专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】（原卷版）

专题71 平面直角坐标系【八大题型】 【人版】 【题型1 判断点所在的象限】.................................................................................................................................1 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】.........................................................................................................................2 【题型3 点到坐标轴的距离】.................................................................................................................................2 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】................................................................................................................. 3 【题型5 坐标确定位置】.........................................................................................................................................3 【题型6 点在坐标系中的平移】.............................................................................................................................5 【题型7 图形在坐标系中的平移】.........................................................................................................................6 【题型8 图形在格点中的平移变换】.....................................................................................................................7 【知识点1 平面直角坐标系的相关概念】 （1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． （2）各部分名称：水平数轴叫x 轴 （横轴），竖直数轴叫y 轴 （纵轴），x 轴一般取向右 为正方向，y 轴 一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x 轴，又属于y 轴． （3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第 二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【题型1 判断点所在的象限】 【例1】（2022 春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x 3 ﹣，﹣y）在 （ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（2022 春•长沙期末）已知点P（﹣，b），b＞0，+b＜0，则点P 在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（2022 春•青山区期末）已知，点的坐标为（m 1 ﹣，2m 3 ﹣），则点一定不会 在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（2022 春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 1 【知识点2 坐标轴上点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标 均为0 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 【例2】（2022 春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m 3 ﹣，m+1）在x 轴上，则点 P（m 1 ﹣，1﹣m）在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（2022 春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2m 4 ﹣， m+1），若点P 在y 轴上，则m 的值为（ ） ．﹣1 B．1 ．2 D．3 【变式2-2】（2022 春•仓山区校级期中）已知点（﹣3，2m+3）在x 轴上，点B（﹣4， 4）在y 轴上，则点（m，）在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（2022 春•东莞市期中）已知点P（2 4 ﹣，+1），若点P 在坐标轴上，则点P 的坐标为 ． 【知识点3 点到坐标轴的距离】 在平面直角坐标系中，点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的 绝对值 【题型3 点到坐标轴的距离】 【例3】（2022 春•巴南区期末）已知点P 在x 轴的下方，若点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，则点P 的横坐标与纵坐标的和为 ． 【变式3-1】（2021 秋•城固县期末）已知点M（，b）在第一象限，点M 到x 轴的距离等 于它到y 轴距离的2 倍，且点M 到两坐标轴的距离之和为6，则点M 的坐标为 ． 【变式3-2】（2022 春•云阳县期中）坐标平面内有一点（x，y），且点到x 轴的距离为 3，到y 轴的距离恰为到x 轴距离的2 倍．若xy＜0，则点的坐标为（ ） ．（6，﹣3） B．（﹣6，3） ．（3，﹣6）或 （﹣3，6） D．（6，﹣3）或 （﹣6，3） 【变式3-3】（2021 秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是（3 5 ﹣，+1）．若 点到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，且点在y 轴的右侧，则的值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．1 或 3 【知识点4 平行与坐标轴点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，与x 轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y 轴平行的直线上 1 的所有点的横坐标相同 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 【例4】（2022 春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为（3，2），B 平行于x 轴，若B＝4，则点B 的坐标为（ ） ．（7，2） B．（1，5） ．（1，5）或（1，﹣1） D．（7，2）或（﹣1，2） 【变式4-1】（2022 春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点（﹣2，1），B（2，3）， （，b），若B∥x 轴，∥y 轴，则点的坐标为（ ） ．（﹣2，1） B．（2，﹣3） ．（2，1） D．（﹣2，3） 【变式4-2】（2022 春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P 和点Q 的坐标分别为P （﹣2，m），Q（﹣2，1），点P 在点Q 的上方，线段PQ＝5，则m 的值为（ ） ．6 B．5 ．4 D．7 【变式4-3】（2022 春•硚口区期中）如图，已知点（4，0），B（0，2），（﹣5，0）， D∥B 交y 轴于点D．点P（m，）为线段D 上（端点除外）一点，则m 与满足的等量关 系式是（ ） ．m+2＝﹣5 B．2m+＝﹣10 ．m﹣＝﹣5 D．2m﹣＝﹣6 【题型5 坐标确定位置】 【例5】（2022 春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的 正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣ 2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ） ．（﹣2，3） B．（0，﹣5） ．（﹣3，1） D．（﹣4，2） 【变式5-1】（2021 秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌 人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为 1 （﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ） ．处 B．B 处 ．处 D．D 处 【变式5-2】（2022 春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公对内的 6 棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）在如图所示的正方形格中建立平面直角坐标系xy，使得古树、B 的位置分别表示 为（1，2），B（0，﹣1）； （2）在（1）建立的平面直角坐标系xy 中， ①表示古树的位置的坐标为 ； ②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置； ③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→ （0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→ （﹣1，﹣2）”表示林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出林工人从原点出 发巡视6 棵古树的路线（画出一条即可）． 【变式5-3】（2022 春•海淀区校级期中）如图1，将射线X 按逆时针方向旋转β 角（0°≤β ＜360°），得到射线Y，如果点P 为射线Y 上的一点，且P＝m，那么我们规定用（m， β）表示点P 在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2 中，如果M＝5，∠XM ＝110，那么点M 在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题： （1）如图3，点在平面内的位置记为（6，30°），那么＝ ，∠X＝ ． （2）如果点、B 在平面内的位置分别记为（4，30°），B（3，210°），则、B 两点间的 距离为 ． 1 【知识点5 点在坐标系中的平移】 平面直角坐标内点的平移规律，设>0，b>0 （1）一次平移：P（x，y） P'（x＋，y） P（x，y） P'（x，y －b） （2）二次平移： 【题型6 点在坐标系中的平移】 【例6】（2022 春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3， ﹣2），经过的平移变换为（ ） ．先向左平移4 个单位长度，再向下平移6 个单位长度 B．先向右平移4 个单位长度，再向上平移6 个单位长度 ．先向左平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度 D．先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度 【变式6-1】（2022 春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m 1 ﹣，m 3 ﹣）向上 平移2 个单位长度得到点M'，若点M'在x 轴上，则点M 的坐标是（ ） ．（2，﹣2） B．（14，2） ．（﹣2，−10 3 ） D．（8，0） 【变式6-2】（2022 春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（，b）向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，得到点Q．若点Q 位于第四象限，则，b 的取值范围是 （ ） ．＞0，b＜0 B．＞1，b＜2 ．＞1，b＜0 D．＞﹣3，b＜2 【变式6-3】（2021 秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（﹣1，5）向左平移3 个 单位得到点Q（2 2 ﹣b，5），则2+4b+3 的值为 ． 【知识点6 图形在坐标系中的平移】 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新 图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减 去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度．（即：横坐 P（x， y） P （x － ，y ＋ b） 向左平移个单位 再向上平移b 个单 位 向下平移b 个单位 向右平移个单位 1 标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【题型7 图形在坐标系中的平移】 【例7】（2022 春•胶州市期末）如图，△B 的顶点坐标（2，3），B（1，1），（4，2）， 将△B 先向左平移3 个单位，再向下平移1 个单位，得到△'B''，则B 边上一点D（m，） 的对应点D'的坐标是（ ） ．（m+3，+1） B．（m 3 ﹣，﹣1） ．（﹣1，2） D．（3﹣m，1﹣） 【变式7-1】（2022•青岛二模）如图，线段B 经过平移得到线段'B'，其中点，B 的对应点 分别为点'，B'，这四个点都在格点上．若线段'B'有一个点P'（，b），则点P'在B 上的 对应点P 的坐标为（ ） ．（﹣2，b+3） B．（﹣2，b 3 ﹣） ．（+2，b+3） D．（+2，b 3 ﹣） 【变式7-2】（2022 春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m 4 ﹣，），Q（m，﹣ 3），将线段PQ 平移，使点P、Q 分别落在两条坐标轴上，则点P 平移后的对应点的坐 标是（ ） ．（﹣2，0） B．（0，3） 1 ．（0，3）或（﹣4，0） D．（0，3）或（﹣2，0） 【变式7-3】（2022 春•如东县期中）三角形B 在经过某次平移后，顶点（﹣1，m+2）的对 应点为（2，m 3 ﹣），若此三角形内任意一点P（，b）经过此次平移后对应点P1（， d）．则+b﹣﹣d 的值为（ ） ．8+m B．﹣8+m ．2 D．﹣2 【题型8 图形在格点中的平移变换】 【例8】（2021 春•抚远市期末）在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（0，4），线段M 的位置如图所示，其中点M 的坐标为（﹣3，﹣1），点的坐标为（3，﹣2）． （1）将线段M 平移得到线段B，其中点M 的对应点为，点的对应点为B． ①点M 平移到点的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个 单位长度； ②点B 的坐标为 ； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为（4，0），连接，B，求△B 的面积． 【变式8-1】（2022 春•长沙期末）如图，△B 的顶点（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），（1， 1）．若△B 向右平移4 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到△'B''，且点的对应点 坐标是'． （1）画出△'B''，并直接写出点'的坐标； （2）若△B 内有一点P（，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标； （3）求△B 的面积． 1 【变式8-2】（2022 春•江岸区校级月考）如图，三角形′B′′是由三角形B 经过某种平移得到 的，点与点′，点B 与点B′，点与点′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及 各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B 和点B′的坐标，并说明三角形′B′′是由三角形B 经过怎样的平移得到 的； （2）连接B′，直接写出∠B′与∠B′′之间的数量关系 ； （3）若点M（﹣1，2b 5 ﹣）是三角形B 内一点，它随三角形B 按（1）中方式平移后得 到的对应点为点（2 7 ﹣，4﹣b），求和b 的值． 【变式8-3】（2021 春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形B 经过平移得到三角 形'B''，位置如图所示． （1）分别写出点，'的坐标： ，' ． （2）请说明三角形'B''是由三角形B 经过怎样的平移得到的． （3）若点M（m，4﹣）是三角形B 内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m 8 ﹣， ﹣4），求m 和的值． 1