题型3 方程应用（复习讲义）(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型三方程应用（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 一次方（组）程应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题； （2）设出未知数； （3）列出含未知数的等式——方程； （4）解方程（组）； （5）检验结果； （6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销 售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期 数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 1．（2023·重庆·统考中考真题）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节 再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试 种．甲区的农田比乙区的农田多10000 亩，甲区农田的 和乙区全部农田均适宜试种， 且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩？ (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批 性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次 是甲区的12 倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次 无人机比乙区的平均多喷洒 亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？ 【答】(1)甲区有农田50000 亩，乙区有农田40000 亩；(2)100 亩 【分析】（1）设甲区有农田 亩，则乙区有农田 亩，根据甲区农田的 和乙 区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得； （2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒 亩，派往甲区的无人机架次为 架次，则派往乙 区每架次无人机平均喷洒 亩，派往乙区的无人机架次为 架次，根据两区喷洒 的面积相同建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设甲区有农田 亩，则乙区有农田 亩， 由题意得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， 则 ， 答：甲区有农田50000 亩，乙区有农田40000 亩． （2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒 亩，派往甲区的无人机架次为 架次，则派 往乙区每架次无人机平均喷洒 亩，派往乙区的无人机架次为 架次， 由题意得： ，即 ， 解得 ， 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100 亩． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4 小时， 某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20 千米／小 时，到达奶奶家时共用了5 小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 【答】240 千米 【分析】平常速度行驶了 的路程用时为2 小时，后续减速后用了3 小时，用遇到暴雨前 行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是 千米，则平时每小时行驶 千米，减速后每 小时行驶 千米，由题可知：遇到暴雨前用时2 小时，遇到暴雨后用时5-2=3 小时， 则可得： ，解得： ， 答：小强家到他奶奶家的距离是240 千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量 关系，列出方程正确求解是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学 活动，原计划租用45 座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车， 则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表 所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45 座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答】(1)参加此次研学活动的师生有600 人，原计划租用45 座客车13 辆；(2)租14 辆45 座客车较合算 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x 人，原计划租用45 座客车y 辆，根据题意 列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x 人，原计划租用45 座客车y 辆 依题意得 解得： ， 答：参加此次研学活动的师生有600 人，原计划租用45 座客车13 辆； （2）∵要使每位师生都有座位， ∴租45 座客车14 辆，则租60 座客车10 辆， ， ， ∵ ∴租14 辆45 座客车较合算． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 4（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎． 某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面 的总售价为31 元，4 份“堂食”小面和1 份“生食”小面的总售价为33 元． （1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在4 月共卖出“堂食”小面4500 份，“生食”小面2500 份，为回馈广大 食客，该面馆从5 月1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格 降低 ．统计5 月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4 月相同，“生食” 小面的销量在4 月的基础上增加 ，这两种小面的总销售额在4 月的基础上增加 ．求的值． 【答】（1）每份“堂食”小面价格是7 元，“生食”小面的价格是5 元．（2）的值为8． 【分析】 （1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y 元，根据题意列出二元一次 方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y 元，根据题意列方程组 得， ， 解得， ， 答：每份“堂食”小面价格是7 元，“生食”小面的价格是5 元． （2）根据题意得， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 解得， （舍去）， ， 答：的值为8． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量 关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程． 5“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小 组对，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年，B 两个品种各种植了10 亩．收获后， B 两个品种的售价均为24 元/kg，且B 的平均亩产量比的平均亩产量高100kg，，B 两 个品种全部售出后总收入为21600 元． （1）请求出，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？ （2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在，B 种植亩数不变的情况下，预计， B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%和2%．由于B 品种深受市场的欢迎， 预计每千克价格将在去年的基础上上涨%，而品种的售价不变．，B 两个品种全部售出后 总收入将在去年的基础上增加20 9 %．求的值． 【分析】 （1）设、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到 结论； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【解析】 （1）设、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克； 根据题意得，{ y−x=100 10×2.4( x+ y)=21600， 解得：{ x=400 y=500， 答：、B 两个品种去年平均亩产量分别是400 千克和500 千克； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）24×400×10（1+%）+24（1+%）×500×10（1+2%）＝21600（1+20 9 %）， 解得：＝10， 答：的值为10． 考点02 不等式的应用 3、列不等式（组）解决实际问题 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： ①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答． 考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及 的题型常与方设计型问题相联系，如最大利润、最优方等．列不等式时，要抓住关键词， 如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接． 6．（2023·山东·统考中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买， B 两种型号的充电桩．已知型充电桩比B 型充电桩的单价少 万元，且用 万元购买型 充电桩与用 万元购买B 型充电桩的数量相等． (1)，B 两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买 个，B 型充电桩，购买总费用不超过 万元，且B 型充电桩的 购买数量不少于型充电桩购买数量的 ．问：共有哪几种购买方？哪种方所需购买总费用 最少？ 【答】(1)型充电桩的单价为 万元，B 型充电桩的单价为 万元 (2)共有三种方：方一：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩 个；方二：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩 个；方三：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩个；方三总费 用最少． 【分析】（1）根据“用 万元购买型充电桩与用 万元购买B 型充电桩的数量相等”列 分式方程求解； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）根据“购买总费用不超过 万元，且B 型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数 量的 ”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B 型充电桩的单价为 万元，则型充电桩的单价为 万元，由 题意可得： , 解得 ， 经检验： 是原分式方程的解， ， 答：型充电桩的单价为 万元，B 型充电桩的单价为 万元； （2）解：设购买型充电桩 个，则购买B 型充电桩 个，由题意可得： ，解得 ， ∵ 须为非负整数， ∴ 可取 ， ， ， ∴共有三种方： 方一：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩 个，购买费用为 （万 元）； 方二：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩 个，购买费用为 （万 元）； 方三：购买型充电桩 个，购买B 型充电桩个，购买费用为 （万 元）， ∵ ∴方三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等 量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 7．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 人的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 种客车若干辆，则有 人没有座位；若租用可坐乘客 人的 种客车，则可少租辆，且 恰好坐满． (1)求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用 、 两种客车共 辆，要求 种客车不超过辆，且每人都有座位， 则有哪几种租车方？ (3)在（2）的条件下，若 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元，应该怎样 租车才最合算？ 【答】(1)原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人 (2)共有种租车方，方一：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆；方二：租用 种客 车 辆，则租用 种客车辆；方三：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆， (3)租用 种客车 辆，则租用 种客车辆才最合算 【分析】（1）设原计划租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意列出一元一次不等式组， 解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方的费用，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租用 种客车 辆，根据题意得， ， 解得： 所以 （人） 答：原计划租用 种客车 辆，这次研学去了 人； （2）解：设租用 种客车 辆，则租用 种客车 辆，根据题意，得 解得： ， ∵ 为正整数，则 ， ∴共有种租车方， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 方一：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆， 方二：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆， 方三：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆， （3）∵ 种客车租金为每辆 元， 种客车租金每辆 元， ∴ 种客车越少，费用越低， 方一：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆，费用为 元， 方二：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆，费用为 元， 方三：租用 种客车 辆，则租用 种客车辆，费用为 元， ∴租用 种客车 辆，则租用 种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元 一次方程与不等式组是解题的关键． 8（2022·四川泸州）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2 件， 种农产品3 件，共需690 元；购进 种农产品1 件， 种农产品4 件，共需720 元． (1) ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400 元购进 ， 两种农产品共40 件，且 种农产品的件数不超过B 种农产品件数的3 倍．如果该 经销商将购进的农产品按照 种每件160 元， 种每件200 元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？ 【答】(1)每件进价120 元，B 每件进价150 元； (2)农产品进20 件，B 农产品进20 件，最大利润是1800 元． 【分析】（1）根据“购进 种农产品2 件， 种农产品3 件，共需690 元；购进 种农产 品1 件， 种农产品4 件，共需720 元”可以列出相应的方程组，从而可以求得、B 两种农 产品每件的价格分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式， 从而可以解答本题． 【解析】 (1)设每件进价x 元，B 每件进价y 元， 由题意得 ，解得： ， 答：每件进价120 元，B 每件进价150 元； (2)设农产品进件，B 农产品（40-）件，由题意得， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， 设利润为y 元，则 ， y ∵随的增大而减小， ∴当=20 时，y 最大， 最大值y=2000-10×200=1800， 答：农产品进20 件，B 农产品进20 件，最大利润是1800 元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解 答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 9．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售 两种品牌的盐皮蛋，若购买9 箱 种盐皮蛋和6 箱 种盐皮蛋共需390 元；若购买5 箱 种盐皮蛋和8 箱 种盐皮蛋共需310 元． (1) 种盐皮蛋、 种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买 两种盐皮蛋共30 箱，且 种的数量至少比 种的数量多5 箱，又不超 过 种的2 倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答】(1) 种盐皮蛋每箱价格是30 元， 种盐皮蛋每箱价格是20 元；(2)购买 种盐皮蛋 18 箱， 种盐皮蛋12 箱才能使总费用最少，最少费用为780 元 【分析】（1）设 种盐皮蛋每箱价格是 元， 种盐皮蛋每箱价格是 元，根据题意建立 方程组，解方程组即可得； （2）设购买 种盐皮蛋 箱，则购买 种盐皮蛋 箱，根据题意建立不等式组，解 不等式组可得 的取值范围，再结合 为正整数可得 所有可能的取值，然后根据（1） 的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方即可． 【详解】（1）解：设 种盐皮蛋每箱价格是 元， 种盐皮蛋每箱价格是 元， 由题意得： ， 解得 ， 答： 种盐皮蛋每箱价格是30 元， 种盐皮蛋每箱价格是20 元． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：设购买 种盐皮蛋 箱，则购买 种盐皮蛋 箱， 购买 种的数量至少比 种的数量多5 箱，又不超过 种的2 倍， ， 解得 ， 又 为正整数， 所有可能的取值为18，19，20， ①当 ， 时，购买总费用为 （元）， ②当 ， 时，购买总费用为 （元）， ③当 ， 时，购买总费用为 （元）， 所以购买 种盐皮蛋18 箱， 种盐皮蛋12 箱才能使总费用最少，最少费用为780 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组 和不等式组是解题关键． 10（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知 2 瓶型消毒液和3 瓶B 型消毒液共需41 元，5 瓶型消毒液和2 瓶B 型消毒液共需53 元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共90 瓶，且B 型消毒液的数量不少于型消毒液数量的 ， 请设计出最省钱的购买方，并求出最少费用． 【答】（1） 种消毒液的单价是7 元， 型消毒液的单价是9 元；（2）购进 种消毒液 67 瓶，购进 种23 瓶，最少费用为676 元 【分析】 （1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种 消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方． 【详解】 解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由题意得： ，解之得， ， 答： 种消毒液的单价是7 元， 型消毒液的单价是9 元． （2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买