专题1.4 有理数的乘除【九大题型】（解析版）

专题14 有理数的乘除【九大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 倒数的概念及运用】.................................................................................................................................3 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】............................................................................................................. 4 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】................................................................................................................. 6 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】............................................................................................................. 8 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】........................................................................................................... 10 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】............................................................................................................... 13 【题型8 有理数乘除法的实际应用】...................................................................................................................15 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】........................................................................................................... 17 【知识点1 有理数乘法的法则】 ①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同零相乘，都得0． ③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当 负因数有奇数个 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【知识点2 有理数除法的法则】 ①有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于0 的数，都 得0． 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ） ．5 个有理数相乘，当负因数为3 个时，积为负 B．﹣1 乘以任何有理数等于这个数的相反数 ．3 个有理数的积为负数，则这3 个有理数都为负数 D．绝对值大于1 的两个数相乘，积比这两个数都大 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【解答】解：、若五个有理数中只要出现一个0，不管有几个负因数，结果都为0．故 本选项错误； 1 B、﹣1 乘以任何有理数等于这个数的相反数，故本选项正确； 、3 个有理数的积为负数，则这3 个有理，都为负数，也可能有一个负数，故本选项错 误； D、绝对值大于1 的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如﹣3 和2，它们的积比这 两个数小，故本选项错误； 故选：B． 【变式1-1】（2022 春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ） ．若＞0，b＜0，则b a ＞0 B．若＞b，则﹣b＞0 ．若 ＜0，b＜0，则b＜0 D．若＞b，＜0，则b a ＜0 【分析】根据两数的符号或大小判断相应等式是否成立即可． 【解答】解：、两数相除，异号得负，故选项错误； B、大数减小数，一定大于0，故选项正确； 、两数相乘，同号得正，故选项错误； D、若＞b，＜0，则b a ＞0，故选项错误． 故选：B． 【变式1-2】（2022•广东一模）已知+b＞0 且（b 1 ﹣）＜0，则下列说法一定错误的是（ ） ．＞0，b＞1 B．＜﹣1，b＞1 ．﹣1≤＜0，b＞1 D．＜0，b＞0 【分析】根据有理数的乘法，异号两数相乘得负，可得答． 【解答】解：＞0，b＞1， （b 1 ﹣）＞0， 故错误； 故选：． 【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若、b 互为相反数，则a b=−¿1；② 若b＜0＜，且||＜|b|，则|+b|＝﹣||+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个， 则积为负；④当x＝1 时，|x 4|+| ﹣ x+2|有最小值为5；⑤若a b= c d ，则c a=d b ；其中错误 的有（ ） ．5 个 B．4 个 ．3 个 D．2 个 【分析】根据相反数、绝对值、有理数的乘法、等式的基本性质、有理数的乘方解决此 题． 1 【解答】解：①根据相反数的定义，当b＝0 时，此时a b不成立，故①错误，那么①符 合题意． ②根据绝对值的定义，由b＜0＜，且||＜|b|，则|+b|＝|b| || ﹣＝﹣||+|b|，故②正确，那么 ②不符合题意． ③几个不为0 的有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负，故③错误，那 么③符合题意． ④当x＝1 时，|x 4|+| ﹣ x+2|有最小值6，故④错误，那么④符合题意． ⑤由a b= c d ，得c a=d b （≠0，≠0，b≠0，d≠0），故⑤不正确，那么⑤符合题意． 综上：错误的有①③④⑤，共4 个． 故选：B． 【知识点3 倒数的概念】 乘积是1 的两个数互为倒数． “ ①互为倒数”的两个数是互相依存的； 0 ② 和任何数相乘都不等于1，因此0 没有倒数； ③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； ④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 【题型2 倒数的概念及运用】 【例2】（2022 秋•温江区月考）若3 12 ﹣ 没有倒数，则＝ 4 ；已知m 11 ﹣ 的倒数为−1 7 ， 则m+1 的相反数是 ﹣ 5 ． 【分析】根据0 没有倒数，倒数的定义以及相反数的定义作答． 【解答】解：当3 12 ﹣ ＝0 即＝4 时，3 12 ﹣ 没有倒数； 由m 11 ﹣ 的倒数为−1 7 得到：m 11 ﹣ ＝﹣7，则m＝4， 所以﹣（m+1）＝﹣（4+1）＝﹣5，即m+1 的相反数是﹣5． 故答是：4；﹣5． 【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果+3 的相反数是﹣51 3，那么的倒数是 ． 【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出，再根据乘积是1 的两个数互为 倒数解答． 【解答】解：∵+3 的相反数是﹣51 3， +3 ∴ ＝51 3， 1 ∴¿ 7 3， ∵（3 7 ）×（7 3）＝1， ∴的倒数是3 7 ． 故答为：3 7 ． 【变式2-2】（2022 秋•贵港期末）若、b 互为相反数，、d 互为倒数，m 的绝对值为2． （1）直接写出+b，d，m 的值； （2）求m+d+a+b m 的值． 【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答； （2）分两种情况讨论，即可解答． 【解答】解：（1）∵、b 互为相反数，、d 互为倒数，m 的绝对值为2， + ∴b＝0，d＝1，m＝±2． （2）当m＝2 时，m+d+a+b m =¿2+1+0＝3； 当m＝﹣2 时，m+d+a+b m =−¿2+1+0＝﹣1． 【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知与2 互为相反数，x 与3 互为倒数，则代数式+2+|﹣ 6x|的值为（ ） ．0 B．﹣2 ．2 D．无法确定 【分析】依据相反数和倒数的定义可求得、x 的值，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：由与2 互为相反数，x 与3 互为倒数，可得＝﹣2，x¿ 1 3， +2+| 6 ∴ ﹣x| ＝﹣2+2+| 6 ﹣× 1 3| ＝| 2| ﹣ ＝2． 故选：． 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ） ．﹣30× 3 7 −¿20×（−3 7 ）¿ 150 7 1 B．（−2 3 + 4 5 ）÷（−1 15 ）＝﹣2 ．（1 2−1 3）÷（1 3−1 4 ）×（1 4 −1 5）¿ 3 10 D．−4 5 ÷（+4 5 ）×（−8 27 ）＝0 【分析】根据有理数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、﹣30× 3 7 −¿20×（−3 7 ）＝（﹣30+20）× 3 7 =−30 7 ，故本选项错误； B、（−2 3 + 4 5 ）÷（−1 15 ）＝（2 15）÷（−1 15 ）＝﹣2，故本选项正确； 、（1 2−1 3）÷（1 3−1 4 ）×（1 4 −1 5）¿ 1 6 ÷ 1 12 × 1 20=1 6 ×12× 1 20= 1 10 ，故本选项错误； D、−4 5 ÷（+4 5 ）×（−8 27 ）＝﹣1×（−8 27 ）¿ 8 27 ，故本选项错误． 故选：B． 【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（−3 5 ）×（﹣31 2）÷（﹣11 4 ）÷3 （2）[（+1 7 ）﹣（−1 3 ）﹣（+1 5 ）]÷（−1 105） 【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式¿−3 5 × 7 2 × 4 5 × 1 3=−14 25 ； （2）原式＝（1 7 + 1 3−1 5）×（﹣105）＝﹣15 35+21 ﹣ ＝﹣29． 【变式3-2】（2022•安图县期末）计算： （1）6 19 ÷（﹣11 2）× 19 24 ． （2）﹣125×042÷（﹣7） 【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式¿−6 19 × 2 3 × 19 24 =−1 6 ． （2）原式＝﹣125×042×（−1 7 ） ＝﹣125×（﹣006） ＝75． 【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算： 1 （1）（−3 5 ）×（﹣31 2）÷（﹣11 4 ）÷3； （2）（﹣8）÷ 2 3 ×（﹣11 2）÷（﹣9）． 【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果． 【解答】解：（1）（−3 5 ）×（﹣31 2）÷（﹣11 4 ）÷3¿−3 5 × 7 2 × 4 5 × 1 3=−14 25 ； （2）（﹣8）÷ 2 3 ×（﹣11 2）÷（﹣9）＝﹣8× 3 2 × 3 2 × 1 9=−¿2． 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则： （﹣04）×（﹣08）×（﹣125）×25 ＝﹣（04×08×125×25）（第一步） ＝﹣（04×25×08×125）（第二步） ＝﹣[（04×25）×（08×125）]（第三步） ＝﹣（1×1）＝﹣1． 第一步： ；第二步： ；第三步： ． 【分析】根据有理数的乘法，即可解答． 【解答】解：写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则： （﹣04）×（﹣08）×（﹣125）×25 ＝﹣（04×08×125×25）（第一步） ＝﹣（04×25×08×125）（第二步） ＝﹣[（04×25）×（08×125）]（第三步） ＝﹣（1×1）＝﹣1． 第一步：确定积的符号，并把绝对值相乘； 第二步：乘法的交换律； 第三步：乘法的结合律． 故答为：确定积的符号，并把绝对值相乘；乘法的交换律；乘法的结合律． 【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（1 2−3 4 + 1 8）×（﹣24）． 【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：原式¿ 1 2 ×（﹣24）−3 4 ×（﹣24）+1 8 ×（﹣24）＝﹣12+18 3 ﹣＝﹣15+18 ＝3． 【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算 1 （1）9917 18 ×（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣36 7 ）+（﹣7）×（﹣36 7 ）+12×（﹣36 7 ） 【分析】（1）将9917 18变形为（100−1 18 ），然后依据乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100−1 18 ）×（﹣9） ＝﹣900+1 2 ＝﹣8991 2． （2）原式＝（﹣5 7+12 ﹣ ）×（﹣36 7 ） ＝0×（﹣36 7 ） ＝0． 【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算： （1）﹣13× 2 3−¿034× 2 7 + 1 3 ×（﹣13）−5 7 ×034 （2）（−1 3 −1 4 + 1 5−7 15）×（﹣60） 【分析】（1）首先应用乘法交换律，把﹣13× 2 3−¿034× 2 7 + 1 3 ×（﹣13）−5 7 ×034 化 成﹣13× 2 3−1 3 ×13−5 7 ×034 034 ﹣ × 2 7 ，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即 可． （2）应用乘法分配律，求出算式（−1 3 −1 4 + 1 5−7 15）×（﹣60）的值是多少即可． 【解答】解：（1）﹣13× 2 3−¿034× 2 7 + 1 3 ×（﹣13）−5 7 ×034 ＝﹣13× 2 3−1 3 ×13−5 7 ×034 034 ﹣ × 2 7 ＝﹣13×（2 3 + 1 3）﹣（5 7 + 2 7 ）×034 ＝﹣13×1 1×034 ﹣ ＝﹣13 034 ﹣ 1 ＝﹣1334 （2）（−1 3 −1 4 + 1 5−7 15）×（﹣60） ＝（−1 3 ）×（﹣60）−1 4 ×（﹣60）+1 5 ×（﹣60）−7 15 ×（﹣60） ＝20+15 12+28 ﹣ ＝51 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程． 计算：﹣5÷2× 1 2． 解：﹣5÷2× 1 2=−¿5÷（2× 1 2）…第1 步 ＝﹣5÷1…第2 步 ＝﹣5…第3 步 请问：（1）小明从第 1 步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据有理数除法的运算方法，以及有理数乘法的运算方法，可得：小明 从第1 步开始出现错误； （2）首先计算除法，然后计算乘法，求出算式﹣5÷2× 1 2的值是多少即可． 【解答】解：（1）小明从第1 步开始出现错误； （2）﹣5÷2× 1 2 ¿−5 2 × 1 2 ¿−5 4 故答为：1． 【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（−10 9 ）×（−3 5 ）． 解：（−10 9 ）×（−3 5 ） ¿−10 9 × 3 5① ¿−2 3．② 1 （1）找错：第 ① 步出现错误； （2）纠错： 【分析】（1）两数相乘，同号为正，（−10 9 ）与（−3 5 ）都是负数，它们的乘积是正 数，所以第①步错误； （2）根据有理数的乘法法则进行计算． 【解答】解：（1）因为第一步中两负数相乘的积是正数，而第①步多了一个负号，所 以解法从第①步开始出现错误； 故答为：①； （2）正确的解法是：（−10 9 ）×（−3 5 ）¿ 10 9 × 3 5=2 3． 【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程： 计算：5÷（1 3−¿21 2−¿2）÷6 解：5÷（1 3−¿21 2−¿2）×6 ＝5÷（−25 6 ）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ¿−1 5 ⋯③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 ① 步，错因是 除以一个数相当于 乘以这个数的倒数 ，第二处是 ② ，错因是 同级运算应从左到右的顺序依次进行 计算 ． （2）正确结果应是 −1 5 ． 【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序 依次进行计算，即可得出答； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第 二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； 故答为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依 次进行计算； （2）5÷（1 3−¿21 2−¿2）÷6 1 ＝5÷（−25 6 ）× 1 6 ＝5×（−6 25 ）× 1 6 ¿−1 5． 故答为：−1 5 ． 【变式5-3】（2022 秋•无为县月考）阅读下列材料： 计算：1 24 ÷（1 3−1 4 + 1 12）． 解法一：原式¿ 1 24 ÷ 1 3−1 24 ÷ 1 4 + 1 24 ÷ 1 12= 1 24 ×3−1 24 ×4+1 24 ×12¿ 11 24 ． 解法二：原式¿ 1 24 ÷（4 12−3 12 + 1 12）¿ 1 24 ÷ 2 12= 1 24 ×6¿ 1 4 ． 解法三：原式的倒数＝（1 3−1 4 + 1 12）÷ 1 24 =¿（1 3−1 4 + 1 12）×24¿ 1 3 ×24−1 4 ×24 +1 12 ×24＝4． 所以，原式¿ 1 4 ． （1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（−1 42 ）÷（1 6−3 14 + 2 3−2