题型3 方程应用 类型1 二次方程及不等式42题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一一次方程及不等式 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某 校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 的导线，将其全部截成 和 两 种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方共有（ ） ．5 种 B．6 种 ．7 种 D．8 种 【答】 【分析】设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意，得出 ，进而 根据 为正整数，即可求解． 【详解】解：设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意得， ， 即 ， ∵ 为正整数， ∴ 则 ， 故有7 种方， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的 15 倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，可列出方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，则碳水化合物含量为 ， 则： ，即 ， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找 出合适的等量关系，列方程． 3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一 根绳子去量一根木条，绳子还剩余45 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺，问木条长 多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余45 尺”可知：绳子=木条+45，再根据 “将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺”可知： 绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺， 那么可列方程组为： ， 故选：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系， 列出相应的二元一次方程组． 4《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从 南海起飞，7 天到北海；大雁从北海起飞，9 天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 起飞，问经过多少天相遇？设经过x 天相遇，根据题意可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设总路程为1，野鸭每天飞 ，大雁每天飞 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程+ 大雁的路程=总路程即可得出答． 【详解】解：设经过x 天相遇， 根据题意得： x+ x=1，∴（ + ）x=1，故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量 关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键． 5．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经 十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸； 屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方程为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设木长 尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对 折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长 尺，根据题意得， ， 故选： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 6《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 问鸡兔各几何．”设鸡有x 只，可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】设鸡有x 只，则兔子有（35-x）只，根据足共有94 列出方程即可． 【详解】解：设鸡有x 只，则兔子有（35-x）只， 根据题意可得：2x+4(35-x)=94，故选：D． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问 鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35 个 头；从下面数，有94 条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有 只，兔有 只，则所列方程组 正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据题意，由设鸡有 只，兔有 只，则由等量关系有35 个头和有94 条腿列出 方程组即可得到答． 【详解】解：设鸡有 只，兔有 只，则由题意可得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程 组是解决问题的关键． 8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村 振兴的民生产业．某村有土地60 公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，其余的土地开辟 为茶和种植粮食，己知茶的面积比种粮食面积的2 倍少3 公顷，问茶和种粮食的面积各多 少公顷？设茶的面积为x 公顷，种粮食的面积为y 公顷，可列方程组为( ) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据某村有土地60 公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，得到种植茶和种植粮 食的面积为 ，结合茶的面积比种粮食面积的2 倍少3 公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶的面积为x 公顷，种粮食的面积为y 公顷， 由题意，得： ， 即： 故选B． 【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的 关键． 9．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x 只鸡，y 只兔．依题意，可列方程 组为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据等量关系“鸡的只数 兔的只数 ”和“2 鸡的只数 兔的只数 ” 即可列出方程组． 【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔， 由题意可得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故选：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系． 10 古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它 的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是 ，则所列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】 根据题意列方程 ． 【详解】 解：由题意可得 ． 故选 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键． 11 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七 客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7 人，那么有7 人无房可住；如果一间客房住9 人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x 间，房客y 人，则列出关于x、y 的二元一次方程组正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出 方程组即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意得： ，故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 12．“市长杯”青少年校足球联赛的比赛规则是：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场 得0 分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9 场，只负了2 场，共得17 分．那么该队胜了 几场，平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由题意知：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，某校足球队在第一轮 比赛中赛了9 场，只负了2 场，共得17 分等量关系：胜场 平场 负场 ，得分总和为 17． 【详解】解：设该队胜了x 场，平了y 场， 根据题意，可列方程组为： ， 故选：． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键 性词语，找出等量关系，列出方程组． 13 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八， 盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱， 会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为 人，物价为 钱， 下列方程组正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】 根据题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱，抓住等量关系每人出八钱8x 剩三钱；每人出七钱7x 少4 钱，列方程组即可． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解：由题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x-3, 每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4， ∴联立方程组为 ． 故选：． 【点睛】 本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓 住等量关系：每人出八钱8x 剩三钱；每人出七钱7x 少4 钱列方程组是解题关键． 14．（2023·黑龙江·统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余 文化生活，计划出资500 元全部用于采购，B，三种图书，种每本30 元，B 种每本25 元， 种每本20 元，其中种图书至少买5 本，最多买6 本（三种图书都要买），此次采购的方有 （ ） ．5 种 B．6 种 ．7 种 D．8 种 【答】B 【分析】设采购种图书x 本，B 种图书y 本，种图书z 本，根据采购三种图书需500 元列出 方程，再依据x 的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购种图书x 本，B 种图书y 本，种图书z 本，其中 且 均为整数，根据题意得， ， 整理得， ， ①当 时， ， ∴ ∵ 且 均为整数， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ； ②当 时， ， ∴ ∵ 且 均为整数， ∴当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ； 综上，此次共有6 种采购方， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题 的关键． 15．《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非 常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有 只，兔有 只，那么可列方程组为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】一只鸡1 个头2 个足，一只兔1 个头4 个足，利用共35 头，94 足，列方程组即可 【详解】一只鸡1 个头2 个足，一只兔1 个头4 个足 设鸡有 只，兔有 只 由35 头，94 足，得： 故选：D 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查方程组的实际应用，注意结合实际情况，即一只鸡1 个头2 个足，一只 兔1 个头4 个足，去列方程 16．（2022 春·湖北十堰·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中 有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问 金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有 白银11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白 银重y 两，则可列方程组为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意第一个等量关系为9 枚黄金和11 枚白银的重量相等列二元一次方程；再 根据第二个等量关系为1 枚黄金和10 枚白银重量和比8 枚黄金和1 枚白银重量和大13 列二 元一次方程，即可得二元一次方程组 【详解】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得， 故选： 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找出两个等量关系是列方程组的关键 17．（2023·全国·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人 合伙买羊，每人出5 钱，还缺45 钱；每人出7 钱，还缺3 钱．问合伙人数是多少？为解决 此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________． 【答】 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x 人， 根据题意列方程 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 18 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不 知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6 竿，多14 竿；每人8 竿，恰好用完”若设有牧童x 人，根据 题意，可列方程为__________． 【答】6x+14=8x 【分析】 设有牧童x 人，根据“每人6 竿，多14 竿；每人8 竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列 出方程，即可． 【详解】 解：设有牧童x 人， 根据题意得：6x+14=8x， 故答是：6x+14=8x． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 19．（2023·辽宁大连·统考中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人 出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱， 会多钱；每人出元钱，又差 钱，问人数有多少．设有 人，则可列方程为：________ _______． 【答】 【分析】设有 人，每人出8 元钱，会多3 钱，则物品的钱数为： 元，每人出7 元 钱，又差4 钱，则物品的钱数为： 元，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】设有 人，每人出8 元钱，会多3 钱，则物品的钱数为： 元，每人出7 元 钱，又差4 钱，则物品的钱数为： 元， 则可列方程为： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 20．（2023·广东·统考中考真题）某商品进价4 元，标价5 元出售，商家准备打折销售，但 其利润率不能少于 ，则最多可打_______折． 【答】88 【分析】设打x 折，由题意可得 ，然后求解即可． 【详解】解：设打x 折，由题意得 ， 解得： ； 故答为：88． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的 关键． 21 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150 元/间， 双人间140 元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46 人的旅游团， 优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住 满，且一天共花去住宿费1310 元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共_ _______间； 【答】18． 【分析】 根据客房数×相应的收费标准=1310 元列出方程并解答． 【详解】 解：设住了三人间普通客房x 间，则住了两人间普通客房 间，由题意，得： + =1310， 解得：x=10， 则： =8， 所以，这个旅游团住了三人间普通客房10 间，住了两人间普通客房8 间，共18 间． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故答为：18． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方 程是解题关键． 22．（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生 丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生 丝 斤，干燥后耗损斤 两（古代中国斤等于 两）．今有干丝 斤，问原有生丝多 少？”则原有生丝为__________斤． 【答】 【分析】设原有生丝 斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝 斤，依题意， 解得： ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 23 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2 个 种奖品和4 个 种奖品共需100 元；购买5 个 种奖品和2 个 种奖品共需130 元．学校准备购买 两种奖品共20 个，且 种奖品的数量不小于 种奖品数量的 ，则在购买方中最少 费用是_____元． 【答】330 【分析】 设种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2 个种奖品和4 个 种奖品共 需100 元；购买5 个种奖品和2 个 种奖品共需130 元”，即可得出关于，B 的二元一次方 程组，在设购买种奖品m 个，则购买B 种奖品(20-m)个，根据购买种奖品的数量不少于B 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 种奖品数量的 ，即可得出关于m 的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根 据一次函数性质得出结果． 【详解】 解：设种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元， 依题意，得： ， 解得： ∴种奖品的单价为20 元，B 种奖品的单价为15 元． 设购买种奖品m 个，则购买B 种奖品 个，根据题意得到不等式： m≥ (20-m)，解得：m≥ ， ∴ ≤m≤20， 设总费用为，根