专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】（解析版）

专题71 平面直角坐标系【八大题型】 【人版】 【题型1 判断点所在的象限】.................................................................................................................................1 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】.........................................................................................................................3 【题型3 点到坐标轴的距离】.................................................................................................................................4 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】................................................................................................................. 6 【题型5 坐标确定位置】.........................................................................................................................................8 【题型6 点在坐标系中的平移】...........................................................................................................................11 【题型7 图形在坐标系中的平移】.......................................................................................................................13 【题型8 图形在格点中的平移变换】................................................................................................................... 15 【知识点1 平面直角坐标系的相关概念】 （1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． （2）各部分名称：水平数轴叫x 轴 （横轴），竖直数轴叫y 轴 （纵轴），x 轴一般取向右 为正方向，y 轴 一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x 轴，又属于y 轴． （3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第 二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【题型1 判断点所在的象限】 【例1】（2022 春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x 3 ﹣，﹣y）在 （ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第四象限的横纵坐标范围，可求得x，y 的取值范围，再确定Q 点横纵坐 标的取值范围即可解答． 【解答】解：点P（x，y）在第四象限， ∴x＞0，y＜0， ∴﹣x 3 ﹣＜0，﹣y＞0， ∴点Q（﹣x 3 ﹣，﹣y）在第二象限． 故选：B． 1 【变式1-1】（2022 春•长沙期末）已知点P（﹣，b），b＞0，+b＜0，则点P 在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得、b 的符号，根据第一象限内点的横 坐标大于零，纵坐标大于零，可得答． 【解答】解：因为b＞0，+b＜0， 所以＜0，b＜0， 所以﹣＞0， 所以点P（﹣，b）在第四象限， 故选：D． 【变式1-2】（2022 春•青山区期末）已知，点的坐标为（m 1 ﹣，2m 3 ﹣），则点一定不会 在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组，解不等式组，不等式组无解 的选项符合题意． 【解答】解：选项，{ m−1＞0 2m−3＞0， 解得：m＞3 2，故该选项不符合题意； B 选项，{ m−1＜0 2m−3＞0，不等式组无解，故该选项符合题意； 选项，{ m−1＜0 2m−3＜0， 解得：m＜1，故该选项不符合题意； D 选项，{ m−1＞0 2m−3＜0， 解得：1＜m＜3 2，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（2022 春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答． 【解答】解：当x＞0，则x2+3x＞0，故点P（x，x2+3x）可能在第一象限； 当x＜0，则x2+3x＞0 或x2+3x＜0，故点P（x，x2+3x）可能在第二、三象限； 当x＝0 时，点P（x，x2+3x）在原点． 故点P（x，x2+3x）一定不在第四象限． 1 故选：D． 【知识点2 坐标轴上点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标 均为0 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 【例2】（2022 春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m 3 ﹣，m+1）在x 轴上，则点 P（m 1 ﹣，1﹣m）在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】根据x 轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，从而求出m 的值，进而求出点P 的 坐标，最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：由题意得： m+1＝0， ∴m＝﹣1， 当m＝﹣1 时，m 1 ﹣＝﹣2，1﹣m＝2， ∴点P（﹣2，2）在第二象限， 故选：B． 【变式2-1】（2022 春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2m 4 ﹣， m+1），若点P 在y 轴上，则m 的值为（ ） ．﹣1 B．1 ．2 D．3 【分析】根据y 轴上的点横坐标为0，可得2m 4 ﹣＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2m 4 ﹣＝0， 解得：m＝2， 故选：． 【变式2-2】（2022 春•仓山区校级期中）已知点（﹣3，2m+3）在x 轴上，点B（﹣4， 4）在y 轴上，则点（m，）在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用x 轴以及y 轴上点的坐标得出m，的值，进而得出答． 【解答】解：∵点（﹣3，2m+3）在x 轴上，点B（﹣4，4）在y 轴上， 2 ∴m+3＝0，﹣4＝0， 解得：m¿−3 2，＝4， 则点（m，）在第二象限． 1 故选：B． 【变式2-3】（2022 春•东莞市期中）已知点P（2 4 ﹣，+1），若点P 在坐标轴上，则点P 的坐标为 ． 【分析】分两种情况：当点P 在x 轴上，当点P 在y 轴上，分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当点P 在x 轴上，+1＝0， ∴＝﹣1， 当＝﹣1 时，2 4 ﹣＝﹣6， ∴点P 的坐标为：（﹣6，0）， 当点P 在y 轴上，2 4 ﹣＝0， ∴＝2， 当＝2 时，+1＝3， ∴点P 的坐标为：（0，3）， 综上所述，点P 的坐标为：（﹣6，0）或（0，3）， 故答为：（﹣6，0）或（0，3）． 【知识点3 点到坐标轴的距离】 在平面直角坐标系中，点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的 绝对值 【题型3 点到坐标轴的距离】 【例3】（2022 春•巴南区期末）已知点P 在x 轴的下方，若点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，则点P 的横坐标与纵坐标的和为 ． 【分析】根据题意可得点P 在第三象限或第四象限，再根据点到x 轴的距离等于纵坐标 的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点P 在x 轴下方，点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4， ∴点P 的横坐标为±4，纵坐标为﹣3， ∴点P 的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，﹣3）， 点P 的横坐标与纵坐标的和为4 3 ﹣＝1 或﹣4 3 ﹣＝﹣7． 故答为：1 或﹣7． 【变式3-1】（2021 秋•城固县期末）已知点M（，b）在第一象限，点M 到x 轴的距离等 于它到y 轴距离的2 倍，且点M 到两坐标轴的距离之和为6，则点M 的坐标为 ． 【分析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离是点的横坐标的绝对 值，可得答． 【解答】解：因为点M（，b）在第一象限， 1 所以＞0，b＞0， 又因为点M（，b）在第一象限，点M 到x 轴的距离等于它到y 轴距离的2 倍，且点M 到两坐标轴的距离之和为6， 所以{ b=2a a+b=6， 解得{ a=2 b=4， 所以点M 的坐标为（2，4）． 故答为：（2，4）． 【变式3-2】（2022 春•云阳县期中）坐标平面内有一点（x，y），且点到x 轴的距离为 3，到y 轴的距离恰为到x 轴距离的2 倍．若xy＜0，则点的坐标为（ ） ．（6，﹣3） B．（﹣6，3） ．（3，﹣6）或 （﹣3，6） D．（6，﹣3）或 （﹣6，3） 【分析】根据题意可得x，y 异号，然后再利用点到x 的距离等于纵坐标的绝对值，点到 y 的距离等于横坐标的绝对值，即可解答． 【解答】解：∵xy＜0， ∴x，y 异号， ∵点到x 轴的距离为3，到y 轴的距离恰为到x 轴距离的2 倍， ∴点（6，﹣3）或（﹣6，3）， 故选：D． 【变式3-3】（2021 秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是（3 5 ﹣，+1）．若 点到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，且点在y 轴的右侧，则的值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．1 或 3 【分析】根据点到x 轴的距离与到y 轴的距离相等可得3 5 ﹣＝+1 或3 5 ﹣＝﹣（+1）， 解出的值，再由点在y 轴的右侧可得3 5 ﹣＞0，进而可确定的值． 【解答】解：∵点到x 轴的距离与到y 轴的距离相等， 3 5 ∴﹣＝+1 或3 5 ﹣＝﹣（+1）， 解得：＝3 或1， ∵点在y 轴的右侧， ∴点的横坐标为正数， 3 5 ∴﹣＞0， ∴＞5 3， ∴＝3． 1 故选：． 【知识点4 平行与坐标轴点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，与x 轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y 轴平行的直线上 的所有点的横坐标相同 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 【例4】（2022 春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为（3，2），B 平行于x 轴，若B＝4，则点B 的坐标为（ ） ．（7，2） B．（1，5） ．（1，5）或（1，﹣1） D．（7，2）或（﹣1，2） 【分析】线段B∥x 轴，、B 两点纵坐标相等，又B＝4，B 点可能在点左边或者右边，根 据距离确定B 点坐标． 【解答】解：∵B∥x 轴， ∴、B 两点纵坐标都为2， 又∵B＝4， ∴当B 点在点左边时，B（﹣1，2）， 当B 点在点右边时，B（7，2）； 故选：D． 【变式4-1】（2022 春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点（﹣2，1），B（2，3）， （，b），若B∥x 轴，∥y 轴，则点的坐标为（ ） ．（﹣2，1） B．（2，﹣3） ．（2，1） D．（﹣2，3） 【分析】根据已知条件即可得到结论． 【解答】解：∵点（﹣2，1），B（2，3），（，b），B∥x 轴，∥y 轴， ∴b＝3，＝﹣2， ∴点的坐标为（﹣2，3）， 故选：D． 【变式4-2】（2022 春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P 和点Q 的坐标分别为P （﹣2，m），Q（﹣2，1），点P 在点Q 的上方，线段PQ＝5，则m 的值为（ ） ．6 B．5 ．4 D．7 【分析】借助图形，采用数形结合的思想求解． 【解答】解：∵P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P 在点Q 的上方，线段PQ＝5， ∴m＝1+5＝6． 故选：． 【变式4-3】（2022 春•硚口区期中）如图，已知点（4，0），B（0，2），（﹣5，0）， 1 D∥B 交y 轴于点D．点P（m，）为线段D 上（端点除外）一点，则m 与满足的等量关 系式是（ ） ．m+2＝﹣5 B．2m+＝﹣10 ．m﹣＝﹣5 D．2m﹣＝﹣6 【分析】利用平移的性质可得点B 与对应时，点的对应点为（﹣1，﹣2），由此可确定 点P 满足的等量关系式． 【解答】解：∵B∥D，（4，0），B（0，2），（﹣5，0）， 当B 与对应时，点平移后对应的点是（﹣1，﹣2）， ∵点P（m，）为线段D 上（端点除外）一点， 将点（﹣5，0）和（﹣1，﹣2）分别代入m+2＝﹣5，2m+＝﹣10，m﹣＝﹣5，2m﹣＝ ﹣6 中， 只有m+2＝﹣5 满足条件． 故选：． 【题型5 坐标确定位置】 【例5】（2022 春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的 正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣ 2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ） ．（﹣2，3） B．（0，﹣5） ．（﹣3，1） D．（﹣4，2） 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答． 【解答】解：如图所示：“将”的位置应表示为（﹣3，1）． 故选：． 1 【变式5-1】（2021 秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌 人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为 （﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ） ．处 B．B 处 ．处 D．D 处 【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x 轴和y 轴的大致位置，然后画 出直角坐标系即可得到答． 【解答】解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2）， ∴它们的连线平行于x 轴， ∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y 轴要远，如图， ∴B 点可能为坐标原点， ∴敌军指挥部的位置大约是B 处． 故选：B． 【变式5-2】（2022 春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公对内的 6 棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）在如图所示的正方形格中建立平面直角坐标系xy，使得古树、B 的位置分别表示 为（1，2），B（0，﹣1）； （2）在（1）建立的平面直角坐标系xy 中， ①表示古树的位置的坐标为 ； 1 ②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置； ③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→ （0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→ （﹣1，﹣2）”表示林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出林工人从原点出 发巡视6 棵古树的路线（画出一条即可）． 【分析】（1）根据（1，2），B（0，﹣1）建立坐标系即可； （2）①根据坐标系中的位置即可求得； ②直接根据点的坐标描出各点； ③根据6 棵古树的位置得出运动路线即可． 【解答】解：（1）如图： （2）①古树的位置的坐标为（﹣1，2）； 故答为：（﹣1，2）； ②标出D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图； ③林工人从原点出发巡视6 棵古树的路线： （0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，3）→（﹣1，2）→（﹣1，2）→（0，1）． 【变式5-3】（2022 春•海淀区校级期中）如图1，将射线X 按逆时针方向旋转β 角（0°≤β ＜360°），得到射线Y，如果点P 为射线Y 上的一点，且P＝m，那么我们规定用（m， β）表示点P 在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2 中，如果M＝5，∠XM 1 ＝110，那么点M 在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题： （1）如图3，点在平面内的位置记为（6，30°），那么＝ ，∠X＝ ． （2）如果点、B 在平面内的位置分别记为（4，30°），B（3，210°），则、B 两点间的 距离为 ． 【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与 原点的连线与x 轴所夹的角的度数； （2）根据相应的度数判断出B 是一条线段，从而得出B 的长为4+3＝7． 【解答】解：（1）根据点在平面内的位置记为（6，30°）可知，＝6，∠X＝30°． 故答为：6，30°； （2）如图所示：∵（4，30°），B（3，210°）， ∴∠X＝30°，∠BX＝210°， ∴∠B＝180°， ∵＝4，B＝3， ∴B＝4+3＝7． 故答为：7． 【知识点5 点在坐标系中的平移】 平面直角坐标内点的平移规律，设>0，b>0 （1）一次平移：P（x，y） P'（x＋，y） P（x，y） P'（x，y －b） （2）二次平移： 【题型6 点在坐标系中的平移】 【例6】（2022 春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3， ﹣2），经过的平移变换为（ ） P（x， y） P （x － ，y ＋ b） 向左平移个单位 再向上平移b 个单 位 向下平移b 个单位 向右平移个单位 1 ．先向左平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度 B．先向右平移4 个单位长度，再向上平移6 个单位长度 ．先向左平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度 D．先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度 【分析】根据点向左平移，纵坐标不变的特点即可求解． 【解答】解：∵点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2）， 3 1 ∴﹣﹣＝﹣4， 2 ∴﹣﹣（﹣4）＝2， ∴先向左平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度 故选：． 【变式6-1】（2022 春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m 1 ﹣，m 3 ﹣