专题3.3 一元一次方程的应用【十二大题型】（解析版）

专题33 一元一次方程的应用【十二大题型】 【人版】 【题型1 和、差、倍、分问题】.............................................................................................................................1 【题型2 数字问题】................................................................................................................................................. 3 【题型3 行程问题】................................................................................................................................................. 6 【题型4 销售问题】............................................................................................................................................... 10 【题型5 工程问题】............................................................................................................................................... 13 【题型6 配套问题】............................................................................................................................................... 15 【题型7 调配问题】............................................................................................................................................... 19 【题型8 水流问题】............................................................................................................................................... 22 【题型9 隧道或过桥问题】...................................................................................................................................24 【题型10 几何图形问题】......................................................................................................................................27 【题型11 分段收费问题】......................................................................................................................................31 【题型12 方选择问题】.......................................................................................................................................... 34 【题型1 和、差、倍、分问题】 【例1】（2019·全国·七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生 戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与 红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2 倍根据信息，这群学生共 有______人 【答】7 【分析】设其中的男生有x 人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示 出女生有（x-1）人．再根据每位女生看到白色的安全帽是红色的2 倍列方程求解． 【详解】设男生有x 人,则女生有(x−1)人， 根据题意得x=2(x−1−1) 解得x=4 x−1=3 4+3=7 人 故答为7 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程 【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）子今年13 岁．父亲今年40 岁，是否有一年父 亲的年龄恰好是子年龄的4 倍？ 1 【答】当子9 岁时，父亲的年龄是子年龄的4 倍． 【分析】设当子x 岁时，父亲的年龄是子年龄的4 倍，根据父子的年龄差不变，即可得出 关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设当子x 岁时，父亲的年龄是子年龄的4 倍， 根据题意得：4x x ﹣＝40 13 ﹣ ， 解得：x＝9， 答：当子9 岁时，父亲的年龄是子年龄的4 倍． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题 的关键． 【变式1-2】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片 草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半 天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小 片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知， 此次参加社会实践活动的人数为_______人． 【答】8 【分析】设共有x 人，每个工人一天的工作量为1，根据大的一片草地的工作量是小的一片 的两倍，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有x 人，一个人一天的工作量为1， 由题意可得： 1× 1 2 x+ 1 2 × 1 2 x=2( 1 2 × x 2 +1)， 解得：x=8， ∴此次参加社会实践活动的人数为8 人， 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题 的关键． 【变式1-3】（2021·全国·七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成 绩不达标的人数A校区和B校区共有600 人，其中不达标的人数中，A校区人数比B校区人 数的3 倍还多40 人．辅差工作任重而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达 标的人数必须共减少120 人，减少后使得两区总成绩不达标的人数中A校区人数是B校区 人数的3 倍． （1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？ （2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？ 【答】（1）期中测试中B校区总成绩不达标的有140 人，A校区总成绩不达标的有460 人； 1 （2）B校区应该减少20 名总成绩不达标的学生，A校区应该减少100 名总成绩不达标的学 生． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，即可求得期中测试中两个校区分 别有多少名总成绩不达标的学生； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，即可求得要完成年级期末测试要求， 两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生． 【详解】解：（1）设期中测试中B校区总成绩不达标的有x人，则A校区总成绩不达标的 有(3 x+40)人， 根据题意，得x+3 x+40=600， 解得x=140， 则3 x+40=460， 答：期中测试中B校区总成绩不达标的有140 人，A校区总成绩不达标的有460 人． （2）设期末测试中B校区减少了y名总成绩不达标的学生，则A校区减少了(120−y)名总 成绩不达标的学生， 据题意，得3(140−y)=460−(120−y)， 解得y=20， 则120−y=100． 答：要完成年级期末测试要求，B校区应该减少20 名总成绩不达标的学生，A校区应该减 少100 名总成绩不达标的学生． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程， 求出相应总成绩不达标的学生． 【题型2 数字问题】 【例2】（2022·黑龙江绥化·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中 的7 个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7 个数的和不可 能是（ ） ．63 B．70 ．91 D．105 【答】 【分析】设“”型框中的正中间的数为x，则其他6 个数分别为x-8，x-6，x-1，x+1，x+6， 1 x+8，表示出这7 个数之和，然后分别列出方程解答即可． 【详解】解：设“”型框中的正中间的数为x，则其他6 个数分别为x-8，x-6，x-1，x+1， x+6，x+8， 这7 个数之和为：x-8+x-6+x-1+x+1+x+x+6+x+8=7x． 由题意得 、7x=63，解得：x=9，能求得这7 个数； B、7x=70，解得：x=10，能求得这7 个数； 、7x=91，解得：x=91 7 ，x 须为正整数，∴不能求得这7 个数； D、7x=105，解得：x=15，能求得这7 个数． 故选： 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“”型框中的7 个数的数字的排列规律 是解决问题的关键． 【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）把9 个数填入3×3 的方格中，使其任意一行， 任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古 代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2 是仅可以看到部分数值的“九宫 格”，则其中的值为（ ） ．2 B．4 ．6 D．1 【答】D 【分析】根据题意设左边中间位置为b，左上为．求出“九宫格”中的b、，再求出即可求 解． 【详解】如图，依题意可得2+5+8=3+5+b， 解得b=7． 2+5+8=2+7+ ∴ ， 解得=6． 2+5+8=6+8+ ∴ ， 解得=1． 故选：D． 1 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 【变式2-2】（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上 的数字为y，根据题意，可列方程为：______． 【答】y=x+1或10 y+x+9=10 x+ y 【分析】列代数式写出原数和新数，通过新数比原数大9 列方程即可． 【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大1， ∴y=x+1， ②∵对调前个位上的数字为x，十位上的数字为y， ∴原数为： 10 y+x， ∵对调后个位上的数字为y，十位上的数字为x， ∴新数为：10 x+ y， ∵新数比原数大9， ∴10 y+x+9=10 x+ y， 故答为：y=x+1或10 y+x+9=10 x+ y． 【点睛】本题考查列方程，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键． 【变式2-3】（2022·全国·七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 03 • 转化为分数时，可设03 • ＝x，则x＝03＋1 10x，解得x＝1 3，即03 • ＝1 3仿照此方法，将04 • 5 • 化成分数． 【答】5 11 【分析】设x=04 • 5 • ，则x=04545…①，根据等式性质得：100x=454545…②，再由②-①得 方程100x-x=45，解方程即可． 【详解】设x=04 • 5 • ，则x=04545…①， 根据等式性质得：100x=454545…②， 由②-①得：100x-x=454545…-04545…， 即：100x-x=45，99x=45 1 解方程得：x=45 99 = 5 11 故答为5 11． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方 法． 【题型3 行程问题】 【例3】（2022·上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从地出发，沿同一条笔直的公路 匀速前往相距360km 的B 地，半小时后甲发现有东西落在地，于是立即以原速返回地取物 品，当甲车到达地时，两车相距60 千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10km 继 续前往B 地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），当乙车行驶了3 小时的时候被 甲车追上，则甲车到达B 地时，乙车离B 地的距离是________km． 【答】60 【分析】先求出乙的速度，再列方程求出甲重新出发后的速度，然后计算出甲行走的总时 间，可得此时乙行驶的路程，然后可得结果． 【详解】∵甲出发到返回用时05 小时，返回后速度不变， ∴返回到地的时间为1，此时乙跑了60km， ∴乙的速度为60 千米/时． 设甲重新出发后的速度为v 千米/时，列得方程： （3 1 ﹣）（v 60 ﹣ ）＝60， 解得：v＝90． 设甲在第t 小时到达B 地，列得方程： 90（t 1 ﹣）＝360， 解得：t＝5． ∴此时乙行驶的路程为：60×5＝300（千米）． 离B 地距离为：360 300 ﹣ ＝60（千米）． 故答为60 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决行程问题的应用，找出等量关系是解题关键． 【变式3-1】（2022·四川巴中·七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向 运动．若甲的速度是乙的速度的2 倍，则甲运动2 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是 乙的速度的3 倍，则甲运动3 2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4 倍，则 甲运动4 3 周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0 点(12 点) 同时出发，分针旋转________周，时针和分针第一次相遇． 1 【答】12 11 【详解】设分针旋转x 周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x 1 ﹣）周， 根据题意可得：60x=720（x 1 ﹣）， 解得：x=12 11． 所以分针旋转12 11周，时针和分针第一次相遇． 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务． 学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息： 我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同 的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G 字头，表示高速动 车组旅客列车；D 字动，表示动车组旅客列车；字头，表示城际旅客列车；K 学头，表示 快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“150” 次列车的平均速度是120km/，“K1334”次列车的平均速度是90km/，并且“150”次列车从 吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30 分钟（两列车中途停留时间均除外）． 兴趣小组提出了以下两个问题： (1)“150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？ (2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？ 小彬列的方程是“ x 90−30 60= x 120” 任务一：①小彬同学所列方程中的x 表示 ， ②小彬同学列方程所用的数量关系为 （“路程÷速度＝时间“除外）； 任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y 小时，请你 帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程． 【答】(1)“150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间分别是3 2小时和2 小 时 (2)任务一：①吕梁站至太原南站的路程，②“150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比 “K1334”次列车少用30 分钟；任务二：见解析 【分析】（1）设“C 150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是m小时，则“K 1334” 次列车从吕梁站至太原南站所用时间为(m+ 30 60 )小时，可得：120m=90(m+ 30 60 )，即可 解得答； 1 （2）任务一：①x表示吕梁站至太原南站的路程，②在x 90−30 60= x 120中，所用的数量关 系为“C 150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K 1334”次列车少用30 分钟； 任务二：设“K 1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，则“C 150”次列 车从吕梁站至太原南站所用时间为( y−30 60 )小时，可得90 y=120( y−30 60 )，即可解得答． （1） 设“C 150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是m小时，则“K 1334”次列车从吕梁 站至太原南站所用时间为(m+ 30 60 )小时， 根据题意得：120m=90(m+ 30 60 )， 解得m=1.5， ∴m+ 30 60=1.5+ 1 2=2， 答：“C 150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是15 小时，“K 1334”次列车从吕梁 站至太原南站所用时间为2 小时； （2） 任务一：①在x 90−30 60= x 120中，x表示吕梁站至太原南站的路程， 故答为：吕梁站至太原南站的路程； ②在x 90−30 60= x 120中，列方程所用的数量关系为“C 150”次列车从吕梁站至太原南站 所用时间比“K 1334”次列车少用30 分钟， 故答为：“C 150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K 1334”次列车少用30 分钟； 任务二：设“K 1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，则“C 150”次列 车从吕梁站至太原南站所用时间为( y−30 60 )小时， 根据题意得：90 y=120( y−30 60 )， 解得y=2， ∴y−30 60=2−1 2=3 2， 答：“K 1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为2 小时，“C 150”次列车从吕梁 站至太原南站所用时间是15 小时． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 1 【变式3-3】（2021·全国·七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km 的，B 两地同时出发，若甲的速度为40km/，乙的速度为30km/，设甲追到乙所花时间为 x，则可