专题07 一元一次方程特殊解压轴的三种考法（解析版）

专题07 一元一次方程特殊解压轴的三种考法 类型一、整数解问题 例．已知关于x 的一元一次方程 的解是奇数，则符合条件的所有整数的 值有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【答】B 【分析】首先解一元一次方程求出 ，因为方程的根是奇数，故令 ， （k 为整数），则 ，然后取k 值使得取整数即可得出结果． 【详解】解：去分母： ， 去括号： ， 移项合并同类项： ， 系数化为1： ， ∵方程解是奇数，令 ，（k 为整数）， ∴ ， ∵取整数， ∴ 或 或0， 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ， ∴符合条件的的值有4 个， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据解的特点求参数的值．正确求出方程的解，再令 解等于奇数，求出的值是解本题的思路． 【变式训练1】已知k 为非负整数，且关于x 的方程 的解为正整数，则k 的 所有可能取值的和为（ ） ．12 B．13 ．14 D． 【答】 【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k 的值即可． 【详解】解： ， 方程去分母得： 方程去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 由x 为正整数，k 为非负整数， 得到 ，4，3，2，0， ∴ ，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤． 【变式训练2】若关于 的一元一次方程 的解是负整数，则符合条件的所 有整数 的和为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的方法解关于 的方程，再 根据解为负整数，即可求解． 【详解】解： 去分母， 移项， 合并同类项， 系数化为， ，且 ，即 ， ∵解是负整数，∴ ，且为整数， ∴ ， 与 是倍数关系，且 为整数， ∴当 时， ，符号条件； 当 时， ，符号条件； 当 时， ，符号条件； 当 时， ，不符号条件； 当 时， ，不符号条件； 当 时， ，符号条件； 当 时， ，符号条件； ∴整数 的值为 ，∴ ，故选： ． 【点睛】本题主要考查方程的解求参数，掌握解一元一次方程的方法，检验参数的值是否 符号题意是解题的关键． 【变式训练3】已知关于 的方程 的解是负整数，那么整数 的所有取值之和为 （ ） ．4 B．0 ． D． 【答】D 【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为 ，结合原方程的解是负整数且k 为整数，可得出k 的值，再将其相加即可得出结论． 【详解】∵ ∴ ， 当 时，原方程无解； 当 时， ． ∵原方程的解是负整数，且k 为整数， ∴ 或 ∴ 或 ， ∴整数k 的所有取值之和为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k 的值是解题 的关键． 类型二、含绝对值问题 例．已知方程 ． (1)若方程的解是 ，那么的值是多少？ (2)当取何值时，方程无实数解？ 【答】(1) 或 ；(2) 【分析】（1）当方程的解为9 时，将 代入可得关于 的方程，解出即可得出 的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程 ，根据 ， 时，方程无解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将 代入可得： ， 当 时， ，解得 ． 当 时， ，解得 ， 故可得方程的解是 ，那么 或 ． （2）整理方程得： ， 当 ， ，方程无解， 解得： ，即当 时，方程无实数解． 【点睛】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程，解答本 题需要掌握根的个数与一次项系数、常数项的关系． 【变式训练1】已知 ，且 ，求 ． 【答】0 或﹣1 【分析】根据绝对值的定义得到 的值，代入代数式即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴ 解得： =3 或﹣1，b=1 或0 ∵ ∴ ≥ ， 当 =3 时不符合题意 当 = 1 ﹣， =1 或0 时， + =0 或﹣1 ∴ + =0 或﹣1 【点睛】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，掌握绝对值定义是解题的关键． 【变式训练2】方程 的解是 ． 【答】 【分析】解一元一次方程，准确利用绝对值的性质分类讨论即可； 【详解】当 时， ，得 ； 当 时， ，得 ． 故答是 ． 【点睛】本题主要考查了求解一元一次方程，准确利用绝对值的性质是解题的关键． 【变式训练3】满足方程 的所有解的和为多少？ 【答】8 【分析】因为题目中带有绝对值符号,所以必须分两种情况进行讨论,去掉绝对值符号,得到 两个一元一次方程,求出方程的根,即可得到结果 【详解】解：①当 时， 方程化为 ， 即 或 ， 解得 或 ； ②当 时， 方程化为 ， 即 或 ， 解得 或 (舍去)， 故方程 的所有解的和为 【点睛】本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程,由于带有绝对值符号,必须对题目进行 讨论 类型三、整体代入法解方程 例．若关于x 的一元一次方程 的解为 ，则关于y 的一元一次方程 的解为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】将 代入关于x 的一元一次方程中 ，得到 ， 然后和关于y 的一元一次方程 对比即可求出y 的值． 【详解】解： 关于x 的一元一次方程 的解为 ， 和关于y 的一元一次方程 对比， 可得： ， 解得： ， 故选：D． 【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两 个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键． 【变式训练1】已知关于x 的一元一次方程 的解为 ，则关于y 的一 元一次方程 的解为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先把所求方程变形为 ，设 ，则 ，根据题意可得关于m 的一元一次方程 的解为 ， 则可求出 ，由此即可得到答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵关于x 的一元一次方程 的解为 ， ∴关于m 的一元一次方程 的解为 ， ∴ ， ∴ ， ∴于y 的一元一次方程 的解为 ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为 是解题的关键． 【变式训练2】已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解为 ． 【答】 【分析】在方程 中，令 可得 ，由题 意可得 ，即可求解 【详解】解：在方程 中，令 ， 可得 ， 由题意可得，方程 的解为 则 解得 故答为： 【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体 代换的思想是解题的关键． 课后训练 1．如果关于x 的方程 无解，那么m 的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】只有当 的系数为0 时关于x 的方程 无解，据此求解即可． 【详解】∵关于x 的方程 无解， ∴ ，解得 ， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键． 2．已知关于x 的方程 有正整数解，则整数k 的最大值为 ． 【答】8 【分析】先求出方程的解，根据已知得出 或3 或1，求出即可． 【详解】解：解方程 得： ， ∵关于x 的方程 有正整数解，k 为整数， ∴ 或3 或1， 解得： 或2 或0， ∴k 的最大值是8， 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于k 的方程是解此题的关键． 3．若关于 的方程 有无数个解，则 的值为 ． 【答】 【分析】方程移项合并，令x 系数等于0，求出 的值，即可得到结果． 【详解】 整理得 ， ∵ 有无数个解， ∴ ， ， 解得 ， ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值． 4．若关于 的方程 只有一个负根，则 的取值范围是 ． 【答】 【分析】分别确定x 为正，x 为负时的取值，然后即可确定的范围． 【详解】解：当 时，方程是： 解得： ，根据题意得： ， 解得： ，此时有正根， 则 时有负根， 当 时， ， 解得： ，根据题意 ， 解得： ， 综上所述； 时，方程 只有一个负根． 故答是： ． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程的解法，正确去掉绝对值符号，是解题的关键． 5．已知关于x 的一元一次方程 的解为x=2，那么关于y 的一元一次方程 的解为y= ． 【答】1 【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1 相当于第一个方程中的x，据此即可求 解 【详解】由题意得y+1=2， 解得y=1， 故答为：1 【点睛】此题考查解一元一次方程，根据题中的已知条件得到两个方程的关系：第二个方 程中的y+1 相当于第一个方程中的x 是解题的关键 6．已知关于 的一元一次方程 的解是正整数，则所有满足题意的整数 的 和是 ． 【答】16 【分析】求出方程的解为 ，从而可得 是正整数，据此求出 的值，由此即可 得． 【详解】解： ， ， 解得 ， ∵关于 的一元一次方程 的解是正整数， 是正整数， 又 为整数， ∴ 的所有可能的取值为 ， ∴所有满足题意的整数 的值为 ， 则所有满足题意的整数 的和是 ， 故答为：16． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关 键． 7．是否存在整数k，使关于x 的方程 有整数解？并求出解． 【答】当 时， ； 时， ； 时， ； 时， 【分析】把方程的解x 用k 的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得： ， ∴ ， ∵在整数范围内有解， ∴ 或 ， 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义．