专题16.2 二次根式的乘除【九大题型】（解析版）

专题162 二次根式的乘除【九大题型】 【人版】 【题型1 求字母的取值范围】.................................................................................................................................1 【题型2 二次根式乘除的运算】.............................................................................................................................2 【题型3 二次根式的符号化简】.............................................................................................................................3 【题型4 最简二次根式的判断】.............................................................................................................................5 【题型5 化为最简二次根式】.................................................................................................................................6 【题型6 已知最简二次根式求参数】.....................................................................................................................7 【题型7 分母有理化】............................................................................................................................................. 8 【题型8 比较二次根式的大小】...........................................................................................................................10 【题型9 分母有理化的应用】............................................................................................................................... 11 【知识点1 二次根式的乘除法则】 ①二次根式的乘法法则：❑ √a∙❑ √b=❑ √a∙b(a≥0,b≥0)； ②积的算术平方根：❑ √a∙b=❑ √a∙❑ √b(a≥0,b≥0)； ③二次根式的除法法则： ❑ √a ❑ √b=❑ √ a b (a≥0,b>0)； ④商的算术平方根：❑ √ a b = ❑ √a ❑ √b (a≥0,b>0) 【题型1 求字母的取值范围】 【例1】（2022 春•赵县校级月考）若要使等式❑ √ x x−8= ❑ √x ❑ √x−8 成立，则x 的取值范围是 x ＞ 8 ． 【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x 的不等式组求出答． 【解答】解：∵等式❑ √ x x−8= ❑ √x ❑ √x−8 成立， ∴{ x ≥0 x−8＞0， 则x 的取值范围是：x＞8． 故答为：x＞8． 【变式1-1】（2022 秋•犍为县校级月考）已知❑ √( x−3)⋅(−x−2)=❑ √3−x⋅❑ √x+2，使等 式成立的x 的取值范围是 ﹣ 2≤ x ≤3 ． 1 【分析】根据二次根式的性质得出关于x 的不等式组，进而求出答． 【解答】解：∵❑ √( x−3)⋅(−x−2)=❑ √3−x⋅❑ √x+2， ∴{ 3−x ≥0 x+2≥0 ， 解得：﹣2≤x≤3． 故答为：﹣2≤x≤3． 【变式1-2】（2022 秋•南岗区期末）能使等式❑ √ x−2 x = ❑ √x−2 ❑ √x 成立的x 的取值范围是（ ） ．x＞0 B．x≥0 ．x＞2 D．x≥2 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：由题意得： { x−2≥0 x＞0 ， 解得：x≥2， 故选：D． 【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x 满足❑ √2 x 2−x 3=¿x•❑ √2−x，则x 的取值 范围是 0≤ x ≤2 ． 【分析】依据二次根式被开方数大于等于0 和❑ √a 2=¿（≥0）列不等式组求解即可． 【解答】解：∵原式¿ ❑ √(2−x)x 2=¿x•❑ √2−x， ∴x≥0 且2﹣x≥0． 解得：0≤x≤2． 故答为：0≤x≤2． 【题型2 二次根式乘除的运算】 【例2】（2022•长宁区期中）计算： （1）5❑ √ 8 27 •❑ √ 8 27 •3❑ √54； （2）2❑ √1 1 2 ÷5❑ √ 1 6 ⋅❑ √12． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝5× 8 27 ×3×3 ❑ √6= 40 ❑ √6 3 ． 1 （2）原式＝2× 1 5 ×❑ √ 3 2 ×6×12=12❑ √3 5 ． 【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：2❑ √ 2 3m ÷ 1 6 ❑ √6m•❑ √8m 3． 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答． 【解答】解：原式＝2×6❑ √ 2 3m × 1 6m ×8m 3 ＝12❑ √ 8m 9 ＝8❑ √2m． 【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：3 5 ❑ √x y 3÷(−4 15 ❑ √ y x )⋅(−5 6 ❑ √x 3 y)（x＞ 0）． 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算． 【解答】解：∵x＞0，xy3≥0， ∴y≥0， ∴原式¿ 3 5 ❑ √xy 3•（−15 4 ❑ √ x y ）•（−5 6 ❑ √x 3 y） ¿−9 4 ❑ √x 2 y 2•（−5 6 ❑ √x 3 y） ¿−9 4 xy•（−5 6 x❑ √xy） ¿ 15 8 x 2 y ❑ √xy． 【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2 b ❑ √ab 3(−3 2 ❑ √a 3b)÷3 ❑ √ a b （b＜0）． 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答． 【解答】解：∵由二次根式的性质可得＜0，b＜0， ∴原式¿ 2 b•（﹣b）❑ √ab•（3 2 ❑ √ab）÷3 ❑ √ab −b ＝﹣32b÷3 ❑ √ab −b ＝﹣32b×（−b 3 ❑ √ab ） ＝2b2× ❑ √ab ab 1 ＝b❑ √ab． 【题型3 二次根式的符号化简】 【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x❑ √ −y x 2 根号外的因式x 移到根号内 的正确结果为（ ） ．❑ √y B．❑ √−y ．−❑ √y D．−❑ √−y 【分析】根据被开方数大于等于0 求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0， 【解答】解：∵−y x 2 ＞0， ∴y＜0， ∵xy＞0， ∴x＜0， ∴x❑ √ −y x 2 =−❑ √ −y x 2 ⋅x 2=−❑ √−y． 故选：D． 【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a ❑ √ −1 a 3 根号外的因式移到根号内为（ ） ．❑ √ −1 a B．❑ √ 1 a ．−❑ √ 1 a D．−❑ √ −1 a 【分析】根据二次根式的性质先判断的符号，然后再进行计算． 【解答】解：由题意可知−1 a 3 ＞0， ∴＜0， ∴a ❑ √ −1 a 3 =¿• 1 −a ❑ √ −1 a =−❑ √ −1 a ， 故选：D． 【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）❑ √ 1 x−2 根号外的因式移到根号内，得 （ ） ．❑ √x−2 B．❑ √2−x ．﹣2❑ √2−x D．−❑ √x−2 【分析】根据二次根式的性质得出x 2 ﹣的符号，进而化简二次根式得出即可． 【解答】解：由题意可得：x 2 ﹣＞0， 则原式¿−❑ √( x−2) 2× 1 x−2=−❑ √x−2． 故选：D． 1 【变式3-3】（2022 春•龙口市期中）把（﹣b）❑ √ −1 a−b 根号外的因式移到根号内结果为 −❑ √b−a ． 【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1 a−b ＞0，则﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b ﹣）❑ √ −1 a−b ，然后利用二次根式的性质得到− ❑ √(b−a) 2•❑ √ −1 a−b ，再利用二次根式的 乘法得到−❑ √(b−a) 2⋅ 1 b−a ，再约分即可． 【解答】解：∵−1 a−b ＞0， ∵﹣b＜0， ∴原式＝﹣（b﹣）❑ √ −1 a−b =− ❑ √(b−a) 2•❑ √ −1 a−b=−❑ √(b−a) 2⋅ 1 b−a=−❑ √b−a． 故答为−❑ √b−a． 【知识点2 最简二次根式】 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【题型4 最简二次根式的判断】 【例4】（2022 秋•浦东新区校级月考）在❑ √ 2 5 、 ❑ √ab a 、❑ √18 x、❑ √x 2−1、❑ √0.6中，最简 二次根式是 ❑ √ab a 、❑ √x 2−1 ． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的 两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解： ❑ √ab a 、❑ √x 2−1是最简二次根式， 故答为： ❑ √ab a 、❑ √x 2−1． 【变式4-1】（2022 春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） ．❑ √48 B．❑ √14 ．❑ √ a b D．❑ √4 a+4 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方 数中不含分母，即可解答． 【解答】解：、❑ √48=¿4❑ √3，故不符合题意； B、❑ √14是最简二次根式，故B 符合题意； 1 、❑ √ a b= ❑ √ab b ，故不符合题意； D、❑ √4 a+4=¿2❑ √a+1，故D 不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（2022 秋•玉田县期末）下列各式：①❑ √ 2 5 ②❑ √2n+1③ ❑ √2b 4 ④❑ √0.1 y是最简 二次根式的是 ②③ （填序号）． 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因 式，可得答． 【解答】解：②❑ √2n+1③ ❑ √2b 4 是最简二次根式， 故答为：②③． 【变式4-3】（2022 春•建昌县期末）在二次根式❑ √ 1 2 、❑ √12、❑ √30、❑ √x+2，❑ √40 x 2， ❑ √x 2+ y 2中，是最简二次根式的共有 3 个． 【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可． 【解答】解：二次根式❑ √ 1 2 、❑ √12、❑ √30、❑ √x+2，❑ √40 x 2，❑ √x 2+ y 2中，是最简二次 根式的是❑ √30、❑ √x+2，❑ √x 2+ y 2， 故答为：3 【题型5 化为最简二次根式】 【例5】（2022 春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不 同的是（ ） ．❑ √2 B．5❑ √8 ．❑ √28 D．❑ √ 1 2 【分析】先把B、、D 化成最简二次根式，再找被开方数不同的项． 【解答】解：∵❑ √2是最简二次根式， 5❑ √8=¿10❑ √2，❑ √28=¿2❑ √7，❑ √ 1 2= ❑ √2 2 ． ∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是、B、D． 故选：． 【变式5-1】（2022 春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式 （1）❑ √ 3 100 （2）❑ √32 1 （3）❑ √ 4 x 3 3 【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答； （3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答． 【解答】解：（1）❑ √ 3 100= ❑ √3 10 ； （2）❑ √32=¿4❑ √2； （3）❑ √ 4 x 3 3 =2 x ❑ √x ❑ √3 =2 x ❑ √3 x 3 ． 【变式5-2】（2022 秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式： （1）27 5 ❑ √ 13 2−12 2 27 ； （2）−abc 2 ❑ √ c 3 2a 4b ． 【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号 外． 【解答】解：（1）原式¿ 27 5 ❑ √ 25 27 =27 5 × 5 3 ×❑ √ 1 3=9 ❑ √ 1 3=3 ❑ √3； （2）当b，同为正数时，原式¿−abc 2 × c a 2 ×❑ √ c 2b =−c 2 4 a ❑ √2bc． 当b，同为负数时，原式¿−abc 2 ×（−c a 2 ）×❑ √ c 2b =−c 2 4 a ❑ √2bc． 当＝0 时，原式＝0． 【变式5-3】（2022 秋•安岳县期末）❑ √ x 2−1 xy−y 化成最简二次根式是 ± ❑ √y( x+1) y ． 【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分 母有理化，化简求解． 【解答】解：原式¿ ❑ √ ( x−1)( x+1) y( x−1) =❑ √ x+1 y ； ①当y＞0 时，上式¿ ❑ √y( x+1) y 1 ②当y＜0 时，上式¿− ❑ √y( x+1) y ； 故答是：± ❑ √y( x+1) y ． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【例6】（2022 春•浉河区校级期末）若二次根式❑ √5a+3是最简二次根式，则最小的正整 数为 2 ． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的 两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：若二次根式❑ √5a+3是最简二次根式，则最小的正整数为2， 故答为：2． 【变式6-1】（2022 春•武江区校级期末）若❑ √a是最简二次根式，则的值可能是（ ） ．﹣4 B．3 2 ．2 D．8 【分析】根据二次根式有意义的条件判断选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开 方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，，D 选项． 【解答】解：选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意； B 选项，❑ √ 3 2= ❑ √6 2 ，故该选项不符合题意； 选项，❑ √2是最简二次根式，故该选项符合题意； D 选项，❑ √8=¿2❑ √2，故该选项不符合题意； 故选：． 【变式6-2】（2022 秋•崇川区校级期末）若❑ √2 m+n−2和❑ √3 3m−2n+2都是最简二次根式，则m ＝ 1 ，＝ 2 ． 【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m 与的值． 【解答】解：∵若❑ √2 m+n−2和❑ √3 3m−2n+2都是最简二次根式， ∴{ m+n−2=1 3m−2n+2=1， 解得：m＝1，＝2， 故答为：1；2． 【变式6-3】（2022 春•宁都县期中）已知：最简二次根式❑ √4 a+b与a−b √23的被开方数相 同，则+b＝ 8 ． 【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们 的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可． 1 【解答】解：由题意，得：{ a−b=2 4 a+b=23解得：{ a=5 b=3， + ∴b＝8． 【知识点3 分母有理化】 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一 项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有 理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 【题型7 分母有理化】 【例7】（2022 秋•曲阳县期末）把 ❑ √3a ❑ √12ab 化去分母中的根号后得（ ） ．4b B．2❑ √b ．1 2 ❑ √b D． ❑ √b 2b 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵＞0，b＞0，即＞0，b＞0； ∴ ❑ √3a ❑ √12ab = ❑ √3⋅❑ √a 2❑ √3⋅❑ √a⋅❑ √b = 1 2❑ √b = ❑ √b 2b ． 故选：D． 【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化： （1）1 3 ❑ √2=¿ ❑ √2 6 ；（2）1 ❑ √12=¿ ❑ √3 6 ；（3） ❑ √10 2❑ √5=¿ ❑ √2 2 ． 【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可． 【解答】解：（1）1 3 ❑ √2= ❑ √2 3 ❑ √2×❑ √2= ❑ √2 6 ， （2）1 ❑ √12= ❑ √3 ❑ √12×❑ √3= ❑ √3 6 ， （3） ❑ √10 2❑ √5= ❑ √10×❑ √5 2❑ √5×❑ √5= ❑ √2 2 ， 故答为： ❑ √2 6 ； ❑ √3 6 ； ❑ √2 2 ． 【变式7-2】（2022 春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ） ．❑ √a+b和❑ √a−b B．−❑ √a和❑ √a ．