专题04 一元一次方程的概念和解法复习(解析版)

专题04 一元一次方程的概念和解法复习（解析版） 第一部分 典例剖析+变式训练 知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的整式方程) 1．（2022 春•淅川县期中）下列方程中：①x 2 ﹣¿ 2 x ；②x＝6；③2−y 4 = y−1 5 ；④x2 4 ﹣x＝3；⑤03x ＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 思路点拨：根据一元一次方程的定义判断即可． 解：①x 2 ﹣¿ 2 x ，分母中含有未知数，不是一元一次方程； ②x＝6，是一元一次方程； ③2−y 4 = y−1 5 ，是一元一次方程； ④x2 4 ﹣x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； ⑤03x＝1，是一元一次方程； ⑥x+2y＝0，方程中有2 个未知数，不是一元一次方程． 所以其中一元一次方程的个数是3． 故选：． 总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个 未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是x+b＝0（，b 为常数， 且≠0）． 变式训练 1．（2022 春•安溪县期中）若xm+1+1＝0 是关于x 的一元一次方程，则m 的值为 ． 思路点拨：根据一元一次方程的定义即可得出答． 解：∵xm+1+1＝0 是关于x 的一元一次方程， ∴m+1＝1， ∴m＝0． 故答为：0． 总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将x+b＝0（其 中x 是未知数，、b 是已知数，并且≠0）叫一元一次方程的标准形式． 2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣）x2+x 8 ﹣＝0 是关于x 的一元一次方程，那么的值是（ ） ．0 B．7 ．8 D．10 思路点拨：根据一元一次方程的定义得出7﹣＝0 且≠0，再求出即可． 解：∵方程（7﹣）x2+x 8 ﹣＝0 是关于x 的一元一次方程， 7 ∴﹣＝0 且≠0， 解得：＝7， 故选：B． 总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含 有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1 的整式方程，叫一元一次方程． 3．（2022 春•仁寿县期中）已知（m 2 ﹣）x|m| 1 ﹣＝5 是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ） ．﹣2 B．±2 ．2 D．0 思路点拨：根据一元一次方程的定义即可求出答．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这 样的整式方程叫一元一次方程． 解：∵（m 2 ﹣）x|m| 1 ﹣＝5 是关于x 的一元一次方程， ∴{ m−2≠0 ¿m∨−1=1， 解得m＝﹣2． 故选：． 总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义． 知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解， 也叫方程的 根) 典例2 检验下列各数是不是方程4x 3 ﹣＝2x+3 的解： （1）x＝3； （2）x＝﹣3． 思路点拨：（1）将x＝3 直接代入方程的左右边进而判断即可； （2）将x＝﹣3 直接代入方程的左右边进而判断即可． 解：（1）当x＝3 时，左边＝12 3 ﹣＝9，右边＝6+3＝9， ∵左边＝右边， ∴x＝3 是方程的解； （2）当x＝﹣3 时，左边＝﹣12 3 ﹣＝﹣15，右边＝﹣6+3＝﹣3， ∵左边≠右边， ∴x＝﹣3 不是方程的解． 总结升华：此题主要考查了方程的解，正确计算得出方程左右边的值是解题关键． 变式训练 1．（2021 秋•兴庆区校级期末）如果关于x 的方程﹣x¿ x 2 +¿3 的解是x＝4，则的值为（ ） ．﹣3 B．3 ．﹣5 D．5 思路点拨：把x＝4 代入方程﹣x¿ x 2 +¿3 得出﹣4¿ 4 2 +¿3，再求出方程的解即可． 解：把x＝4 代入方程﹣x¿ x 2 +¿3 得：﹣4¿ 4 2 +¿3， 解得：＝﹣3， 故选：． 总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关 键． 2．（2022 春•奉贤区校级期末）如果关于x 的方程（+1）x＝2+1 无解，那么的取值范围是（ ） ．＝−1 B．＞−1 ．≠−1 D．任意实数 思路点拨：根据方程无解，确定出的范围即可． 解：∵关于x 的方程（+1）x＝2+1 无解， +1 ∴ ＝0， 解得：＝﹣1． 故选：． 总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．（2022 春•丰泽区期末）若x＝3 是关于x 的方程x﹣b＝5 的解，则6 2 ﹣b 2 ﹣的值为（ ） ．2 B．8 ．﹣3 D．﹣8 思路点拨：将x＝3 代入x﹣b＝5 中得3﹣b＝5，将该整体代入6 2 ﹣b 2 ﹣中即可得出答． 解：将x＝3 代入x﹣b＝5 中得： 3﹣b＝5， 所以6 2 ﹣b 2 ﹣＝2（3﹣b）﹣2＝2×5 2 ﹣＝8． 故选：B． 总结升华：本题考查了运用整体法求解一元一次方程的问题，熟练掌握整体法是解题的关键． 4．（2021 秋•肥西县月考）已知x＝3 是关于x 的方程2x﹣＝4 的解，则的值是（ ） ．﹣2 B．0 ．2 D．3 思路点拨：直接利用方程的解的定义代入求解即可． 解：∵x＝3 是关于x 的方程2x﹣＝4 的解， 6 ∴﹣＝4， 解得＝2， 故选：． 总结升华：本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解 方程解的定义是关键． 5．（2021 秋•市南区期末）方程2x 1 ﹣＝3 与方程1−3a−x 3 =¿0 的解相同，则的值为（ ） ．3 B．2 ．1 D．5 3 思路点拨：先解方程2x 1 ﹣＝3，求得x 的值，因为这个解也是方程1−3a−x 3 =¿0 的解，根据方程的解 的定义，把x 代入求出的值． 解：解方程2x 1 ﹣＝3，得x＝2， 把x＝2 代入方程1−3a−x 3 =¿0，得 1−3a−2 3 =¿0， 解得，¿ 5 3． 故选：D． 总结升华：此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使 方程左右两边相等的未知数的值． 6．（2021 春•杨浦区校级期末）关于x 的一元一次方程x＝3，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（ ） ．该方程一定有实数解 B．该方程一定没有实数解 ．该方程不一定有实数解 D．上述说法都不对 思路点拨：根据一元一次方程的解法即可求出答． 解：由题意可知≠0， 此时方程的解为x¿ 1 a， 故选：． 总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解法步骤，本题属于基础题 型． 知识点3:等式的性质：1 等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2 等式两 边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式．） 典例3 用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的： （1）若5x＝4x+7，则5x﹣ ＝7； （2）若2＝15，则6＝ ； （3）若﹣3y＝18，则y＝ ； （4）若+8＝b+8，则＝ ； （5）若﹣5x＝5y，则x＝ ． 思路点拨：（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答； （2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立，可得答； （3）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立，可得答； （4）等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答； （5）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立，可得答． 解：（1）若5x＝4x+7，则5x 4 ﹣x＝7，依据是等是性质1，两边都减4x； （2）若2＝15，则6＝45，依据是等是性质2，两边都乘以3； （3）若﹣3y＝18，则y＝﹣6 依据是等是性质2，两边都除以﹣3； （4）若+8＝b+8，则＝b 依据是等是性质1，两边都减8； （5）若﹣5x＝5y，则x＝﹣y 依据是等是性质2，两边都除以﹣5； 故答为：4x；45；﹣6；b；﹣y． 总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等 式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立． 变式训练 1．（2021 秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（ ） ．如果＝2，那么+2＝4 B．如果＝﹣3，那么﹣2＝6 ．如果3＝5，那么¿ 3 5 D．如果＝﹣2，那么2＝4 思路点拨：根据等式的性质解决此题． 解：．根据等式的性质，如果＝2，那么+2＝4，那么正确，故不符合题意． B．根据等式的性质，如果＝﹣3，那么﹣2＝6，那么B 正确，故B 不符合题意． ．根据等式的性质，如果3＝5，那么¿ 5 3，那么错误，故符合题意． D．根据等式的性质，如果＝﹣2，那么2＝4，那么D 正确，故D 不符合题意． 故选：． 总结升华：本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． 2．（2021 秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ） ．由x 2=2，得x＝1 B．由3（x 2 ﹣）＝6，得x 2 ﹣＝2 ．由x 2 ﹣＝6，得x 2+2 ﹣ ＝6 D．由2x+3＝x 1 ﹣，得2x+x＝﹣1 3 ﹣ 思路点拨：利用等式的性质2 可对、B 选项进行判断；利用等式的性质1 可对、D 选项进行判断． 解：．由x 2=2，得x＝4，所以选项不符合题意； B．由3（x 2 ﹣）＝6，得x 2 ﹣＝2，所以B 选项符合题意； ．由x 2 ﹣＝6，得x 2+2 ﹣ ＝6+2，所以选项不符合题意； D．由2x+3＝x 1 ﹣，得2x﹣x＝﹣1 3 ﹣，所以D 选项不符合题意； 故选：B． 总结升华：本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1） 典例4（2022 春•郸城县校级月考）解下列方程： （1）4x 3 ﹣（20﹣x）＝3； （2）1 2 ( x−1)=2−1 5 ( x+2)； （3）x+2 4 −2 x−3 6 =¿1； （4）0.3 x−0.5 0.2 −0.12−0.05 x 0.03 =¿x． 思路点拨：根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 解方程 即可． 解：（1）去括号得：4x 60+3 ﹣ x＝3， 移项得：4x+3x＝3+60， 合并同类项得：7x＝63， 系数化为1 得：x＝9； （2）去分母得：5（x 1 ﹣）＝20 2 ﹣（x+2）， 去括号得：5x 5 ﹣＝20 2 ﹣x 4 ﹣， 移项得：5x+2x＝20 4+5 ﹣ ， 合并同类项得：7x＝21， 系数化为1 得：x＝3； （3）去分母得：3（x+2）﹣2（2x 3 ﹣）＝12， 去括号得：3x+6 4 ﹣x+6＝12， 移项得：3x 4 ﹣x＝12 6 6 ﹣﹣， 合并同类项得：﹣x＝0， 系数化为1 得：x＝0； （4）原方程可化为3 x−5 2 −12−5 x 3 =¿x， 去分母得：3（3x 5 ﹣）﹣2（12 5 ﹣x）＝6x， 去括号得：9x 15 24+10 ﹣ ﹣ x＝6x， 移项得：9x+10x 6 ﹣x＝15+24， 合并同类项得：13x＝39， 系数化为1 得：x＝3． 总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去 括号、移项、合并同类项、系数化为1 是解题的关键． 变式训练 1．（2021 秋•南关区校级期末）解下列方程： （1）10x+9＝12x 1 ﹣； （2）1 2x 3 ﹣（x 2 ﹣）＝4； （3）5（x 1 ﹣）＝8x 2 ﹣（x+1）； （4）2 x+1 3 −5 x−1 6 =¿1． 思路点拨：（1）方程移项、合并同类项、系数化为1 即可； （2）方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可； （3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可； （4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可． 解：（1）10x+9＝12x 1 ﹣， 移项，得10x 12 ﹣ x＝﹣1 9 ﹣， 合并同类项，得﹣2x＝﹣10， 系数化为1，得x＝5； （2）1 2x 3 ﹣（x 2 ﹣）＝4， 去分母，得x 6 ﹣（x 2 ﹣）＝8， 去括号，得x 6 ﹣x+12＝8， 移项，得x 6 ﹣x＝8 12 ﹣ ， 合并同类项，得﹣5x＝4， 系数化为1，得x¿−4 5 ； （3）5（x 1 ﹣）＝8x 2 ﹣（x+1）， 去括号，得5x 5 ﹣＝8x 2 ﹣x 2 ﹣， 移项，得5x 8 ﹣x+2x＝5 2 ﹣， 合并同类项，得﹣x＝3， 系数化为1，得x＝﹣3； （4）2 x+1 3 −5 x−1 6 =¿1， 去分母，得2（2x+1）﹣（5x 1 ﹣）＝6， 去括号，得4x+2 5 ﹣x+1＝6， 移项，得4x 5 ﹣x＝6 1 2 ﹣﹣， 合并同类项，得﹣x＝3， 系数化为1，得x＝﹣3． 总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 2．（2021 秋•新民市期末）当x 取什么值时，代数式2 x+3 2 的值与1−x−1 3 的值相等？ 思路点拨：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x 的值． 解：根据题意得：2 x+3 2 =¿1−x−1 3 ， 去分母得：6x+9＝6 2 ﹣x+2， 移项合并得：8x＝﹣1， 解得：x¿−1 8． 总结升华：此题考查了解二元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键． 知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程ax=b ，⑴若a≠0 ，则方程只有惟一解 x=b a ；⑵若 a=0,b≠0 ，则原方程无解；⑶若a=0,b=0 ，则原方程有无数个解．） 典例5 已知关于x 的方程x−2 3 −mx 2 +¿3¿ 11 3 ． （1）当m 取何值时，方程有解？ （2）当m 取何整数时，方程的解是整数？ （3）在（2）的条件下，，b 在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，求（+b+m） 2013． 思路点拨：（1）方程去分母整理后，根据方程有解确定出m 的值即可； （2）将m 看作已知数表示出x，根据x 为整数确定出整数m 即可； （3）根据题意得到与b 互为相反数，得到+b＝0，代入原式计算即可得到结果． 解：方程去分母得：2x 4 3 ﹣﹣mx+18＝22， 整理得：（2 3 ﹣m）x＝8， （1）当2 3 ﹣m≠0，即m≠2 3时，方程解为x¿ 8 2−3m； （2）由x¿ 8 2−3m为整数，得到2 3 ﹣m＝﹣1，﹣2，﹣4，1，2，4，﹣8，8， 解得：m＝1，2，0，﹣2； （3）由题意得：+b＝0， 当m＝1 时，原式＝1；当m＝2 时，原式＝22013； 当m＝0 时，原式＝0；当m＝﹣2 时，原式＝﹣22013． 总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 变式训练 1．（2021 秋•石景山区期末）设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m 5 ﹣）x+m 3 ﹣＝0． （1）当m＝2 时，求方程的解； （2）若该方程有整数解，求m 的值． 思路点拨：（1）把m＝2 代入原方程，得到关于x 得一元一次方程，解之即可， （2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m 是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m 的几 个一元一次方程，解之即可． 解：（1）当m＝2 时，原方程为﹣3x 1 ﹣＝0， 解得，x=−1 3 ， （2）当m≠5 时，方程有解， x=3−m m−5=−1− 2 m−5， ∵方程有整数解，且m 是整数， ∴m 5 ﹣＝±1，m 5 ﹣＝±2， 解得，m＝6 或m＝4 或m＝7 或m＝3． 总结升华：本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一 次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤． 第二部分 一元一次方程的概念和解法复习配套作业 1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2+1 与﹣2 的值相等，则等于（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 思路点拨：根据题意列等式方程，解一元一次方程即可． 解：﹣2+1＝﹣2， 3＝3， ＝1， 故选：B． 总结升华：本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程． 2．（2021 秋•滕州市校级期末）如果关于x 的方程6+4x＝7x 3 ﹣m 的解是x＝1，则m 和满足的关系式是（ ） ．m+2＝﹣1 B．m+2＝1 ．m 2 ﹣＝1 D．3m+6＝11 思路点拨：虽然是关于x 的方程，但是含有三个未知数，主要把x 的值代进去，化出m，的关系即可． 解：把x＝1 代入方程6+4x＝7x 3 ﹣m 中 移项、合并同类项得：m+2＝1． 故选：B． 总结升华：本题考查式子的变形，知道一个未知数的值，然后代入化出另外两数的关系． 3．（2021 秋•开县期末）关于x 的方程2x+m＝1 的解是方程3x 2 ﹣＝2x 1 ﹣的解的3 倍，则m 的值是（ ） ．﹣5 B．﹣17 ．1 D．3 思路点拨：求出第二个方程的解得到第一个方程的解，即可确定出m 的值． 解：3x 2 ﹣＝2x 1 ﹣， 解得：x＝1， 得到2x+m＝1 的解为x＝3， 把x＝3 代入方程得：6+m＝1， 解得：m＝﹣5， 故选：． 总结升华：此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2022 春•唐河县月考）若﹣5x2ym 3 ﹣与x 1 ﹣y 是同类项，则方程x﹣m＝5 的解是（ ） ．x＝4 B．x＝3 ．x＝2 D．x＝1 思路点拨：首先根据﹣5x2ym 3 ﹣与x 1 ﹣y 是同类项，可得：{ m−3=1 n−1=2 ，据此求出m、的值；然后根据解一 元一次方程的方法，求出方程x﹣m＝5 的解即可． 解：∵5x2ym 3 ﹣与x 1 ﹣y 是同类项， ∴{ m−3=1 n−1=2 ， 解得：{ m=4 n=3 ， 3 ∴x 4 ﹣＝5， 移项，可得：3x＝5+4， 合并同类项，可得：3x＝9， 系数化为1，可得：x＝3． 故选：B． 总结升华：此题主要考查了同类项的含义和应用，以及解一元一次方程的方法，要熟练