专题11 二元一次方程实际应用的三种考法（原卷版）

专题11 二元一次方程实际应用的三种考法 类型一、方问题 例．某商店分两次购进，B 型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由 于物价上涨，第二次购进，B 型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨 ， ． 购进的台数 购进所需要的费用（元） 型 B 型 第一 次 10 20 3000 第二 次 15 10 4500 (1)求第一次购进，B 型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)，B 型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800 元， 第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800 元． ①求，B 型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进，B 型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后， 要想使获得的利润为1000 元，求有哪几种购进方？ 【变式训练1】已知有、B 两种不同规格的货车共50 辆，现计划分两趟把甲种货物306 吨 和乙种货物230 吨运往某地，先用50 辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物 其中每辆车的最大装载量如表： 最大装载量（吨） 型货车 B 型货车 甲种货物 7 5 乙种货物 3 7 (1)装货时按此要求安排、B 两种货车的辆数，共有几种方 (2)使用型车每辆费用为600 元，使用B 型车每辆费用800 元在上述方中，哪个方运费最省? 最省的运费是多少元? (3)在（2）的方下，现决定对货车司机发共2100 元的安全奖，已知每辆型车奖金为m 元， 每辆B 型车奖金为元， ，且m，均为整数则 ___________， ____________ 【变式训练2】“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独 特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清 明前生产 、 两种首饰盒，若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元；若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元． (1)每件 ， 首饰盒的生产成本分别是多少元？ (2)该厂准备用不超过 元的资金生产这两种首饰盒共 件，且要求生产 首饰盒数量 不少于 首饰盒数量的 倍，问共有几种生产方？ (3)将漆器供应给商场后，每件 首饰盒可获利 元，每件 首饰盒可获利 元，在（2） 的前提下，请你设计出总获利最大的生产方，并求出最大总获利． 【变式训练3】某运输公司现有190 吨防疫物资需要运往外地，拟安排、B 两种货车将全部 货物一次运完（两种货车均满载），已知、B 两种货车近期的三次运输记录，如下表： 货车（辆） B 货车（辆） 防疫物资（吨） 第一 次 12 8 360 第二 次 18 12 ▄ 第三 次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方． 类型二、销售利润问题 例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2 部甲型号手机和5 部乙型号 手机，共需要资金6000 元；若购进3 部甲型号手机和2 部乙型号手机，共需要资金4600 元． (1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； (2)该店预计用不少于178 万元且不多于192 万元的资金购进这两种型号手机共20 部，请问 有多少种进货方？ (3)若甲型号手机的售价为1500 元，乙型号手机的售价为1450 元，为了促销，公司决定每 售出一台乙型号手机．返还顾客现金元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全 部售完，每种方获利相同，求的值． 【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本， 本普通练习本和 本精装练习 本销售总额为 元； 本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， 已知普通练习本的进价为 元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本 个， 获得的利润为 元； ①求 关于 的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【变式训练2】国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的 国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车（续航600 千米）和插电混动汽车B，两 种主销车型的有关信息如下表： 车型 纯电动汽车（续航600 千米） 插电混动汽车B 进价（万元/辆） 25 12 售价（万元/辆） 28 16 新能源积分（分/辆） （其中R 表示续航里程） 2 购进数量（辆） x y (1)3 月份该“4S”店共花费550 万元购进，B 两种车型，且全部售出共获得新能源积分130 分，则x，y 分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“4S”店4 月份决定购进，B 两种车型共50 辆，应环保的要求，所 进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300 分，已知每个新能源积分可获得3000 元的 补贴，那么4 月份如何进货才能使4S 店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴） 【变式训练3】商店销售10 台 型和20 台 型电脑的利润为40000 元，销售20 台 型和 10 台 型电脑的利润为3500 元． （1）求每台 型电脑和 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台，其中 型电脑的进货量不超过 型电 脑的2 倍，设购进 型电脑 台，这100 台电脑的销售总利润为 元． ①求 关于 的函数关系式： ②该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型电脑70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计 出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方． 类型三、小题压轴 例．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成 三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主 动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将区 的面积划分给了B 区，而原B 区 的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现B 区的面积占、B 两区面 积和的比例达到了 ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的 分成两 部分划分给现在的区和B 区．爸爸划分完后， 三个区域的面积比变为 ，那 么爸爸从区划分给B 区的面积与良田总面积的比为 ． 【变式训练1】为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果． 其中，甲种坚果每袋装有4 千克 坚果，1 千克 坚果，1 千克 坚果；乙种坚果每袋装有 1 千克 坚果，2 千克 坚果，2 千克 坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中 的 ， ， 三种坚果的成本价之和．已知 坚果每千克成本价为5 元，甲种坚果每袋售 价为598 元，利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率 达到24%，则该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是 ． 【变式训练2】疫情之后，为尽快恢复实体经济，某地政府通过专项奖励、税费减免等举 措，支持商家开展主题促销，发放消费券等活动来促进消费市场恢复．某票务平台经营飞 跃丛林，观光巴士，海洋乐，马戏城四种游玩票务．一张飞跃丛林票的成本价是一张观光 巴士票的2 倍，一张海洋乐票和一张马戏城票的成本之和是一张飞跃丛林票成本价的3 倍， 一张海洋乐票成本价和一张马戏城票之差是一张飞跃丛林票的2 倍．商家得到支持，响应 号召，降低利润之后推出，B，三种套餐．套餐中有观光巴士票若干（数量在10 到20 张之 间），1 张飞跃丛林票，3 张海洋乐票，4 张马戏城票．B 套餐中有5 张观光巴士票，2 张飞 跃丛林票，4 张海洋乐票，6 张马戏城票．套餐中有4 张观光巴士票，3 张飞跃丛林票，4 张海洋乐票，2 张马戏城票．每种套餐的成本等于四种票的成本之和．每个套餐的利润率 为 ，套餐利润率为 ，B 套餐的利润率为和套餐利润率的平均数．一公司决定从 该平台购买套票为92 名员工发福利．该公司购买套餐20 份，最终票务平台获得的总利润 率为单个B 套餐的利润率．因员工需求，该公司需更多购买B 套餐，则该公司购买套餐 个． 【变式训练3】腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中 甲种礼盒有开心果3 袋，腰果3 袋，夏威夷果1 袋，纸皮核桃1 袋；乙种礼盒有开心果4 袋， 腰果3 袋，纸皮核桃3 袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒 成本6 元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为 ，每袋夏威夷果和每袋纸皮 核桃的成本价之比为 ．甲种礼盒的售价为168 元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两 种礼盒共60 盒，销售总额为10270 元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋 数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲 种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2 袋， 小号包装盒成本每个4 元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两 种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是 元． 课后训练 1． 月某花店从花农处进货了甲、乙、丙三种鲜花，数量分别为 、 、，甲、乙、丙 三种鲜花单价之比为 ，由于近期销售火爆， 月花农对这三种鲜花的价格进行了调 整，该花店也相应调整了进货量，相较于 月，花店采购甲增加的费用占 月所有鲜花采 购费用的 ， 月采购甲与乙的总费用之比为 ， 月采购乙的总费用与 月采购乙的 总费用之比为 ，采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为 ，则 为 ． 2．爸爸骑电动车带着姐弟俩去公玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年人． 为尽快到达公又不违反交通法规，出发时，爸爸让姐姐先步行，将弟弟载了一段路程后让 其步行前往公，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公．如果姐弟俩步行 的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载一名未成年人时的速度快5 千米/时，爸爸 与公的距离 与出发时间 之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一过程中骑电动 车行驶的总路程是 ． 3．如果一个三位数 的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为 “荣庆数”，我们将“荣庆数” 的各位数字之和记为 ，比如152，百位数字与个位 数字之和为 ，十位数字是5， ，所以152 是“荣庆数”， ； 若一个“荣庆数” 是13 的倍数，则 的最大值是 ． 4．“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻” 是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙 两种水稻，若种植20 亩甲种水稻和30 亩乙种水稻，共需投入22 万元；若种植30 亩甲种 水稻和20 亩乙种水稻，共需投入23 万元． (1)种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？ (2)经测算，种植甲种水稻每亩可获利 （ 且 为常数）万元，种植乙种水稻每亩可获 利08 万元，村里投入50 万元用来种植这两种水稻，若要求甲种水稻的种植面积不能少于 乙种水稻种植面积的 倍，且不能多于乙种水稻种植面积的 倍．设种植乙种水稻 亩， 该村种植两种水稻共获利 万元，请求出 关于 的函数表达式，并求出最大获利（用含 的代数式表示）． 5．2019 年“双11 期间”，某天猫店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价 比乙种羽毛球多15 元，王老师从该店购买了2 筒甲种羽毛球和1 筒乙种羽毛球，共花费 165 元． （1）该店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该店决定用不超过8780 元购进甲、乙两种羽毛球共200 筒，且甲 种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50 元，乙种羽毛 球每筒的进价为40 元． ①若设购进甲种羽毛球m 筒，则该店有哪几种进货方？ ②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量m（筒） 之间的关系式，并说明当m 为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 6．某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委 选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5 元，花200 元买甲马 克杯与花400 元买乙马克杯的数量相同． (1)求甲、乙马克杯的单价； (2)若需购进甲、乙马克杯共100 个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的 ，则如何购 买才能使得费用最少？ (3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图和文字的马克杯， 这种马克杯的单价为20 元/个，校团委同时购买3 种马克杯，共花费2000 元．若甲马克杯 数量是乙马克杯的3 倍，则最多可购买3 种马克杯共多少个？ 7．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研 发出 型和 型两款垃圾分拣机器人，已知2 台 型机器人和5 台 型机器人同时工作 共分拣垃圾36 吨，3 台 型机器人和2 台 型机器人同时工作 共分拣垃圾8 吨． (1)1 台 型机器人和1 台 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 型和 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小 时一共能分拣垃圾20 吨，设购买 型机器人 台（ ）， 型机器人 台，请用 含 的代数式表示 ； (3)机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30 台 购买数量不少于30 台 型 20 万元/台 原价购买 打九折 型 12 万元/台 原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为 万元，问如何购买使得总费用 最少？请说明理由．