九下专题07 二次函数中的几何存在性问题（学生版）

专题07 二次函数中的几何存在性问题 类型一、特殊三角形问题 例1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行于 轴并交抛物线于点 ，当线段 取得最大值时，在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是 以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴相交于点、B(点在点B 的左 侧)，与y 轴相交于点，连接 ． (1)求线段的长； (2)若点Р 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P 的坐标； (3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M 的坐标． 例3 如图，抛物线 交x 轴于 ， 两点，交y 轴于点，点D 是 抛物线上位于直线B 上方的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，BD，若 ，求点D 的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线D 平移m 个单位，平移后、D 的对应点分别为M、， 在x 轴上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m 的值：若不存 在，请说明理由． 【变式训练1】如图，二次函数 的图象经过点( 1，0)，B(3，0)，与y 轴交 于点． (1)求二次函数的解析式； (2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x 轴正半轴上有一点D，且 D=2，当S△PD=3 时，求出点P 的坐标； (3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以D 为直角边的 ，若存在，求 出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+4x+与直线B 相交于点(0，1) 和点B(3，4)． (1)求该抛物线的解析式； (2)设为直线B 上方的抛物线上一点，连接，B，以，B 为邻边作平行四边形BP，求四边形 BP 面积的最大值； (3)将该抛物线向左平移2 个单位长度得到抛物线y=1x2+b1x+1(1≠0)，平移后的抛物线与原抛 物线相交于点D，是否存在点E 使得△DE 是以D 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写 出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、特殊四边形问题 例1．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， (点 在点 的左 侧)，与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ． (1)求点 的坐标； (2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值； (3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴分别交于点 和点 B，与y 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)如图，点D 与点关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若 ，求点P 的坐标； (3)点M 是抛物线上一动点，点在抛物线的对称轴上，是否存在以、B、M、为顶点的四边 形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于 ，与y 轴交 于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在直线B 上方的抛物线上有动点P，过点P 作 轴，交B 于点Q，当 时，求点P 的坐标； (3)如图2，若点D 坐标为 ， 轴交直线B 于点E，将 沿直线B 平移得到 ，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点，， ，P 为顶点的四边形 为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝x2+2x+经过点( 1 ﹣，0)、B(3， 0)，与y 轴交于点，顶点为点D．在线段B 上方的抛物线上有一动点P，过点P 作PE⊥B 于点E，作PF B 交B 于点F． (1)求抛物线和直线B 的函数表达式， (2)当△PEF 的周长为最大值时，求点P 的坐标和△PEF 的周长． (3)若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以、B、 G、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B， ，对称轴为直线 ，点D 为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D 点坐标； (2)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和E，求 面积的最大值； (3)点P 在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、、P、Q 为顶点的四边形为矩形， 请直接写出点Q 的坐标． 【变式训练3】如图，已知抛物线与 轴交于 两点，与 轴交于点 ， 点 是抛物线上位于直线 下方的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接 ，过点 作 交 于点 ，求 长度的最大值及此时点 的 坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线 的方向平移，使得新抛物线 经过点 ，并记新抛物 的顶点为 ，若点 为新抛物线 对称轴上的一动点，点 为坐标平面内的任意一点， 直接写出所有使得以、D、M、为顶点的四边形是菱形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．