专题3.3 一元一次方程的应用【十二大题型】（原卷版）

专题33 一元一次方程的应用【十二大题型】 【人版】 【题型1 和、差、倍、分问题】.............................................................................................................................1 【题型2 数字问题】................................................................................................................................................. 2 【题型3 行程问题】................................................................................................................................................. 2 【题型4 销售问题】................................................................................................................................................. 4 【题型5 工程问题】................................................................................................................................................. 5 【题型6 配套问题】................................................................................................................................................. 5 【题型7 调配问题】................................................................................................................................................. 6 【题型8 水流问题】................................................................................................................................................. 7 【题型9 隧道或过桥问题】.....................................................................................................................................8 【题型10 几何图形问题】........................................................................................................................................8 【题型11 分段收费问题】........................................................................................................................................9 【题型12 方选择问题】.......................................................................................................................................... 10 【题型1 和、差、倍、分问题】 【例1】（2019·全国·七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生 戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与 红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2 倍根据信息，这群学生共 有______人 【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）子今年13 岁．父亲今年40 岁，是否有一年父 亲的年龄恰好是子年龄的4 倍？ 【变式1-2】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片 草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半 天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小 片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知， 此次参加社会实践活动的人数为_______人． 【变式1-3】（2021·全国·七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成 绩不达标的人数A校区和B校区共有600 人，其中不达标的人数中，A校区人数比B校区人 数的3 倍还多40 人．辅差工作任重而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达 标的人数必须共减少120 人，减少后使得两区总成绩不达标的人数中A校区人数是B校区 人数的3 倍． 1 （1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？ （2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？ 【题型2 数字问题】 【例2】（2022·黑龙江绥化·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中 的7 个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7 个数的和不可 能是（ ） ．63 B．70 ．91 D．105 【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）把9 个数填入3×3 的方格中，使其任意一行， 任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古 代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2 是仅可以看到部分数值的“九宫 格”，则其中的值为（ ） ．2 B．4 ．6 D．1 【变式2-2】（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上 的数字为y，根据题意，可列方程为：______． 【变式2-3】（2022·全国·七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 03 • 转化为分数时，可设03 • ＝x，则x＝03＋1 10x，解得x＝1 3，即03 • ＝1 3仿照此方法，将04 • 5 • 化成分数． 【题型3 行程问题】 【例3】（2022·上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从地出发，沿同一条笔直的公路 匀速前往相距360km 的B 地，半小时后甲发现有东西落在地，于是立即以原速返回地取物 品，当甲车到达地时，两车相距60 千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10km 继 1 续前往B 地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），当乙车行驶了3 小时的时候被 甲车追上，则甲车到达B 地时，乙车离B 地的距离是________km． 【变式3-1】（2022·四川巴中·七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向 运动．若甲的速度是乙的速度的2 倍，则甲运动2 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是 乙的速度的3 倍，则甲运动3 2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4 倍，则 甲运动4 3 周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0 点(12 点) 同时出发，分针旋转________周，时针和分针第一次相遇． 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务． 学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息： 我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同 的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G 字头，表示高速动 车组旅客列车；D 字动，表示动车组旅客列车；字头，表示城际旅客列车；K 学头，表示 快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“150” 次列车的平均速度是120km/，“K1334”次列车的平均速度是90km/，并且“150”次列车从 吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30 分钟（两列车中途停留时间均除外）． 兴趣小组提出了以下两个问题： (1)“150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？ (2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？ 小彬列的方程是“ x 90−30 60= x 120” 任务一：①小彬同学所列方程中的x 表示 ， ②小彬同学列方程所用的数量关系为 （“路程÷速度＝时间“除外）； 任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y 小时，请你 帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程． 【变式3-3】（2021·全国·七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km 的，B 两地同时出发，若甲的速度为40km/，乙的速度为30km/，设甲追到乙所花时间为 x，则可列方程为 ； 问题二：如图②，若将线段弯曲后视作钟表的一部分，线段B 对应钟表上的弧B（1 小时的 间隔），已知∠B＝30°． （1）分针的速度为每分钟转动 度；时针D 的速度为每分钟转动 度； （2）若从1：00 起计时，几分钟后分针与时针第一次重合？ （3）在（2）的条件下，几分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00 之间）？ 1 【题型4 销售问题】 【例4】（2022·重庆巴蜀中学二模）某商家为母亲节促销活动做准备，采购了一批三种品 牌的燕窝：小仙炖、燕之屋、仰燕堂，它们的数量（盒）之比为2：3：1．由于品质优良 宣传力度大，预订量暴增，于是加紧采购了第二批同种类型的燕窝，其中小仙炖增加的数 量占总增加数量的1 2，此时小仙炖总数量达到三种燕窝总量的4 9 ，而燕之屋和仰燕堂的总 数量恰好相等．若小仙炖、燕之屋、仰燕堂三种燕窝每盒的成本分别为500 元、420 元， 380 元，小仙炖的售价为每盒640 元，活动中将小仙炖的1 8作为样品给到店买家免费品尝， 促销结束后两批燕窝全部卖完，总利润率为16%，且燕之屋的销售单价等于另外两种燕窝 销售单价之和的3 7 ，则仰燕堂单价为______元． 【变式4-1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120 元，标价为180 元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【变式4-2】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1 号”玉米种子的价格为5 元/kg．如果 一次购买2kg 以上的种子，超过2kg 部分的种子价格打8 折．若王大叔一次付款90 元，则 能购买到___kg 的种子． 【变式4-3】（2022·江苏·九年级专题练习）某超市第一次以4450 元购进甲、乙两种商品， 其中乙商品的件数是甲商品件数的2 倍多15 件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：利润＝售价－进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品 的件数是第一次的2 倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完 1 以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？ 【题型5 工程问题】 【例5】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地 的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天， 午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草 地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此 次参加社会实践活动的人数为_______人． 【变式5-1】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学七年级阶段练习）挖一条水渠，甲、乙两队 单独做分别需要20 天、15 天完成．现在先由甲队单独挖6 天，然后两人合作挖一条水渠要 用____天． 【变式5-2】（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问 题，当地政府决定修建一条高速公路其中一段长为146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个 工程队负责施工甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天， 这3 天共掘进26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿 工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进 行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时 间比甲工程队多1 2． (1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5 天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？ (3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总 费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？ 【题型6 配套问题】 【例6】（2021·全国·七年级课时练习）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和4 块小月饼．制作1 块大月饼要用0.05 kg面粉，1 块小月饼要用0.02kg面粉． 现共有面粉4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？ 【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果 1m3木料可以做方桌的桌面40 个或做桌腿240 条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料 做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x 立方米木料做桌面， 由题意列方程，得__________． 【变式6-2】（2022·陕西汉中·七年级期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88 名工人，其中女工人数比男工人数的2 倍少20 人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身 50 个或盒底120 个． 1 (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么 调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【变式6-3】（2021·上海市南洋模范初级中学期末）某家具厂的设计师根据1:10的比例尺， 并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一 个工人每天可以制作2 个框架、或者制作3 个抽屉、或者制作5 扇门． (1)由刻度尺在图纸上测量可得，AB=4 cm、BC=1.5cm、BD=6cm，所以这个柜子的 表面积是______dm 2，体积是______dm 3． (2)工人有38 名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写 出每天完成的柜子数量是多少只？ 【题型7 调配问题】 【例7】（2021·全国·七年级专题练习）甲车队有汽车56 辆，乙车队有汽车32 辆，要使两 车队汽车一样多，设由甲队调出x 辆汽车给乙队，则可得方程（ ） ．56+x=32−x B．56−x=32+x ．56−x=32 D．32+x=56 【变式7-1】（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）某工厂甲车间有54 人，乙车 间有48 人，要使甲车间人数是乙车间人数的2 倍，则需要从乙车间调往甲车间 _____人． 【变式7-2】（2022·河北保定·七年级期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生 用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并 且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级2班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出 的筒身与筒底能配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与 筒底刚好配套？ 【变式7-3】（2020·浙江杭州·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220 人，在乙处植树的有96 人 （1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3 倍，应从乙处调多少人去甲处? 1 （2）为了尽快完成植树任务，现调m 人去两处支援，其中90<m<100，若要使甲处植树 的人数仍然是乙处植树人数的3 倍，则应调往甲，乙两处各多少人? 【题型8 水流问题】 【例8】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4 小时， 从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6 小时，已知船在静水的平均速度是30 千米/小时， 求水流速度． 【变式8-1】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3 h， 从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平 均速度． 【变式8-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的 问题和两名同学列的正确方程． 例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 25．已知水流的速度是3km/，求船在静水中的平均速度． 兵兵：2( x+3)=2.5( x−3) 倩倩：x 2−x 2.5=3×2 根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x 表示船在静水中的平均速度；② 倩倩所列方程中的x 表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x 表示甲乙两码头 的路程；④倩倩所列方程中：x 表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（ ）．①③B． ①④ ．②③ D．②④ 【变式8-3】（2020·贵州·沿河县第五中学七年级阶段练习）“绿水青山就是金山银山”的 科学论断，强调不以环境为代价推动经济增长．2017 年10 月“树立和践行绿水青山就是 金山银山的理念”写入中国共产党的党代会报告，且在表述中与“坚持节约资源和保护环 境的基本国策”一并成为新时代