专题11 二元一次方程实际应用的三种考法（解析版）

专题11 二元一次方程实际应用的三种考法 类型一、方问题 例．某商店分两次购进，B 型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由 于物价上涨，第二次购进，B 型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨 ， ． 购进的台数 购进所需要的费用（元） 型 B 型 第一 次 10 20 3000 第二 次 15 10 4500 (1)求第一次购进，B 型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)，B 型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800 元， 第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800 元． ①求，B 型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进，B 型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后， 要想使获得的利润为1000 元，求有哪几种购进方？ 【答】(1)第一次购进型台灯每台进价为200 元，B 型台灯每台进价为50 元 (2)①型台灯每台售价为340 元，B 型台灯每台售价为120 元；②有4 种购进方：①购进型 台灯2 台，B 型台灯14 台；②购进型台灯5 台，B 型台灯10 台；③购进型台灯8 台，B 型 台灯6 台；④购进型台灯11 台，B 型台灯2 台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买 台型台灯的费用 第一次购买 台B 型台 灯的费用 元，第二次购买 台型台灯的费用 第二次购买 台B 型台灯的费用 元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的 台型台灯的利润 第一次的 台B 型台灯的利润 元，第二次的 台型台灯的利润 第二次购买 台B 型台灯的利润 元，列出 方程组，接可求解； ②设再购进型台灯台，B 型台灯 台，由按第二次购买的价格购买，台型台灯售出获得利 润 台B 型台灯售出获得利润 元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进型台灯每台进价为x 元，B 型台灯每台进价为y 元， 由题意得： ， 解得： ， 答：第一次购进型台灯每台进价为200 元，B 型台灯每台进价为50 元． （2）解：①设型台灯每台售价为m 元，B 型台灯每台售价为元， 由题意得： ， 解得， ， 答：型台灯每台售价为340 元，B 型台灯每台售价为120 元； ②第二次购进的型台灯的价格为： （元），B 型台灯的价格为： （元）， 设购进型台灯台，B 型台灯 台， 由题意得： ， 整理得： ， ∴ 、b 为自然数， 或 或 或 ， 有4 种购进方： ①购进型台灯2 台，B 型台灯14 台；②购进型台灯5 台，B 型台灯10 台；③购进型台灯8 台，B 型台灯6 台；④购进型台灯11 台，B 型台灯2 台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解 题的关键． 【变式训练1】已知有、B 两种不同规格的货车共50 辆，现计划分两趟把甲种货物306 吨 和乙种货物230 吨运往某地，先用50 辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物 其中每辆车的最大装载量如表： 最大装载量（吨） 型货车 B 型货车 甲种货物 7 5 乙种货物 3 7 (1)装货时按此要求安排、B 两种货车的辆数，共有几种方 (2)使用型车每辆费用为600 元，使用B 型车每辆费用800 元在上述方中，哪个方运费最省? 最省的运费是多少元? (3)在（2）的方下，现决定对货车司机发共2100 元的安全奖，已知每辆型车奖金为m 元， 每辆B 型车奖金为元， ，且m，均为整数则 ___________， ____________ 【答】(1)三种方 (2)种货车30 辆，B 种货车20 辆时费用最省，费用为 （元） (3)40 45 【分析】（1）设安排种货车x 辆，则安排B 种货车 辆，列出不等式组，求整数解 即可； （2）根据三种方判断即可； （3）根据二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：设安排种货车x 辆，则安排B 种货车 辆， ， 解得： ， 因为x 为整数，所以可以取28，29，30，共三种方． （2） 使用种货车费用600 元，B 种货车800 元， ， 在上述方中，安排种货车最多时最省费用， 即当种货车30 辆，B 种货车20 辆时费用最省， 费用为： （元）； （3）在（2）的方下，由题意得： ， ， ， ， 解得： ， 经验算，只有当 时，m= 为整数，其余的取值不符合要求， 此次奖金发放的具体方为：每辆种货车奖金为40 元，每辆B 种货车奖金为45 元． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关 键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题． 【变式训练2】“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独 特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清 明前生产 、 两种首饰盒，若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元；若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元． (1)每件 ， 首饰盒的生产成本分别是多少元？ (2)该厂准备用不超过 元的资金生产这两种首饰盒共 件，且要求生产 首饰盒数量 不少于 首饰盒数量的 倍，问共有几种生产方？ (3)将漆器供应给商场后，每件 首饰盒可获利 元，每件 首饰盒可获利 元，在（2） 的前提下，请你设计出总获利最大的生产方，并求出最大总获利． 【答】(1)每件首饰盒的生产成本是150 元，每件B 首饰盒的生产成本是80 元． (2)共有4 种生产方． (3)生产首饰盒70 件，B 首饰盒30 件时总获利最大，最大利润为8200 元． 【分析】（1）设每件首饰盒的生产成本是 元，每件 首饰盒的生产成本是 元，根据 “生产10 件首饰盒和20 件B 首饰盒，共需投入成本3100 元；若生产20 件首饰盒和10 件 B 首饰盒，共需投入成本3800 元”列二元一次方程组，求解即可； （2）设该厂生产B 首饰盒 件，根据用不超过12900 元的资金生产这两种首饰盒共100 件， 且要求生产首饰盒数量不少于B 首饰盒数量的2 倍列一元一次不等式组，求解即可； （3）设该厂总获利 元，表示出 与 的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获 利最大时的生产方． 【详解】（1）解：设每件首饰盒的生产成本是x 元，每件B 首饰盒的生产成本是y 元， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：每件首饰盒的生产成本是150 元，每件B 首饰盒的生产成本是80 元． （2）设该厂生产B 首饰盒m 件， 根据题意，得 ， 解得 ， 取正整数：30，31，32，33， 共有4 种生产方． （3）设该厂总获利元， 根据题意，得 ， ， 随着 的增大而减小， 当 时， 取最大值，最大利润 ， （件）， 生产首饰盒70 件，B 首饰盒30 件时总获利最大，最大利润为8200 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， 根据题意建立关系式是解题的关键． 【变式训练3】某运输公司现有190 吨防疫物资需要运往外地，拟安排、B 两种货车将全部 货物一次运完（两种货车均满载），已知、B 两种货车近期的三次运输记录，如下表： 货车（辆） B 货车（辆） 防疫物资（吨） 第一 次 12 8 360 第二 次 18 12 ▄ 第三 次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方． 【答】(1)540 (2)货车每辆每次可以运货20 吨， B 货车每辆每次可以运货15 吨 (3)①货车2 辆，B 货车10 辆；②货车5 辆，B 货车6 辆；③货车8 辆，B 货车2 辆 【分析】（1）设、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x 吨、y 吨，则根据题意列 出方程组，求解即可； （2）根据（1）知，运送防疫物资种货车每辆每次20 吨，B 种货车每辆每次15 吨； （3）设、B 两种货车各需要m 辆、辆，根据题意得到20m+15=190，当m=2 时，=10；当 m=5 时，=6；当m=8 时，=2．共三种运输方． 【详解】（1）设、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x 吨、y 吨， 则根据题意，得 ， 解得 ， （吨）； 故答为：540； （2）由（1）知，、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20 吨、15 吨； （3）设、B 两种货车各需要m 辆、辆， 则20m+15=190, ∴ ， ①当m=2 时，=10； ②当m=5 时，=6； ③当m=8 时，=2． ① ∴ 货车2 辆，B 货车10 辆；②货车5 辆，B 货车6 辆；③货车8 辆，B 货车2 辆，共三 种可行的运输方． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练 掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答． 类型二、销售利润问题 例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2 部甲型号手机和5 部乙型号 手机，共需要资金6000 元；若购进3 部甲型号手机和2 部乙型号手机，共需要资金4600 元． (1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； (2)该店预计用不少于178 万元且不多于192 万元的资金购进这两种型号手机共20 部，请问 有多少种进货方？ (3)若甲型号手机的售价为1500 元，乙型号手机的售价为1450 元，为了促销，公司决定每 售出一台乙型号手机．返还顾客现金元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全 部售完，每种方获利相同，求的值． 【答】(1)甲型号手机每部进价为1000 元，乙型号手机每部进价为800 元． (2)8 种 (3)的值为150． 【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可； （2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况； （3）用（2）中未知数和列出利润计算式，根据m 的值不影响利润结果得到含m 的项系数 为0，求出即可． 【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x 元，乙型号手机每部进价为y 元． 依题意，得 ． 解得 ． 答：甲型号手机每部进价为1000 元，乙型号手机每部进价为800 元． （2）设购进甲型号手机m 部，则购进乙型号手机 部． 依题意，得 ， 解得 ． 又m 为整数，m 可以为9，10，11，12，13，14，15，16． 有8 种进货方． （3）设20 部手机全部销售完后获得的总利润相等，则 ． （2）中每种方获利相同， 利润计算式中不能有含 的项， ． ． 答：的值为150． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题． 注意定值问题中一个式子的值与m 无关，则含有m 的项中，m 的系数为0． 【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本， 本普通练习本和 本精装练习 本销售总额为 元； 本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， 已知普通练习本的进价为 元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本 个， 获得的利润为 元； ①求 关于 的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答】(1)普通练习本：元；精装练习本： 元 (2) ；②普通练习本进 本，精装练习本进 本，利润最大，最大为 元 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据等量 关系式： 本普通练习本销售总额 精装练习本销售额 元； 本普通练习本 销售额 精装练习本销售额 元，列出方程，解方程即可； （2）①购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据总利润=普通练习本获 得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可； ②先求出 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据 题意得： ， 解得： ， 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为 元． （2）解： 购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据题意得： ； 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， ， 解得： ， 中 ， 随 的增大而减小， 当 时， 取最大值， （个）， （元）， 答：当购买 个普通练习本， 个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为 元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的 关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式． 【变式训练2】国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的 国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车（续航600 千米）和插电混动汽车B，两 种主销车型的有关信息如下表： 车型 纯电动汽车（续航600 千米） 插电混动汽车B 进价（万元/辆） 25 12 售价（万元/辆） 28 16 新能源积分（分/辆） （其中R 表示续航里程） 2 购进数量（辆） x y (1)3 月份该“4S”店共花费550 万元购进，B 两种车型，且全部售出共获得新能源积分130 分，则x，y 分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“4S”店4 月份决定购进，B 两种车型共50 辆，应环保的要求，所 进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300 分，已知每个新能源积分可获得3000 元的 补贴，那么4 月份如何进货才能使4S 店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴） 【答】(1)x，y 的值分别为10 和25 (2)购进型车34 辆，B 型车16 辆时获利最大 【分析】（1）设纯电动汽车 型x 辆，插电混动汽车B 型y 辆，根据表格可以列出相应的方 程组，从而可以解答本题； （2）设4 月决定购进型车辆，共获利万元．根据题意题意得不等式，求出的取值范围，并 求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： 解之得： 答：x，y 的值分别为10 和25 （2）解：设4 月决定购进型车辆，共获利万元． 则4 月份的新能源积分为： 分 由题意得： ； ， 又 ；（或者 ） 且为整数或（ 且为整数）． 4S 店的获利 -04 ∵ ＜0， ∴随的增大而减小； ∴当=34 时，即购进型车34 辆，B 型车16 辆时获利最大 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用， 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和 不等式求解． 【变式训练3】商店销售10 台 型和20 台 型电脑的利润为40000 元，销售20 台 型和 10 台 型电脑的利润为3500 元． （1）求每台 型电脑和 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台，其中 型电脑的进货量不超过 型电 脑的2 倍，设购进 型电脑 台，这100 台电脑的销售总利润为 元． ①求 关于 的函数关系式： ②该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型电脑70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计 出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方． 【答】（1） 100 元， 150 元；（2）① ；② 34 台， 66 台；（3） 当 时， 34 台 66 台；当 时， 34~70 内均可；当 时， 70 台 30 台 【分析】（1）设每台型加湿器和B 型加湿器的销售利润分别为 元， 元，然后根据题意 列出二元一次方程组解答即可； （2）①据题意得即可确定y 关于x 的函数关系式，利用型利润与B 型利润即可求出总利润 y 与x 的关系，并确定x 的范围即可； ②根据一次函数的增减性，解答即可； （3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况①<m<50，②m=50，③ 50 <m < 100 时，m-50 >0 结合函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）设每台 型电脑的销售利润为 元，每台 型电脑的销售利润为 元， 根据题意得： 解得 答：每台 型电脑的销售利润为100 元，每台 型电脑的销售利润为150 元； （2）①设购进 型电脑 台，每台 型电脑的销售利润为100 元，型电脑销售利润为100x 元, 每台B 型电脑的销售利润为150 元，B 型电脑销售利润为 元 ，即 这100 台电脑的销售总利润为: ； ，解得 ．且 为正整数， 其中 为正整数， ② 中，k= ， 随 的增大而减小． 为正整数， ∴当 时， 取得最大值，此时 ． 答：商店购进 型电脑34 台， 型电脑66 台，才能使销售总利润最大； （3）根据题意得 ， 即 ，其中 ，且 为正整数． ①当 时，k= ， 随 的增大而减小， ∴当 时， 取得最大值， 即商店购进34 台 型电脑和66 台 型电脑才能获得最大利润； ②当 时，k= ， ， 即商店购进 型电脑数量满足 的整数时，均获得最大利润； ③当50 <m < 100 时，k= ， 随 的增大而增大． ∴当 时， 取得最大值． 即商店购进70 台 型电脑和30 台 型电脑才能获得最大利润． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，掌 握一次函数的增减性是解答本题的关键． 类型三、小题压轴 例．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成 三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主 动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将区 的面积划分给了B 区，而原B 区 的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现B 区的面积占、B 两区面 积和的比例达到了 ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的 分成两 部分划分给现在的区和B 区．爸爸划分完后， 三个区域的面积比变为 ，那 么爸爸从区划分给B 区的面积与良田总面积的比为 ． 【答】 / 【分析】设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ，然后根据小红以及爸爸的 划分方法列出方程得出 、 ，设将区面积的 分成两部分划分给现在的区为 m，则B 区为 ．由三个区域的面积比变为 可列方程得出 ，进而得出 答． 【详解】解：设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ． 则由小红将区 的面积划分给了B 区，而原B 区 的面积错划分给了区， 造成现B 区的面积占、B 两区面积和的比例达到了 ， 可列方程： ， 解得： ， 则此时，区： ， B 区： ， 区：z， 由爸爸只好将区面积的 分成两部分划分给现在的区和B 区．爸爸划分完后，、B、三 个区域的面积比变为 ， 可列方程： ， 解得： ， 设将区面积的