专题16.2 二次根式的乘除【九大题型】（原卷版）

专题162 二次根式的乘除【九大题型】 【人版】 【题型1 求字母的取值范围】.................................................................................................................................1 【题型2 二次根式乘除的运算】.............................................................................................................................1 【题型3 二次根式的符号化简】.............................................................................................................................2 【题型4 最简二次根式的判断】.............................................................................................................................3 【题型5 化为最简二次根式】.................................................................................................................................3 【题型6 已知最简二次根式求参数】.....................................................................................................................4 【题型7 分母有理化】............................................................................................................................................. 4 【题型8 比较二次根式的大小】.............................................................................................................................5 【题型9 分母有理化的应用】.................................................................................................................................5 【知识点1 二次根式的乘除法则】 ①二次根式的乘法法则：❑ √a∙❑ √b=❑ √a∙b(a≥0,b≥0)； ②积的算术平方根：❑ √a∙b=❑ √a∙❑ √b(a≥0,b≥0)； ③二次根式的除法法则： ❑ √a ❑ √b=❑ √ a b (a≥0,b>0)； ④商的算术平方根：❑ √ a b = ❑ √a ❑ √b (a≥0,b>0) 【题型1 求字母的取值范围】 【例1】（2022 春•赵县校级月考）若要使等式❑ √ x x−8= ❑ √x ❑ √x−8 成立，则x 的取值范围是 ． 【变式1-1】（2022 秋•犍为县校级月考）已知❑ √( x−3)⋅(−x−2)=❑ √3−x⋅❑ √x+2，使等 式成立的x 的取值范围是 ． 【变式1-2】（2022 秋•南岗区期末）能使等式❑ √ x−2 x = ❑ √x−2 ❑ √x 成立的x 的取值范围是（ ） ．x＞0 B．x≥0 ．x＞2 D．x≥2 【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x 满足❑ √2 x 2−x 3=¿x•❑ √2−x，则x 的取值 范围是 ． 1 【题型2 二次根式乘除的运算】 【例2】（2022•长宁区期中）计算： （1）5❑ √ 8 27 •❑ √ 8 27 •3❑ √54； （2）2❑ √1 1 2 ÷5❑ √ 1 6 ⋅❑ √12． 【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：2❑ √ 2 3m ÷ 1 6 ❑ √6m•❑ √8m 3． 【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：3 5 ❑ √x y 3÷(−4 15 ❑ √ y x )⋅(−5 6 ❑ √x 3 y)（x＞ 0）． 【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2 b ❑ √ab 3(−3 2 ❑ √a 3b)÷3 ❑ √ a b （b＜0）． 【题型3 二次根式的符号化简】 【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x❑ √ −y x 2 根号外的因式x 移到根号内 的正确结果为（ ） ．❑ √y B．❑ √−y ．−❑ √y D．−❑ √−y 【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a ❑ √ −1 a 3 根号外的因式移到根号内为（ ） 1 ．❑ √ −1 a B．❑ √ 1 a ．−❑ √ 1 a D．−❑ √ −1 a 【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）❑ √ 1 x−2 根号外的因式移到根号内，得 （ ） ．❑ √x−2 B．❑ √2−x ．﹣2❑ √2−x D．−❑ √x−2 【变式3-3】（2022 春•龙口市期中）把（﹣b）❑ √ −1 a−b 根号外的因式移到根号内结果为 ． 【知识点2 最简二次根式】 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【题型4 最简二次根式的判断】 【例4】（2022 秋•浦东新区校级月考）在❑ √ 2 5 、 ❑ √ab a 、❑ √18 x、❑ √x 2−1、❑ √0.6中，最简 二次根式是 ． 【变式4-1】（2022 春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） ．❑ √48 B．❑ √14 ．❑ √ a b D．❑ √4 a+4 【变式4-2】（2022 秋•玉田县期末）下列各式：①❑ √ 2 5 ②❑ √2n+1③ ❑ √2b 4 ④❑ √0.1 y是最简 二次根式的是 （填序号）． 【变式4-3】（2022 春•建昌县期末）在二次根式❑ √ 1 2 、❑ √12、❑ √30、❑ √x+2，❑ √40 x 2， ❑ √x 2+ y 2中，是最简二次根式的共有 个． 【题型5 化为最简二次根式】 【例5】（2022 春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不 同的是（ ） ．❑ √2 B．5❑ √8 ．❑ √28 D．❑ √ 1 2 【变式5-1】（2022 春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式 （1）❑ √ 3 100 （2）❑ √32 1 （3）❑ √ 4 x 3 3 【变式5-2】（2022 秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式： （1）27 5 ❑ √ 13 2−12 2 27 ； （2）−abc 2 ❑ √ c 3 2a 4b ． 【变式5-3】（2022 秋•安岳县期末）❑ √ x 2−1 xy−y 化成最简二次根式是 ． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【例6】（2022 春•浉河区校级期末）若二次根式❑ √5a+3是最简二次根式，则最小的正整 数为 ． 【变式6-1】（2022 春•武江区校级期末）若❑ √a是最简二次根式，则的值可能是（ ） ．﹣4 B．3 2 ．2 D．8 【变式6-2】（2022 秋•崇川区校级期末）若❑ √2 m+n−2和❑ √3 3m−2n+2都是最简二次根式，则m ＝ ，＝ ． 【变式6-3】（2022 春•宁都县期中）已知：最简二次根式❑ √4 a+b与a−b √23的被开方数相 同，则+b＝ ． 【知识点3 分母有理化】 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一 项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有 理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 1 【题型7 分母有理化】 【例7】（2022 秋•曲阳县期末）把 ❑ √3a ❑ √12ab 化去分母中的根号后得（ ） ．4b B．2❑ √b ．1 2 ❑ √b D． ❑ √b 2b 【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化： （1）1 3 ❑ √2=¿ ；（2）1 ❑ √12=¿ ；（3） ❑ √10 2❑ √5=¿ ． 【变式7-2】（2022 春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ） ．❑ √a+b和❑ √a−b B．−❑ √a和❑ √a ．❑ √5−❑ √2和−❑ √5+❑ √2 D．x ❑ √a+ y ❑ √b和x ❑ √a+ y ❑ √b 【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化： ❑ √2−❑ √3+❑ √5 ❑ √2+❑ √3+❑ √5 【题型8 比较二次根式的大小】 【例8】（2022 春•海淀区校级期末）设¿2❑ √2−3，b¿ 1 a，则、b 大小关系是（ ） ．＝b B．＞b ．＜b D．＞﹣b 【变式8-1】（2022 春•金乡县期中）已知¿ 1 ❑ √5−2，b＝2+❑ √5，则，b 的关系是（ ） ．相等 B．互为相反数 ．互为倒数 D．互为有理化因式 【变式8-2】（2022 春•长兴县期中）二次根式❑ √ 2 5 ，2 ❑ √5， ❑ √2 5 的大小关系是（ ） ．❑ √ 2 5 ＜2 ❑ √5 ＜ ❑ √2 5 B．2 ❑ √5 ＜❑ √ 2 5 ＜ ❑ √2 5 ． ❑ √2 5 ＜❑ √ 2 5 ＜2 ❑ √5 D． ❑ √2 5 ＜2 ❑ √5 ＜❑ √ 2 5 【变式8-3】（2022 秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小 比较 ❑ √a+1 ❑ √a+2 与 ❑ √a+2 ❑ √a+3 的大小． 1 【题型9 分母有理化的应用】 【例9】（2022 春•大连月考）阅读材料： 黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两 个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如： （2+❑ √3）（2−❑ √3）＝1，（❑ √5+❑ √2）（❑ √5−❑ √2）＝3，它们的积不含根号，我们说 这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除 法可以这样理解：如1 ❑ √3= 1×❑ √3 ❑ √3×❑ √3= ❑ √3 3 ，2+❑ √3 2−❑ √3= (2+❑ √3)(2+❑ √3) (2−❑ √3)(2+❑ √3)=7+4 ❑ √3．像 这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫 做分母有理化． 解决问题： （1）4+❑ √7的有理化因式可以是 ，2 3 ❑ √2分母有理化得 ． （2）计算： ① 1 1+❑ √2 + 1 ❑ √2+❑ √3 + 1 ❑ √3+❑ √4 +⋯+ 1 ❑ √1999+❑ √2000． ②已知：x¿ ❑ √3−1 ❑ √3+1 ，y¿ ❑ √3+1 ❑ √3−1 ，求x2+y2的值． 【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如： 2+❑ √3 2−❑ √3= (2+❑ √3)(2+❑ √3) (2+❑ √3)(2−❑ √3)=¿7+4❑ √3；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简 一些有特点的无理数，如要化简❑ √4+❑ √7−❑ √4−❑ √7，可以先设x¿ ❑ √4+❑ √7−❑ √4−❑ √7 ，再两边平方得 x2 ＝（ ❑ √4+❑ √7−❑ √4−❑ √7） 2 ＝4+❑ √7+¿4−❑ √7−¿2 ❑ √(4+❑ √7)(4−❑ √7)=¿2 ，又因为❑ √4+❑ √7＞❑ √4−❑ √7，故x ＞0 ，解得x¿ ❑ √2， ❑ √4+❑ √7−❑ √4−❑ √7=❑ √2，根据以上方法，化简 ❑ √6−❑ √3 ❑ √6+❑ √3 +❑ √8+4 ❑ √3−❑ √8−4 ❑ √3的结 果是（ ） ．3 2 ﹣❑ √2 B．3+2❑ √2 ．4❑ √2 D．3 1 【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化． 分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号． 例如：1 ❑ √2= 1⋅❑ √2 ❑ √2⋅❑ √2= ❑ √2 (❑ √2) 2= ❑ √2 2 ， （1）将 1 ❑ √2+1分母有理化可得 ； （2）关于x 的方程3x−1 2 = 1 1+❑ √3 + 1 ❑ √3+❑ √5 + 1 ❑ √5+❑ √7 +⋯+ 1 ❑ √97+❑ √99 的解是 ． 【变式9-3】．（2022 春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将❑ √a±2❑ √b化 简，如果你能找到两个数m、，使m2+2＝且mm¿ ❑ √b，则将±2❑ √b将变成m2+2±2，即变 成（m±）2开方，从而使得❑ √a±2❑ √b化简． 例如，5±2❑ √6=¿3+2±2❑ √6=¿（❑ √3）2+（❑ √2）2±2❑ √2×❑ √3=¿（❑ √3±❑ √2）2，所以 ❑ √5±2❑ √6= ❑ √(❑ √3± ❑ √2) 2=❑ √3±❑ √2； 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如5 ❑ √3，❑ √ 2 3 ， 2 ❑ √3+1这样的式子， 其实我们还可以将其进一步化简：5 ❑ √3= 5×❑ √3 ❑ √3×❑ √3=5 3 ❑ √3（一）；❑ √ 2 3=❑ √ 2×3 3×3= ❑ √6 3 （二）； 2 ❑ √3+1= 2(❑ √3−1) (❑ √3+1)(❑ √3−1)=2(❑ √3−1) (❑ √3) 2−1 2=❑ √3−¿1（三）．以上这种化简的步 骤叫做分母有理化． 2 ❑ √3+1还 可 以 用 以 下 方 法 化 简 ： 2 ❑ √3+1= 3−1 ❑ √3+1=(❑ √3) 2−1 2 ❑ √3+1 =(❑ √3+1)(❑ √3−1) ❑ √3+1 =❑ √3−¿1（四）； 请根据材料解答下列问题： （1）❑ √3−2❑ √2=¿ ；❑ √4+2❑ √3=¿ ． （2）化简： 2 ❑ √3+1 + 2 ❑ √5+❑ √3 + 2 ❑ √7+❑ √5 +⋯+ 2 ❑ √2n+1+❑ √2n−1． 1