专题08 一元一次方程应用压轴题的三种考法（解析版）

专题08 一元一次方程应用压轴题的三种考法 类型一、方选择问题 例．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含 200） 无优惠 100～350（包含 350） 一律享受九折优 惠 大于200 超过200 元的部分享受八折 优惠 大于350 一律享受八折优 惠 (1)小王需要购买价格为240 元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252 元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多 少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80 元和288 元，如果小刘把这两次购物改为一次 性购物，付款多少元？ 【答】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280 元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320 元或352 元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252 元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大 小即可； （3）先计算出支付80 元和288 元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即 可； 【详解】（1）解：甲超市购物所付的费用为： （元）， 乙超市购物所付的费用为： （元）， ∵ ， ∴在甲超市更划算； （2）解：甲超市购买的商品原价： （元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x 元，由题意得： ，解得： ， 280 ∵ ＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280 元的商品； （3）解：∵ ， ∴第一次购买商品的原价小于100 元，原价为80 元， ∵ ， ， ∴第二次购买商品的原价为100～350 或大于350 元， 设第二次购买商品的原价为m 元， ①当 时， 由题意得： （元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320 元； ②当 时， 由题意得： （元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352 元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320 元或352 元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方选择），（1）（2）比较简单，（3）中因 为 ，故需要对288 元的商品原价进行讨论． 【变式训练1】为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪， 积极做好室消毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400 元，已知一支测温枪的价格比 一瓶消毒剂的价格的6 倍还贵15 元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方（如下表）： 若学校有75 个班级，计划每班配置1 支红外线测温枪和20 瓶消毒剂，则学校选择哪种购 买方的总费用更低？ 购买方 红外线测温枪 消毒剂 优惠 9 折 85 折 每购100 瓶消毒剂送1 支测温枪 B 8 折 85 折 无 【答】(1)一瓶消毒剂的价格为55 元，一支测温枪的价格为345 元 (2)学校选择种购买方的总费用更低 【分析】（1）设一瓶消毒剂的价格为x 元，则一支测温枪的价格为 元，根据题意 可列出关于x 的一元一次方程，解出x 即可得出答； （2）分别计算出两种方所需费用，比较即可． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为x 元，则一支测温枪的价格为 元， 根据题意可得： ， 解得： ， ∴ 答：一瓶消毒剂的价格为55 元，一支测温枪的价格为345 元； （2）解：根据题意可知该学校需要75 支红外线测温枪和75×20=1500 瓶消毒剂． 以方购买时， ∵每购100 瓶消毒剂送1 支测温枪，1500÷100=15 支， ∴再购买75-15=60 支测温枪即可， ∴此购买方的总费用为 元； 以B 方购买时，总费用为 元； ∴以B 方购买的费用高于以方购买的费用． 故学校选择种购买方的总费用更低． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关 键． 【变式训练2】北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50 张（包含50 张） 50～100 张（不包含50 张） 100 张以上 每张票的价 格 60 元 50 元 40 元 某校七年级（1）、（2）两个班共102 人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人 数，且（1）班人数不足100 人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付 5500 元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12 名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员 参加游玩，作为组织者，你有几种购票方？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 【答】(1)七年级（1）班有62 人，（2）班有40 人 (2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101 张门票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班有学生x 人，则七年级（2）班有学生102－x 人，因为其 中（1）班人数多于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票， 一共应付5500 元列方程，解方程即可； （2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答； 【详解】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x 人，（2）班有 人．根据 题意，得 解得 ． 则（2）班人数为： （人）． 答：七年级（1）班有62 人，（2）班有40 人． （2）解：方一：各自购买门票需 （元）； 方二：联合购买门票需 （元）； 方三：联合购买101 张门票需 （元）； 综上所述：因为 ． 答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101 张门票最省钱． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方选择问题，解题的关键是读懂题意，利用 隐含条件找出等量关系列方程． 【变式训练3】下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过 主叫时间，流量不超上流量不再收费，主叫超时和上超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本 费/元 主叫通话/ 分钟 上流量 接 听 主叫超时部分 （元/分/钟） 超出流量部分/ （元/ ） 方式 一 免 费 方式 二 免 费 (1)若某月小萱主叫通话时间为 分钟，上流量为 ，则她按方式一计费需________ 元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需 元，主叫通话时间为 分钟， 则上流量为________ ． (2)若上流量为 ，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相 等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上流量为 ，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式 一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【答】(1) ， ， ； (2) ； (3)当 时方式一比较划算，当 方式二比较划算； 【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答，设上流量为x ， 根据费用列方程求解即可得到答； （2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答； （3）由（2）及单价对比可直接得到答． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵小萱主叫通话时间为 分钟，上流量为 ， ∴方式一收费为： （元）； 方式二收费为： （元）； 设上流量为x ，由题意可得， ， 解得 ， 故答为： ， ， ； （2）解：假设存在， ∵ ， ∴ ， ∴ 解得： ， ∴假设成立，上流量为 当 时，方式一和方式二的计费相等； （3）解：∵上流量为 当 时，方式一和方式二的计费相等为 元， ①当 时，方式一费用为： ， 方式二费用为： ， ， ∴当 方式二比较划算． ②当 时， 方式一费用为： ， 方式二费用为： ， 当 时， ， ∴当 时方式一比较划算，当 方式二比较划算． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到 等量关系式． 【变式训练4】小王看到如下两个超市的促销信息： 甲超市：全场88 折 乙超市：不超过200 元，不予优惠；超过200 元而不大于500 元，打九折；超过500 元， 500 元的部分优惠10%，超过500 元的部分打八折． (1)当一次性购物标价总额是300 元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物付款198 元和466 元，若他只去一次该超市购买同样多的商 品，可以节省多少元？ 【答】(1) 元 元；(2) 元；(3) 元或 元 【分析】（1）根据两家超市优惠方，可知当一次性购物标价总额是300 元时，甲超市实付 款 购物标价 ，乙超市实付款 购物标价 ，分别计算即可； （2）设标价总额是 时，甲、乙超市实付款一样，根据甲超市实付款 列方 程，求解即可； （3）首先计算出两次的购物标价，然后根据优惠方即可求解． 【详解】（1）当一次性购物标价总额是300 元时， 甲超市实付款为： 元， 超市实付款为： 元， 答：当一次性购物标价总额是300 元时，甲、乙超市实付款分别是 元、 元． （2）当一次性购物标价总额是500 元时， 甲超市实付款为： 元， 超市实付款为： 元， 由于 ， 故 ， 设标价总额是 时，甲、乙超市实付款一样， 则 ， 解得 ， 答：标价总额是 元时，甲、乙超市实付款一样． （3）小王两次到乙超市分别购物付款198 元和466 元， 第一次购物付款 元，购物标价可能是 元，也可能是 元， 第二次购物付款466 元，购物标价为 元， 两次购物标价为： 元，或 元， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省为： 元， 或 元 答：他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 元或 元． 【点睛】本题考查一元一次方程，理解两家超市优惠方，进行分类讨论是解题的关键． 类型二、销售利润问题 例．疫情隔离期间，为了降低外出感染风险，各大超市开通了送货到小区的便民服务，某 超市推出适合大多数家庭需要的以萝卜、土豆、洋葱三种蔬菜搭配装袋供市民直接选择． 其中，甲种搭配每袋装有5 千克萝卜、1 千克土豆、1 千克洋葱；乙种搭配每袋装有3 千克 萝卜、2 千克土豆、2 千克洋葱．甲、乙两种袋装蔬菜每袋成本价分别为袋中萝卜、土豆、 洋葱三种蔬菜的成本价之和．已知萝卜每千克成本价为2 元，甲种搭配每袋售价为28 元， 利润率为 ，乙种搭配的利润率为 ．若这两种袋装蔬菜的销售利润率达到 ，则 该商超销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之比是 ．（商品的利润率＝ ×100%）． 【答】 【分析】先求出1 千克土豆成本价 千克洋葱成本价，进而得出乙种蔬菜每袋售价．再设 销售甲种蔬菜 袋，乙种蔬菜 袋，根据题意列出方程便可求得 的值． 【详解】解：∵甲种搭配每袋装有5 千克萝卜、1 千克土豆、1 千克洋葱； 而萝卜每千克成本价为2 元，甲种搭配每袋售价为28 元，利润率为 ， 1 ∴千克土豆成本价 千克洋葱成本价 （元）， ∵乙种搭配每袋装有3 千克萝卜、2 千克土豆、2 千克洋葱，乙种搭配的利润率为 ， ∴甲种蔬菜每袋成本价为 （元），乙种蔬菜每袋成本价为 （元）． 设该甲种蔬菜销售了 袋，乙种蔬菜销售了 袋， 由题意，得 ， ∴ ，即： ． ∴销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之比 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题 意得出等量关系是解题的关键． 【变式训练1】十一前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比 乙种商品每件的进价多20 元，购进甲种商品4 件与购进乙种商品5 件的进价相同． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50 件，所用资金恰好为4600 元，出售时，甲 种商品在进价的基础上加价40%进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30 元，若按 标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，十一期间，甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分 商品后进行促销，按标价的九折再让利4 元出售，甲、乙两种商品全部售出，总获利比全 部按标价售出获利少了 ，则乙商品按标价售出多少件？ 【答】（1）甲种商品每件的进价是100 元，乙种商品每件的进价是80 元；（2）全部售出 后共可获利1800 元；（3）乙商品按标价售出8 件 【分析】（1）可设乙种商品每件的进价是x 元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元，根 据购进甲种商品4 件与购进乙种商品5 件的进价相同的等量关系列出方程即可求解； （2）可设该商场从厂家购进了甲种商品y 件，则乙种商品（50-y）件，根据所用资金恰好 为4600 元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数， 进一步可求按标价出售甲、乙两种商品，全部售出后一共的获利； （3）可设乙商品按标价售出z 件，则乙商品按促销价售出（20-z）件，根据总获利比全部 按标价售出获利少了 的等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设乙种商品每件的进价是x 元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元， 依题意有4（x+20）=5x，解得x=80，则x+20=80+20=100． 故甲种商品每件的进价是100 元，乙种商品每件的进价是80 元； （2）设该商场从厂家购进了甲种商品y 件，则乙种商品（50-y）件，依题意有 100y+80（50-y）=4600，解得y=30，则50-y=50-30=20， 则100×40%×30+30×20=1800（元）． 故全部售出后共可获利1800 元； （3）设乙商品按标价售出z 件，则乙商品按促销价售出（20-z）件，依题意有 （100+100×40%）×09×30+（80+30）z+[（80+30）×09-4]（20-z）=4600+1800× 解得z=8．故乙商品按标价售出8 件． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 【变式训练2】春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、 新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由 上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每 个水果篮的成本为 元．每盒坚果礼盒的成本为 元，每个水果篮的售价比每盒坚果 的售价多 元，售卖个水果篮获得的利润和售卖 盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了 个水果篮和 盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每 个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利 元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮 个和坚果礼盒 盒，进行“新春特惠”促销活动， 水果店规定，每人每次最多购买水果篮1 个或坚果礼盒1 盒．水果篮每个售价打九折后再 参与店内“每满 元减 元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满 元减 元” 的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有 个没办法售出．若该水果店获得的利润率为 ，求 的值． 【答】(1)每个水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元 (2)计划每个水果篮应打折出售 (3) 的值为 【分析】（1）设买水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元，根据等量关系：售卖1 个 水果篮获得的利润和售卖2 盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可； （2）设计划每个水果篮应打 折出售，列出方程，即可得出答； （3）根据方，得出实际水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元，再根据该 水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答． 【详解】（1）解：设买水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元，依题意得： ，解得： ．∴ ． 答：每个水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元． （2）设计划每个水果篮应打 折出售，依题意得： ，解得： ， 答：计划每个水果篮应打折出售． （3）∵ ， ∴实际水果篮售价 元，坚果礼盒售价 元， ∴ ∴ ． 答： 的值为 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关 键． 类型三、购物问题 例．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方： ①一次性购物在100 元（不含100 元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100 元（含100 元）以上，350 元（不含350 元）以内，一律享受九折优 惠； ③一次性购物在350 元（含350 元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85 元和288 元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则 小敏需付款 元． 【答】324 或356/356 或324 【分析】要求小敏一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共 实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100 元，即是85 元．第二次就有两种情况，一 种是超过100 元但不超过350 元一律9 折；一种是购物不低于350 元一律8 折，依这两种 计算出小敏购买的实际款数，再按第三种方计算即是他应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100 元， 即在第一次消费85 元的情况下，小敏的实质购物价值只能是85 元． 第二次购物消费288 元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：小敏消费超过100 元但不足350 元，这时候小敏是按照9 折付款的． 设第二次实质购物价值为 元，那么依题意有 ， 解得： ． 第二种情况：小敏消费不低于350 元，这时候小敏是按照8 折付款的． 设第二次实质购物价值为 元，那么依题意有 ，解得： ． 即在第二次消费288 元的情况下，小敏的实际购物价值可能是320 元或360 元． 综上所述，小敏两次购物的实质价值为 或 ，均超过了350 元． 因此均可以按照8 折付款： （元）或 （元）． ∴小敏需付款324 元或者356 元． 故答为：324 或356． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288 元可能有两 种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉 任何一种． 【变式训练1】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40 元，利润率为 ； 乙种商品每件进价50 元，售价80 元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50 件，恰好总进价为2100 元，求购进甲乙两种商 品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380 元 不优惠 超过380 元，但不超过500 元 售价打九折 超过500 元 售价打八折 按上