专题07 一元一次方程实际应用的六种考法（教师版）

专题07 一元一次方程实际应用的六种考法 1 数字问题 例．(1)把100 拆分成2 个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则 拆分成的这两个数分别是 和 ； (2)把100 拆分成2 个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆 分成的这两个数分别是 和 ； (3)把100 拆分成4 个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4 个数 除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少． 【答】(1)47，53；(2)20， 80；(3) ， ， ， ． 【详解】解：(1)设第一个数为x，则第二个数是(100﹣x)， 由题意得：x+3＝100﹣x 3 ﹣，解得x＝47． 所以100﹣x＝100 47 ﹣ ＝53． 答：拆分成的这两个数分别是47 和53． 故答为：47，53； (2)设第一个数为y，则第二个数是(100﹣y)， 由题意得：2y＝(100﹣y)÷2， 解得y＝20． 所以100﹣y＝100 20 ﹣ ＝80． 答：拆分成的这两个数分别是20 和80； 故答为：20，80； (3)设相等的数为z，则其余数分别为z 5 ﹣，z+5， ，5z， 由题意得：z 5+ ﹣ z+5 5z＝100， 解得：z ， 则z 5 ﹣ ，z+5 ， ，5z ． 故拆分成的这四个数分别是 ， ， ， ． 【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表． (1)写出数表所表示的规律；(至少写出4 个) (2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9 个数．若9 个数之和等于297，求方框里中间 数是多少？ 【答】(1)见解析 (2)方框里中间数是33 【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5 个奇数，③每行相邻两个 数的和是2 的倍数，④每列相邻的两个数相差10． (2)解：设方框里中间数为x，则另外8 个数为 ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， ， 则方框里中间数是33． 【变式训练2】如图所示的10×5(行×列)的数阵，是由一些连续奇数组成的． (1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x 的式子表示另外三个数； (2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数； (3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？ 【答】(1)x+2，x+8，x+10；(2)45，47，53，55 (3)不存在，理由见解析 【解析】(1)解：设第一行第一个数为x，则其余3 个数依次为x+2，x+8，x+10； (2)解：根据题意得：x+x+2+x+8+x+10＝200，解得：x＝45． 则这四个数依次为45，47，53，55． 答：这四个数依次为45，47，53，55； (3)解：不存在．理由如下： 由题意得x+x+2+x+8+x+10＝296 4 ∴x+20＝296，解得：x＝69． ∵当x＝69 时，这个数在第六行最后一个数的位置，不符合题意 故不存在这样的四个数，它们的和为296． 【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表． (1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数 是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______； (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出 答，不需要证明； (3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400 呢？若能，请写出这五个数，若不 能，请说明理由． 【答】(1)5 倍，5x；(2)有；(3)不存在5 个数之和为2400 【解析】(1)(4+14+24+12+ 16)÷14=5，x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x (2)符合规律， 设中间数字为x，则上面数字的为x - 10，下面数字为x + 10，左边数字为x- 2，右边数字为 x + 2， 即[x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)]÷x=5， x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x∴仍符合规律； (3)若五个数之和等于2400，则 ，解得： ， ∴十字据中中间的数为480， 由数表可知，数字480 位于数表的最边上一列，不可能处于十字框中间，所以不存在5 个 数之和为2400． 2 配套问题 例．列方程解应用题 某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间 有灌装、装箱生产线共21 条，每条灌装生产线每小时装350 瓶，每条装箱生产线每小时装 450 瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200 瓶，8:00 开始，车间内的生产线 全部投入生产． (1)若当日到10:00 时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500 瓶设灌装生产线有x 条，当日 到10:00 时，灌装生产线共装多少瓶啤酒(用含x 的代数式表示)？该车间内灌装生产线有多 少条？ (2)若该日车间工作8 小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装 箱？ 【答】(1)灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒，灌装生产线有12 条； (2)灌装生产线设计13 条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱． 【解析】(1)解：当日到10:00 时，灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒， 根据题意，得5200+350×2x=450×2(21-x)+5500， 解这个方程，得：x=12 答：灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒，灌装生产线有12 条； (2)解：设灌装生产线设计y 条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱， 根据题意，得5200＋350×8y=450×8(21-y)， 解这个方程，得：y=11． 答：灌装生产线设计11 条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱． 【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50 张白板纸制作某种型号的长 方体纸箱．如图，每张白板纸可以用，B，两种方法剪裁，其中种裁法：一张白板纸裁成4 个侧面；B 种裁法：一张白板纸裁成2 个侧面与4 个底面．且四个侧面和两个底面恰好能 做成一个纸箱．设按种方法剪裁的有x 张白板纸． (1)按B 种方法剪裁的有______张白板纸；(用含x 的代数式表示) (2)将50 张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？ 【答】(1) ；(2)40 个 【解析】(1)解：按种方法剪裁的有x 张白板纸， 则按B 种方法剪裁的有 张白板纸， 故答为： ； (2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱． ， 整理得： ， 解得：x＝30， (30×4+20×2)÷4＝40， ∴最多可以制作40 个纸箱 【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m 长的布料可做上衣2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套． (1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套 衣服？ (2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩 余，余料可以做几件上衣或裤子？(本问直接写出结果) 【答】(1)做上衣用布料180m，则做裤子用布料120m，可以生成120 套衣服 (2)最多可以生产90 套衣服，余料可以做2 条裤子 【解析】(1)设做上衣用布料 ，则做裤子用布料 ， 由题意得， ，解得： ，则 可以生产 套衣服； 答：用180m 布做上衣，120m 布做裤子才能恰好配套，可以生产120 套衣服； (2)∵做一件上衣用 m 布，做一条裤子用1m 布， ∴一套服装用25m 布， 227÷25=902 ∵ ， 227m ∴ 布可以做90 套衣服余2m， ∵本着不浪费的原则，∴余下的2m 布可以做2 条裤子， 答：布料227m，最多可以生产90 套衣服，余料可以做2 条裤子． 【变式训练3】某工厂接受了15 天内生产1200 台G 型电子产品的总任务． 已知每台G 型 产品由4 个G 型装置和3 个型装置配套组成． 工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工8 个G 型装置或4 个型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装 置，并要求每天加工的G、型装置数量正好全部配套组成G 型产品． (1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套G 型电子产品？ (2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4 个G 型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？ 【答】(1)工厂每天能配套组成64 套G 型电子产品； (2)至少应招聘40 名新工人． 【解析】(1)解：设安排x 名工人生产G 型装置，则安排(80﹣x)名工人生产型装置， 根据题意得： ，解得：x=32，∴ ． 答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64 套G 型电子产品． (2)解：设招聘名新工人加工G 型装置 仍设x 名工人加工G 型装置，(80-x)名工人加工型装置， 根据题意， ，整理可得， ， 另外，注意到 ，即x≤20，于是 ，解得：≥40， 答：至少应招聘40 名新工人． 3 销售利润问题 例甲、乙两件服装的成本共500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定 价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9 折出售， 这样商店老板共获利157 元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？ 【解答】解：设甲服装的成本是x 元，则乙服装的成本是(500﹣x)元，依题意有 09×(1+50%)x+09×(1+40%)(500﹣x) 500 ﹣ ＝157，解得x＝300， 500﹣x＝200． 答：甲服装的成本为300 元，乙服装的成本为200 元． 【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果 篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200 元，每盒坚果礼盒的成本为150 元，每个水果篮 的售价比每盒坚果礼盒的售价多100 元，售卖1 个水果篮获得的利润和售卖2 盒坚果礼盒 获得的利润相同． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)在年末时，该水果店购进水果篮1250 个和坚果礼盒1200 盒，进行“新春特惠”促销活 动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1 个或坚果礼盒1 盒，每个水果篮在售价的基 础上打九折后再参与店内“每满100 元减m 元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每 满100 元减m 元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果 变质导致水果篮有50 个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m 的值． 【答】(1)每个水果篮的售价为300 元，每盒坚果礼盒的售价为200 元．(2)m 的值为10． 【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x 元，则每个水果篮的售价为(x+100)元， 依题意得：2(x-150)=x+100-200， 解得：x=200， ∴x+100=300． 答：每个水果篮的售价为300 元，每盒坚果礼盒的售价为200 元． (2) 300×09=270( ∵ 元)， ∴每个水果篮的活动价为(270-2m)元． ∵每盒坚果礼盒的售价为200 元， ∴每盒坚果礼盒的活动价为(200-2m)元． 依题意得：(1250-50)(270-2m)+1200(200-2m)-1250×200- 1200×150=(1250×200+1200×150)×20%， 解得：m=10． 答：m 的值为10． 【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产B 产品，去年两 个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比B 产品的销售单价高100 元，1 件产品与1 件B 产品售价和为300 元． (1)、B 两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)今年，该工厂计划依托工业互联将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加%；B 产品产量将在去年的基础上减少 %，但B 产品的销售单价将提高2%．则今年、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的 基础上增加 ．求的值． 【答】(1) 产品的销售单价为200 元， 产品的销售单价为100 元；(2)50 【解析】(1)解：设 产品的销售单价为 元，则 产品的销售单价为 元， ． 依题意得： ， 解得： =100，∴ +100=200． ． 答： 产品的销售单价为200 元， 产品的销售单价为100 元 (2)解：设去年每个车间生产产品的数量为件， 依题意得：200(1+ %)t+100(1+2 %)(1- %)t=300(1+ )t 设 ，则原方程可化简为2m2-m=0， 解得： ， (不合题意，舍去)， ∴ =50． 答： 的值为50． 【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000 只，这两种节能灯的进价、 售价如下表： 进价(元/只) 售价(元/只) 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为37000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后， 乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【解答】解：(1)设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯(1000﹣x)只， 由题意，得25x+45(1000﹣x)＝37000，解得：x＝400 购进乙型节能灯1000﹣x＝1000 400 ﹣ ＝600(只) 答：购进甲型节能灯400 只，购进乙型节能灯600 只进货款恰好为37000 元． (2)设乙型节能灯需打折， 01×60 45 ﹣ ＝45×20%，解得＝9，答：乙型节能灯需打9 折． 【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500 元，售价800 元； 乙种服装商品每件售价1200 元，可盈利50%． (1)每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种服装共40 件，恰好总进价用去27500 元，求商场销售 完这批服装，共盈利多少？ (3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000 元减500 元的优惠”(比如：某顾客购物 1200 元，他只需付款700 元)．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000 元减500 元”的活动．张先生买了一件标价为3200 元的羽绒服，张先生发现竟然比没 打折前多付了20 元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加 活动？ 【解答】解：(1)∵甲种服装每件进价500 元，售价800 元， ∴每件甲种服装利润率为800−500 500 ×100%=¿60%． ∵乙种服装商品每件售价1200 元，可盈利50%． ∴乙种服装每件进价为1200 1+50%=¿800(元)，故答为：60%，800； (2)设甲种服装进了x 件，则乙种服装进了(40﹣x)件， 由题意得，500x+800(40﹣x)＝27500，解得：x＝15． 商场销售完这批服装，共盈利15×(800 500)+25×(1200 800) ﹣ ﹣ ＝14500(元)． 答：商场销售完这批服装，共盈利14500 元． (3)设打了y 折之后再参加活动． ①3200× y 10−2×500=¿3200 3×500+20 ﹣ ．解得：y＝85． ②3200× y 10−500=3200−3×500+20，解得y＝8(不合题意，舍去)． ③3200× y 10=3200−3×500+20，解得y＝59(不合题意，舍去)． 答：先打八五折再参加活动． 4 工程问题 例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755 米的道路改造工程，由甲、乙两个施 工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3 米，经过5 天施工 后，两个小队共完成施工路段135 米． (1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？ (2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1 米， 乙队平均每天能比原来多施工2 米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道 路改造任务？ 【答】(1)甲施工小队平均每天施工15 米，乙施工小队平均每天施工12 米． (2)能够比原来提前6 天完成道路改造任务． 【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工 米，则甲施工小队平均每天施工 米． 根据题意得： ． 解得： ． 所以 ． 答：甲施工小队平均每天施工15 米，乙施工小队平均每天施工12 米． (2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工 米；乙施工小队平均每天施工 米． 则改进施工技术后，剩余的工程还需： 天； 按原施工进度，剩余的工程还需： 天． 所以少用的天数为： 天． 答：能够比原来提前6 天完成道路改造任务． 【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3 名一级技工去粉刷8 个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5 名二级技工粉 刷了10 个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(列方程解决问题) (2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6 元费用，给付二级技工55 元费用，问一级技工和二级技 工每人每天各挣多少工钱？ 【答】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为39 (2)一级技工每人每天挣564 元，二级技工每人每天挣451 元． 【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为x ， 由题意得： ，解得： ， ∴每个房间需要粉刷的墙面面积为39 ； (2)∵每个房间需要粉刷的墙面面积为39 ， ∴一名一级技工一天粉刷的面积为 ， 一名二级技工一天粉刷的面积为 ， ∴ (元)， (元)， ∴一级技工每人每天挣564(元)，二级技工每人每天挣451(元)． 【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路规划”中的建设工程，该工程预算国 拨总投资为24 亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的 ，设施 投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增 长率是土建投资增长率的25 倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2 倍， (1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？ (2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100 万辆，每辆车的平均收益为 40 元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资， 使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿 元？ 【答】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10 亿元，8 亿元，6 亿元 (2)该工程的实际总投资是252 亿元 【解析】(1)解：设土建为x 亿元，则路面为 亿元，设施为(1 40%) ﹣ x 亿元， ∴x+ +(1 40%) ﹣ x＝24，∴x