 【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1 A2与正方形A2B2C2 A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2， A3在x轴上，延长A3C2交射线O B1与点B3，以A3 B3为边作正方形A3 B3C3 A4；延长 A4C3交射线O B1与点B4，以A4 B4为边作正方形A4 B4C4 A5；…按照这样的规律继续下 去，若O A1=1，则正方形A2021B2021C2022 A2022的面积为________． 【题型6 求位似图形的周长】 【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△B 与△DEF 是位似图形，是位似中心，若＝ 2D，则△B 与△DEF 的周长之比是（ ） 1 ．2：1 B．3：1 ．4：1 D．6：1 【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形BD 与四边形EFG 位似，位似中 心是，若OA ∶OE＝1∶3，且四边形BD 的周长为4，则四边形EFG 的周长为（ ） ．12 B．16 ．20 D．24 【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△B 与△DEF 位似，位似中心为点，： D＝1：3，且△B 的周长为2，则△DEF 的周长为（ ） ．4 B．6 ．8 D．18 【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△≝¿位似，点是位似中心． 若OA : AD=2:3，△≝¿与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ） ．6cm B．8cm ．10cm D．12cm 1 【题型7 求位似图形的坐标】 【例7】（2022·河北·泊头市师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已 知点（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点为位似中心把△B 缩小得到△1B1，△1B1与△B 的位 似比为1 2，则点的对应点1的坐标为_______． 【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将 △B 缩小为原来的1 2，得到△D，若点的坐标为（4，2），则的中点E 的坐标是 _____． 【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上 方，点C的坐标是(−1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 △A ' B 'C，并把△ABC的边长放大到原来的2 倍．设点B的对应点B '的横坐标是m，则点 B的横坐标是（ ） ．−1 2 (m+3) B．−1 2 (m+1) ．−1 2 (m−1) D．−1 2 m 【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正 方形B 与正方形DEF 是位似图形，点为位似中心，位似比为2：3，点B、E 在第一象限， 1 若点的坐标为（4，0），则点E 的坐标是_____． 【题型8 格点中作位似图形】 【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△B 的三个顶点分别为（﹣ 2，2），B（﹣6，4），（﹣4，8）． (1)画出△B 关于x 轴对称的△1B11； (2)以坐标原点为位似中心，将△B 缩小为原来的1 2，得到△A ' B' C '，使△B 与△A ' B' C ' 位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A ' B' C '； (3)设△B 与△△A ' B' C '的周长分别为l1、l2，则l1：l2＝． 【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形格图中，每个小正方形边长均 为1，点和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． 1 (1)以为位似中心，在格图中作△A ' B 'C '，使△A ' B 'C '和△ABC位似，且位似比为1： 3． (2)证明△A ' B 'C '和△ABC相似． 【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1 的小正 方形组成．▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2 中画出相应的格点图 形（顶点均在格点上）． (1)画出▱ABCD绕点旋转得到的▱A B 'C ' D '，使得点B 落在边B 上． (2)请以为位似中心，作与▱ABCD的面积比为1 4 的位似图形▱AEFG． 【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，格中的每个小正方形的边长都是1，每 个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． (1)在图②中，请在格中画一个与图①△B 相似的△DEF； (2)在图③中，以为位似中心，画一个△1B11，使它与△B 的位似比为2：1． 1