第09讲 函数与平面直角坐标系（练习）（解析版）

第09 讲 函数与平面直角坐标系 目 录 题型01 用有序数对表示点的位置 题型02 已知点的坐标确定点到直线的距离 题型03 已知点到直线的距离求点的坐标 题型04 判断点所在的象限 题型05 由点在坐标系的位置确定点的坐标 题型06 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 题型07 探索点的坐标规律 题型08 实际问题中用坐标表示地点/路线 题型09 根据方位描述物体具体位置 题型10 平面直角坐标系的面积问题 题型11 函数解析式 题型12 求自变量的取值范围 题型13 求自变量的值或函数值 题型14 函数图象的识别 题型15 从函数图象中获取信息 题型16 动点问题的函数图象 题型01 用有序数对表示点的位置 1．（2021·湖北宜昌·统考模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和 （3，4）表示的位置是（ ） ．同一行 B．同一列 ．同行同列 D．不同行不同列 【答】B 【分析】数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此可作出判断． 【详解】解：第二列第一行用数对（2，1）表示，则数对（3，6）表示第三列，第六行，数对（3，4）表 示表示第三列，第四行．所以数对（3，6）和（3，4）表示的位置是同一列不同行． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，一般用数对表示点位置的方法是第一个数字表示列，第二个数字 表示行，也有例外，具体题要根据已知条件确定． 2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数❑ √3，❑ √6，3，2❑ √3，❑ √15，3 ❑ √2，❑ √21，2❑ √6，…，排列方 式如下：❑ √3，❑ √6，3，2❑ √3；❑ √15，3 ❑ √2，❑ √21，2❑ √6；…．若3 的位置记为(1,3)，3 ❑ √2的位置记为 (2,2)，则3 ❑ √5的位置记为 ． 【答】(4,3) 【分析】根据题意，3 个一组，求得45是第15 个数，为第4 组第3 个数，即可求解． 【详解】解：∵❑ √3，❑ √6，3，2❑ √3；❑ √15，3 ❑ √2，❑ √21，2❑ √6；…．若3 的位置记为(1,3)，3 ❑ √2的位置记 为(2,2)， ∵3 ❑ √5=❑ √45， 45是第15 个数，为第4 组第3 个数，则3 ❑ √5的位置记为(4,3)， 故答为：(4,3)． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）观察如图所示的象棋棋盘，(5,1)表示“帅”的位置， 马走“日”字，那么“马8 进7”（即第8 列的马前进到第7 列）后的位置可表示为 ． 【答】(7,2) 【分析】根据(5,1)表示“帅”的位置，然后根据马走“日”字，可以得出“马8 进7”后的位置． 【详解】解：∵(5,1)表示“帅”的位置， 又∵马走“日”字， “ ∴马8 进7”（即第8 列的马前进到第7 列）后的位置可表示为：(7,2)． 故答为：(7,2)． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，明确数对表示位置的方法，是解题的关键． 题型02 已知点的坐标确定点到直线的距离 1．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知点A （1，2），过点向x 轴作垂线，垂足为M，则点M 的坐标为 （ ） ．（1，0） B．（2，0） ．（0，1） D．（0，2） 【答】 【分析】根据垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相等，x轴上的点的纵坐标为0 来进行求解 【详解】解：∵A (1,2)，点向x 轴作垂线，垂足为M， ∴M点的纵坐标为0，横坐标与A点相等， 即M (1,0) 故选：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相等是解答关键 2．（2023·四川泸州·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，以点(−3,4 )为圆心，4 为半径的圆与x轴的位置 关系是（ ） ．相交 B．相离 ．相切 D．无法判断 【答】 【分析】先找出圆心到x轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到x轴的距离小于半径，则圆与x轴相 交，大于半径则圆与x 相离，若二者相等则相切． 【详解】解：∵圆心的坐标为(−3,4 ) ∴圆心与x轴距离为4，等于其半径4， ∴以点(−3,4 )为圆心，4 为半径的圆与x轴的关系为相切． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，点到坐标轴的距离，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大 小关系对应的位置关系是关键． 3．（2021·广东广州·校考二模）在平面直角坐标系中，点（﹣1，3），点P（0，y）为y 轴上的一个动点， 当y＝ 时，线段P 的长得到最小值． 【答】3 【分析】根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：根据垂线段最短得：当P⊥y 轴时，P 的值最短，此时P（0，3）， ∴y＝3， 故答为：3． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离 等于横坐标的绝对值是解题的关键． 题型03 已知点到直线的距离求点的坐标 1．（2023·四川成都·成都七中校考三模）已知第二象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则 P点的坐标是 ． 【答】(−3,4) 【分析】根据坐标的表示方法，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且它在第二象限内即可得到点P 的坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且它在第二象限内， ∴点P的坐标为(−3,4)． 故答为：(−3,4)． 【点睛】此题考查了点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横 坐标的长度． 题型04 判断点所在的象限 1．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）在平面直角坐标系中，将点P (−3,a 2+1)向右平移 4 个单位后得到点所在的象限是（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】向右平移，横坐标加，纵坐标不变；另a 2≥0，故在第一象限． 【详解】P (−3,a 2+1)向右平移4 个单位后得到点坐标为(1,a 2+1)， ∵a 2+1>0 ∴新点在第一象限． 故选： 【点睛】本题考查点平移的坐标变化，直角坐标系各象限点的坐标符号，掌握点平移与坐标的联系是解题 的关键． 2．（2023·广东广州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点P (x1, y1)，Q (x2, y2)，我们把点 (x2−x1, y2−y1)叫做点P 到点Q 的“位移点”，则点A (3,4 )到点B (1,2)的“位移点”在第 象限． 【答】三 【分析】先根据“位移点”的定义求出点到点B 的“位移点”，再判断其位置即可． 【详解】解：点A (3,4 )到点B (1,2)的“位移点”是(1−3,2−4 )，即(−2,−2)，在第三象限； 故答为：三． 【点睛】本题考查了新定义题型—“位移点”以及点的坐标，正确理解“位移点”的概念，得出点到点B 的“位移点”是解题的关键． 3．（2023·安徽蚌埠·校联考二模）如果点P (3，a)在第一象限，则点Q (a，−a)在第 象限． 【答】四 【分析】先根据第一象限的点横纵坐标都为正求出a>0，进而得到−a<0，再根据第四象限的点的坐标特 征即可得到答． 【详解】解；∵点P (3，a)在第一象限， ∴a>0， ∴−a<0， ∴点Q (a，−a)在第四象限， 故答为：四． 【点睛】本题主要考查了坐标系中每个象限内的点的坐标特征，熟知每个象限的点的坐标特征是解题的关 键：第一象限¿，第二象限¿，第三象限¿，第四象限¿． 题型05 由点在坐标系的位置确定点的坐标 1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点A (−3,2)，B (1,4 )，C (x , y )，若AC ∥x 轴，则线段BC的最小值及此时点的坐标分别为（ ） ．2, (1,2) B．6, (−3,4 ) ．4 , (1,0) D．1, (0,4 ) 【答】 【分析】由AC ∥x轴，A (−3,2)，根据坐标的定义可求得y 值，根据线段BC最小，确定BC ⊥AC，垂足 为点，进一步求得BC的最小值和点的坐标． 【详解】解：如图， ∵AC ∥x轴， ∴点的纵坐标为与点的纵坐标相同，即y=2， ∵当BC ⊥AC时，线段BC最短，此时BC ∥y轴， ∴此时点的横坐标与B 点的横坐标相同，即x=1， 即C (1,2)，此时BC=4−2=2． 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最 短是解题的关键． 2．（2023 顺德区二模）在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为（ ） ．(−2,−3) B．(−3,−2) ．(2,−3) D．(2,3) 【答】 【分析】根据两个点关于x 轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数即可判断． 【详解】解：因为P (−2，3)与Q 点关于x 轴对称， ∴Q (−2，−3)， 故选：． 【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特征，解题关键是牢记两个点关于x 轴对称，则横坐标相等， 纵坐标互为相反数． 3．（2023·山西吕梁·统考一模）如图，△OAB的顶点与坐标原点重合，顶点，B 分别在第二、三象限，且 AB⊥ x轴，若AB=2，OA=OB=¿ ❑ √5，则点的坐标为（ ） ．(−2，1) B．(2，−1) ．(−2，−1) D．(2，1) 【答】 【分析】设AB与x 轴交于点，利用勾股定理求出OC长，根据点所在象限写出坐标． 【详解】解：设AB与x 轴交于点， ∵OA=OB，AB⊥ x轴， ∴AC=BC=1, ∴OC= ❑ √OA 2−AC 2= ❑ √(❑ √5) 2−1 2=2， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为(−2，1) 故选． 【点睛】本题考查勾股定理，点的坐标，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点A (−4,3)，点B (1,3)，点C (−2,5)，若在该 坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S△ABD=10，点D 的坐标为 ． 【答】(−2,7)或(−2,−1)/(−2,−1)或(−2,7) 【分析】将点A (−4,3)，点B (1,3)，点C (−2,5)的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点和点B 的坐标可 知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点的坐标及CD∥y轴，可知点D 的横坐标，设点D 的纵坐标 为m；然后根据S△ABD=10，可得关于m 的方程，解得m 的值即可． 【详解】解：将点A (−4,3)，点B (1,3)，点C (−2,5)的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示： ∵点A (−4,3)，点B (1,3)， ∴AB∥x轴， ∴AB=1−(−4 )=5， ∵点C (−2,5)，CD∥y轴， ∴点D 的横坐标为−2，设点D 的纵坐标为m， ∵S△ABD=10， ∴1 2 5×|m−3|=10， ∴m=−1或7． ∴点D 的坐标为(−2,7)或(−2,−1)． 故答为：(−2,7)或(−2,−1)． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形 结合是解题的关键． 5．（2023·江西吉安·校考模拟预测）线段AB的长度为3且平行与y轴，已知点A的坐标为(−1，2)，则点 B的坐标为 ． 【答】(−1，5)或(−1，−1)/(−1，−1)或(−1，5) 【分析】根据平行与y 轴的直线上的点横坐标相同进行求解即可． 【详解】解：当点B 在点上方时， ∵线段AB的长度为3且平行与y轴，点A的坐标为(−1，2)， ∴点B 的坐标为(−1，2+3)，即(−1，5)； 当点B 在点下方时， ∵线段AB的长度为3且平行与y轴，点A的坐标为(−1，2)， ∴点B 的坐标为(−1，2−3)，即(−1，−1)； 综上所述，点B 的坐标为(−1，5)或(−1，−1)． 故答为：(−1，5)或(−1，−1)． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在正方形格中，每个小正方形的边长为1，格点 △ABC的顶点、的坐标分别为(−4,3)、(−1,1)． (1)请在图中正确画出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y 轴对称的△A ' B 'C '，点，B，的对应点分别是A '，B '，C '； (3)点B '的坐标为______________． 【答】(1)见解析； (2)见解析； (3)(2，−1) 【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可； （2）先找出、B、、三点关于y 轴对称的对称点A ' 、B ' 、C '，连接三点画出三角形； （3）由直角坐标系即可得到B '点的坐标． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如下图所示： （2）解：△A ' B 'C '如图所示： （3）解：由图可知B '点的坐标为(2，−1)． 【点睛】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想 是解决本题的关键． 题型06 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 题型07 1．（2023·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，将点A(a,1−a)先向左平移3 个单位得点A1， 再将A1向上平移1 个单位得点A2，若点A2落在第四象限，则a的取值范围是（ ） ．2<a<3 B．a<2或a>3 ．a>2 D．a>3 【答】D 【分析】根据平移的性质表示出平移后的点的坐标，再利用第四象限内点的坐标特点得出答． 【详解】∵将点A(a,1−a)先向左平移3 个单位得点A1， ∴A1坐标为(a−3,1−a)， ∵再将A1向上平移1 个单位得点A2， ∴点A2的坐标为(a−3,2−a)， ∵点A2落在第四象限， ∴¿，解得：a>3． 故选：D 【点睛】此题考查点的平移规律和象限点的坐标特点，解题关键是明确不同象限点坐标的特点． 2．（2022·山东临沂·统考二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3 个单位得点P1，再将 P1向下平移3 个单位得点P2，若点P2落在第四象限，则x 的取值范围是（ ） ．x>3 B．−2<x<3 ．x←2 D．x←2或x>3 【答】B 【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：P (-x，1-x)向右平移3 个单位，得点P1 (-x+3，1-x)， 再将P1(-x+3，1-x)向下平移3 个单位得到P2 (-x+3，1-x-3)， ∵P2位于第四象限， ∴¿， ∴¿，即−2<x<3． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移 加，下移减． 3．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知点A(a+3,2−3a)在第二象限，则a的取值范围是 ． 【答】a←3 【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正列出不等式即可求解． 【详解】解：因为点A(a+3,2−3a)在第二象限， 所以，¿， 解得：a←3． 故答为：a←3 【点睛】本题考查了象限内点的坐标的特征，解题关键是明确第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 题型07 探索点的坐标规律 1．（2021·河南·校联考三模）如图：正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)；若正方形 ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…， 则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ） ．(3,−3) B．(3,3) ．(−3,3) D．(−3,−3) 【答】 【分析】由A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)，四边形ABCD是正方形，可得C(3,3)，经过第1 次翻折后 点C对应点的坐标为(3,−3)，第2 次翻折后点C对应点的坐标为(−3,−3)，第3 次翻折后点C对应点的坐 标为(−3,3)，第4 次翻折后点C对应点的坐标为(3,3)，根据规律即可得经过第2021 次翻折后点C对应点 的坐标为(3,−3)． 【详解】解：∵A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)， ∴AB=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=2， ∴C(3,3)， ∴第1 次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)，第2 次翻折后点C对应点的坐标为(−3,−3)，第3 次翻折 后点C对应点的坐标为(−3,3)，第4 次翻折后点C对应点的坐标为(3,3)， 而2021=505×4+1， ∴经过第2021 次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)， 故选：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的翻折，解题的关键是掌握翻折的规律，理解第2021 次翻折和第1 次 翻折结果相同． 2．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图所示，在台球桌面BD 上建立平面直角坐标系，点P 从(0,1)出发沿 图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P 的运动速度为每秒❑ √2 个单位长度，则第2022 秒时点P 的坐标为（ ） ．(0,1) B．(1,0) ．(2,1) D．(3,2) 【答】 【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程3 ❑ √2+❑ √2+3 ❑ √2+❑ √2=8 ❑ √2，再由运动速 度得出运动一周所用的时间，从而得出第2022 秒的小球所在位置． 【详解】解：根据题意画出图形得： 小球运动一周所走的路程3 ❑ √2+❑ √2+3 ❑ √2+❑ √2=8 ❑ √2， ∵小球以每秒❑ √2个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：8 ❑ √2÷ ❑ √2=8（秒）， ∴2022÷8=252…6， ∴第2022 秒的小球所在位置为点E， ∴点E 的坐标为(2，1)． 故选：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键． 3．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1 的正方形PB 沿x 轴正方向连续 翻转2019 次，点P 依次落在点P1, P2, P3, P4,..., P2019的位置，则P2019的横坐标为（ ） ．2019 B．2018 ．2017 D．2016 【答】B 【分析】观察图形和各点坐标可知：点P到P4要翻转4 次为一个循环，P到P4横坐标刚好加4，P到P2处 横坐标加3，按照此规律，求出P2019的横坐标，进而求出答． 【详解】解：由题意可知：点P到P4要翻转4 次为一个循环，P(−1,