专题07 一元一次方程实际应用的六种考法（学生版）

专题07 一元一次方程实际应用的六种考法 1 数字问题 例．(1)把100 拆分成2 个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则 拆分成的这两个数分别是 和 ； (2)把100 拆分成2 个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆 分成的这两个数分别是 和 ； (3)把100 拆分成4 个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4 个数 除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少． 【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表． (1)写出数表所表示的规律；(至少写出4 个) (2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9 个数．若9 个数之和等于297，求方框里中间 数是多少？ 【变式训练2】如图所示的10×5(行×列)的数阵，是由一些连续奇数组成的． (1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x 的式子表示另外三个数； (2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数； (3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？ 【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表． (1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数 是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______； (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出 答，不需要证明； (3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400 呢？若能，请写出这五个数，若不 能，请说明理由． 2 配套问题 例．列方程解应用题 某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间 有灌装、装箱生产线共21 条，每条灌装生产线每小时装350 瓶，每条装箱生产线每小时装 450 瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200 瓶，8:00 开始，车间内的生产线 全部投入生产． (1)若当日到10:00 时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500 瓶设灌装生产线有x 条，当日 到10:00 时，灌装生产线共装多少瓶啤酒(用含x 的代数式表示)？该车间内灌装生产线有多 少条？ (2)若该日车间工作8 小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装 箱？ 【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50 张白板纸制作某种型号的长 方体纸箱．如图，每张白板纸可以用，B，两种方法剪裁，其中种裁法：一张白板纸裁成4 个侧面；B 种裁法：一张白板纸裁成2 个侧面与4 个底面．且四个侧面和两个底面恰好能 做成一个纸箱．设按种方法剪裁的有x 张白板纸． (1)按B 种方法剪裁的有______张白板纸；(用含x 的代数式表示) (2)将50 张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？ 【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m 长的布料可做上衣2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套． (1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套 衣服？ (2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩 余，余料可以做几件上衣或裤子？(本问直接写出结果) 【变式训练3】某工厂接受了15 天内生产1200 台G 型电子产品的总任务． 已知每台G 型 产品由4 个G 型装置和3 个型装置配套组成． 工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工8 个G 型装置或4 个型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装 置，并要求每天加工的G、型装置数量正好全部配套组成G 型产品． (1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套G 型电子产品？ (2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4 个G 型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？ 3 销售利润问题 例甲、乙两件服装的成本共500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定 价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9 折出售， 这样商店老板共获利157 元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？ 【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果 篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200 元，每盒坚果礼盒的成本为150 元，每个水果篮 的售价比每盒坚果礼盒的售价多100 元，售卖1 个水果篮获得的利润和售卖2 盒坚果礼盒 获得的利润相同． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)在年末时，该水果店购进水果篮1250 个和坚果礼盒1200 盒，进行“新春特惠”促销活 动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1 个或坚果礼盒1 盒，每个水果篮在售价的基 础上打九折后再参与店内“每满100 元减m 元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每 满100 元减m 元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果 变质导致水果篮有50 个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m 的值． 【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产B 产品，去年两 个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比B 产品的销售单价高100 元，1 件产品与1 件B 产品售价和为300 元． (1)、B 两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)今年，该工厂计划依托工业互联将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加%；B 产品产量将在去年的基础上减少 %，但B 产品的销售单价将提高2%．则今年、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的 基础上增加 ．求的值． 【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000 只，这两种节能灯的进价、 售价如下表： 进价(元/只) 售价(元/只) 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为37000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后， 乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500 元，售价800 元； 乙种服装商品每件售价1200 元，可盈利50%． (1)每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种服装共40 件，恰好总进价用去27500 元，求商场销售 完这批服装，共盈利多少？ (3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000 元减500 元的优惠”(比如：某顾客购物 1200 元，他只需付款700 元)．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000 元减500 元”的活动．张先生买了一件标价为3200 元的羽绒服，张先生发现竟然比没 打折前多付了20 元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加 活动？ 4 工程问题 例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755 米的道路改造工程，由甲、乙两个施 工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3 米，经过5 天施工 后，两个小队共完成施工路段135 米． (1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？ (2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1 米， 乙队平均每天能比原来多施工2 米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道 路改造任务？ 【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3 名一级技工去粉刷8 个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5 名二级技工粉 刷了10 个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(列方程解决问题) (2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6 元费用，给付二级技工55 元费用，问一级技工和二级技 工每人每天各挣多少工钱？ 【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路规划”中的建设工程，该工程预算国 拨总投资为24 亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的 ，设施 投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增 长率是土建投资增长率的25 倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2 倍， (1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？ (2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100 万辆，每辆车的平均收益为 40 元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资， 使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿 元？ 5 行程问题 例．甲骑摩托车从地去B 地，乙开汽车从B 地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点 后停止，甲、乙两人间的距离为 )与甲行驶的时间为 之间的关系如图所示． (1)以下是点M、点、点P 所代表的实际意义，请将M、、P 填入对应的横线上． ①甲到达终点_________． ②甲乙两人相遇_________． ③乙到达终点_________． (2)B 两地之间的路程为_________千米； (3)求甲、乙各自的速度； (4)如果乙到达地后立刻原路原速返回到B 地，在甲到达B 地的过程中，甲出发_________ 小时，甲乙相距100 千米． 【变式训练1】为抗击疫情，支援B 市，市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、 乙两辆货车从市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市． 甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运 往B 市．乙车维修完毕后立即返回市．两车离市的距离y(km)与乙车所用时间x()之间的函 数图象如图所示． (1)甲车速度是_______km/，乙车出发时速度是_______km/； (2)求乙车返回过程中，乙车离市的距离y(km)与乙车所用时间x()的函数解析式(不要求写出 自变量的取值范围)； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答． 【变式训练2】随着互联的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的 选择，某市有出租车、滴滴快车等约车，收费标准见下图． 出租车 起步价：14 元 里程费：超过3 公里的部分 24 元/公里 (不足1 公里按1 公里计) 滴滴快车 起步价：12 元 里程费：25 元/公里 时长费：04 元/分钟 (滴滴快车行驶的平均速度为40 公里/时) (1)若乘坐这两种约车的里程数都是9 公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费 用为多少元？ (2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15 元，求甲、乙两地间的里程数． 【变式训练3】、B 两地相距480km，地在、B 两地之间．一辆轿车以100km/的速度从地出 发匀速 行驶，前往B 地．同时，一辆货车以80km/的速度从B 地岀发，匀速行驶，前往地． (1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间； (2)当两车相距120km 时，求轿车行驶的时间； (3)若轿车到达B 地后，立刻以120km/的速度原路返回，再次经过地，两次经过地的时间间 隔为22，求地距离地路程． 6 方问题 例2016 年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位 共102 人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100 人．经了解，该风 景区的门票价格如下表： 数量(张) 1 50 ﹣ 51 100 ﹣ 101 张及以上 单价(元/张) 60 元 50 元 40 元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500 元． (1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ (3)如果甲单位有12 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方，通过比 较，你 如何购买门票才能最省钱？ 【变式训练1】2021 年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长． 某平台的体育用品×××实行优惠销售，规定如下：对原价160 元/件的某款运动速干衣和20 元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方． 方：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方B：运动速干衣和运动棉袜均按9 折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30 件，运动棉袜x 双( )． (1)若该户外俱乐部按方购买，需付款_______元(用含x 的代数式表示)； 若该户外俱乐部按方B 购买，需付款_______元(用含x 的代数式表示)． (2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方购买较为合算： (3)当购买运动棉袜多少双时两种方付款相同． 【变式训练2】某企业有 ， 两条加工相同原材料的生产线，在一天内， 生产线共加 工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时 间为 小时． (1)当 时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？ (2)某一天，该企业把吨原材料分配到 、 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了 加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？ 【变式训练3】某校计划购买20 张书柜和一批书架(书架不少于20 只)，现从、B 两家超市 了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210 元，书架每只70 元，超市的优惠政策为每 买一张书柜赠送一只书架，B 超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架只． (1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到超市要准备_____元货款，到B 超市要准备___ __元货款(用含的式子表示)； (2)在(1)的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？ (3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20 张书柜和100 只书架，且可到两家超市自由 选购，请你设计一种购买方，使付款额最少，最少付款额是多少？ 课后作业 1．[材改编]改编华师版七年级下册数学材第19 页的部分内容． 问题3 课外活动时李老师来室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌， 请来两名工人．已知师傅单独完成需4 天，徒弟单独完成需6 天”就停住了．根据以上信 息解答下列问题： (1)两人合作需要__________天完成． (2)李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1 天，再两人合作， 完成后共得到报酬450 元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？ [拓展]在问题3 中，如果两人合作完成后共得报酬450 元，工作量相同部分的报酬，师徒按 3：2 分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬． 2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公，某市设立若干河流排污治理点(每处需安装 相同长度的排污治理管道)，一天甲队3 名工人去完成5 个治理点管道铺设，但还有60 米管 道未来得及完成，乙队4 名工人完成5 个治理点后，仍多铺设了40 米管道，每名甲队工人 比乙队工人每天多铺设20 米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每位甲队工人每天需支付费用500 元，每名乙队工人每天需支付400 元，该市共设 立50 个排污治理点，另有5880 米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3 名工人， 乙队4 名工人来安装管道，方一：全部由甲队安装；方二：全部由乙队安装；(不到一天按 一天算)．若要使总费用最少，应选择哪种方？请通过计算说明． 3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的育方针，内江市某中学组织全体学生前 往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30 名学生，则还剩 7 名学生没老师带；若每位老师带队31 名学生，就有一位老师少带1 名学生．现有甲、乙 两型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 35 30 租金(元/辆) 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000 元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方？ (3)学校租车总费用最少是多少元？ 4．某次篮球联赛积分榜如下表所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 恒大 14 4 10 18 蓝天 14 0 14 14 (1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分． (2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25 分，问雄鹰队的胜、负场次情况． (3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的 积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎． 5．假期，某校4 位师和 名学生组成的旅游团，准备到某地旅游，甲，乙两家旅行 社的服务质量相同，且报价都是每人200 元．经过协商，甲旅行社表示若4 位游客全额收 费，则给予其余游客七折优惠；乙旅行社表示若游客5 人以上(含5 人)可给予每位游客八折 优惠． (1)若有10 名学生参加旅游团，这个旅游团选择甲旅行社的总费用是_____________元，选 择乙旅行社的总费用是_____________元，选择_____________旅行社更省钱． (2)根据学生人数，该旅游团选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？ 6．材料一：对于任意一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的 数字与十位上的数字之差的绝对值的3 倍，则称这个四位数为“好运数”．例如： ，因为 ，所以 是“好运数”． 材料二：将一个四位正整数m 的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数 m'， 规定：F(m)＝m﹣m'，例如：F(2146)＝2146 2416 ﹣ ＝﹣270． (1)判断 ， 是否为“好运数”，并说明理由； (2)“好运数” 的千位上的数字是十位上的数字的2 倍，个位上的数字是1，求 的最大 值． 7．如图，、B 两地相距90 千米，从到B 的地形依次为：50 千米平直公路，20 千米上坡公 路，20 千米平直公路．甲从地开汽车前往B 地，乙从B 地骑摩托车前往地，汽车上坡的速 度为100 千米/小时,平直公路的速度为120 千米/小时；摩托车下坡的速度为80 千米/小时， 平直公路的速度为60 千米/小时；甲、乙两人同时出发． (1)求甲从到B 地所需要的时间． (2)求乙从B 到地所需要的时间 (3)求两人出发后经过多少时间相遇？ 8．如图是某月的月历． (1)带阴影的方框中的9 个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2)如果将带阴影的方框移至图1 的位置，(1)中的关系还成立吗？ (3)不改