专题4.4 角【十大题型】（解析版）

专题44 角【十大题型】 【人版】 【题型1 角的概念及角的度量】.............................................................................................................................2 【题型2 角的单位及其换算】.................................................................................................................................3 【题型3 角的计数问题】.........................................................................................................................................6 【题型4 钟面上角的特征】.....................................................................................................................................8 【题型5 方向角】................................................................................................................................................... 10 【题型6 与角平分线相关的角的运算】............................................................................................................... 13 【题型7 与角等分线相关的角的运算】............................................................................................................... 21 【题型8 在三角板中的角的运算】.......................................................................................................................29 【题型9 余角和补角的计算】...............................................................................................................................37 【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】..............................................................................................41 【知识点1 角的概念】 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射 线是角的两条边． 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内 部． 【知识点2 角的表示方法】 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母 表示 B 或B 任何情况下都适应表示端点的字 母必须写在中间 用一个大写字母 表示  以这个点为顶点的角只有一个 用数字表示 1 任何情况下都适用但必须在靠近 顶点处加上弧线表示角的范围， 并注上数字或希腊字母 用希腊字母表示  【题型1 角的概念及角的度量】 【例1】（2022·甘肃兰州·七年级期末）下列说法中正确的是（ ） ．由两条射线组成的图形叫做角 B 1  1 B．角的大小与角的两边长度有关 ．角的两边是两条射线 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 【答】 【分析】根据角的定义和性质解答即可． 【详解】由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法不正确； B 角的大小与角的两边长度无关，故原说法不正确； 角的两边是两条射线，正确； D 用放大镜看一个角，角的度数不变，故原说法不正确； 故选． 【点睛】本题考查角的概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点 叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．角的大小与边的长短没有关系． 【变式1-1】（2022·山东淄博·期中）∠ACB的两边分别是（ ） ．射线、B B．射线，B ．线段，B D．直线，B 【答】B 【分析】根据角的定义可进行求解． 【详解】解：∠ACB的两边分别是射线，B， 故选B． 【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠B，可以读出∠B 的度数 为______°． 【答】120 【分析】根据角的定义即可得到结论． 【详解】解：看内圈的数字可得：∠B=120°， 故答为：120． 【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ） 1 ．∠AOB也可用∠O来表示 B．∠β与∠BOC是同一个角 ．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠1与∠AOB是同一个角 【答】 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示． 其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来 记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β， ∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可． 【详解】解：、∠1 与∠B 是同一个角，不可用∠来表示，说法错误； B、∠β 与∠B 是同一个角，说法正确； 、图中共有三个角：∠B，∠，∠B，说法正确； D、∠1 与∠B 是同一个角，说法正确； 故选：． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 【题型2 角的单位及其换算】 【例2】（2022·山东烟台·期中）若∠1=25°15 '，∠2=25°13 '30 ″，∠3=25.35°，则 （ ） ．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 ．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3 【答】 【分析】首先∠1、∠2 已经是度、分、秒的形式，故将∠3 化为度、分、秒的形式；再根据 三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵∠1=25°15 '，∠2=25°13 '30 ″，∠3=25.35°=25°21'， ∴∠3>∠1>∠2． 故选． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用 是解决本题的关键． 【变式2-1】（2022·全国·七年级单元测试）下面等式成立的是（ ） 1 ．83.5 °=83 °50 ' B．90 °−57 °23 ＇27 ＂=32 °37 ＇33 ＂ ．15 ° 48 '36 ' '+37 °27 ＇59 ＂=52 °16 ＇35 ＂ D．41.25 °=41 °15 ＇ 【答】D 【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答 【详解】解：、83.5°=83°30'，故错误； B、90°−57°23' 27' '=32°36' 33' '，故B 错误； 、15° 48 '36 ' '+37°27 ＇59 ＂=53°16 ＇35 ＂，故错误； D、41.25°=41°15 ＇故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算 法则和角度的60 进位制 【变式2-2】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算： (1)45°10 21°35 20 ′﹣ ′ ′′； (2)48°39 +67°31 21°17 ′ ′﹣ ′； (3)42°16 +18°23 ×2 ′ ′ ． 【答】(1)23°34 40 ′ ′′ (2)94°53′ (3)79°2′ 【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答； （2）根据度分秒之间的进率即可解答； （3）先计算乘法，再计算加法即可． （1） 解：45°10 21°35 20 =23°34 40 ′﹣ ′ ′′ ′ ′′． （2） 解：48°39 +67°31 21°17 ′ ′﹣ ′ =116°10 -21°17 ′ ′ =94°53′． （3） 解：42°16 +18°23 ×2 ′ ′ =42°16 +36°46 ′ ′ =79°2′． 【点睛】本题考查度分秒的计算，1°=60 '，1 '=60 ″，掌握度分秒之间的进率是解答本题 的关键． 1 【变式2-3】（2022·天津南开·七年级期末）如图1 是一个1 4 的圆（∠B=90°），芳芳第一次 在图1 中画了一条线，将图1 等分成2 份，第二次又加了两条线，将图1 等分成4 份，第三 次由加了四条线，将图1 等分成8 份，第四次又加了八条线，将图1 等分成16 份，如图2 所示，则第（＞1）次可将图1 等分成_____份，当=5 时，图1 中的每份的角度是_____（用 度，分，秒表示） 【答】 2， 2°48 45″ ′ 【分析】从特殊到一般，探究规律后即可解决问题． 【详解】第一次在图1 中画了一条线，将图1 等分成2 份，第二次又加了两条线，将图1 等分4=22份，第三次由加了四条线，将图1 等分成8=23份，第四次又加了八条线，将图1 等分成16=24份，第（＞1）次可将图1 等分成2 份． 当=5 时，图1 中的每份的角度是90°× 1 2 5=2°48 45″ ′ ． 故答为2，2°48 45″ ′ ． 【点睛】本题考查了度分秒的换算、规律型：图形变化类等知识，解题的关键是掌握从特 殊到一般的探究方法，属于中考常考题型． 【题型3 角的计数问题】 【例3】（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠B 内部，画出1 条射线，可以画出3 个锐角； 画出2 条不同的射线，可以画出6 个锐角；画出3 条不同的射线，可以画出10 个锐角．照 此规律，画19 条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ） ．165 B．186 ．199 D．210 【答】D 【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出条射线所得到的锐角的个数是 1 1 2 (n+1)(n+2) ，代入即可得到答． 【详解】在锐角∠B 内部， 画出1 条射线，可以画出3 个锐角； 画出2 条不同的射线，可以画出6 个锐角； 画出3 条不同的射线，可以画出10 个锐角； …… ∴ 从一个角的内部引出条射线所得到的锐角的个数是 1+2+3+⋯+(n+1)=1 2 (n+1)(n+2) ∴ 画19 条不同的射线，可以画出锐角的个数为1 2 ×(19+1)×(19+2)=210 故选：D． 【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律． 【变式3-1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，∠AOB=90°， 则图中锐角有（ ） ．12 个 B．14 个 ．15 个 D．16 个 【答】B 【分析】根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以OB为边可得4 个锐角，以OC为边可 得4 个锐角，以OD为边可得3 个锐角，以OE为边可得2个锐角，以OF为边可得1个锐角， 即可求得答 【详解】解：顺时针方向数，以OB为边可得4 个锐角， 以OC为边可得4 个锐角， 以OD为边可得3 个锐角， 以OE为边可得2个锐角， 以OF为边可得1个锐角，共有锐角4+4+3+2+1=14个 故选B 【点睛】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时， 不要将直角算进去． 【变式3-2】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个 1 数为n，则n−m的值为（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【答】D 【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，的值，再代入求解即可． 【详解】由题意得m=7，n=8 故n−m=8−7=1 故答为：D． 【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键． 【变式3-3】（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（ ） ．8 个锐角，6 个直角，2 个钝角 B．12 个锐角，9 个直角，2 个钝角 ．8 个锐角，10 个直角，2 个钝角 D．6 个锐角，8 个直角，2 个钝角 【答】B 【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可． 【详解】5 个等腰直角三角形，5 个直角，10 个锐角，1 个正方形，4 个直角，1 个平行四 边形，2 个钝角，2 个锐角， 在一幅七巧板中根据12 个锐角，9 个直角，2 个钝角． 故选择B． 【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键． 【知识点3 钟表上有关夹角问题】 钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每 小时转30°，时针1 分钟转05°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型4 钟面上角的特征】 【例4】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（ ） ．3 时30 分，时针与分针的夹角是90° B．6 时30 分，时针与分针重合 ．8 时45 分，时针与分针的夹角是30° D．9 时整，时针与分针的夹角是90° 【答】D 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答． 1 【详解】解：、3 时30 分时，时针在3 与4 中间位置，分针在6 上，可以得出分针与时针 的夹角是25 大格，所以分针与时针的夹角是25×30=75°，故本选项错误； B、6 时30 分，时针与分针的夹角等于15°，故本选项错误； 、8 时45 分，时针与分针的夹角是30×1 4 =75°，故本选项错误； D、9 时整，钟面上的时针与分针的夹角=3×30=90°，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【变式4-1】（2022·河南洛阳·七年级期末）时钟的分针从8 点整转到8 点20 分，分针旋转 了（ ）度． ．20 B．120 ．90 D．150 【答】B 【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 4×30°=120°， ∴时钟的分针从8 点整转到8 点20 分，分针旋转了120 度， 故选：B． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 【变式4-2】（2022·山东烟台·期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此 时的时刻是 ______． 【答】8 点钟或4 点钟 【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分针 成120°的角，应该得出，时针距分针应该是4 个格，应考虑两种情况． 【详解】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°， ∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有两种 情况，即距时针4 个格， ∴只有8 点钟或4 点钟是符合要求． 故答为：8 点钟或4 点钟． 【点睛】本题主要考查了钟面角的有关知识．距分针成120°的角时针应该有两种情况，分 类讨论的应用是解决问题的关键． 【变式4-3】（2022·全国·七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．一天 24 小时中，当钟面角为0°时，时针与分针重合_____次． 【答】22 【分析】求出相邻两次钟面角为0 之间间隔的时间，即可得出答． 1 【详解】钟面上，分针转一圈即360°需要60 分钟，即分针的速度是每分钟6°，时针转一圈 需要12 个小时，时针的速度是每分钟360 ∘ 60×12=0.5 ∘， 则相邻两次钟面角为0 之间间隔的时间是： 360 ∘ 6 ∘−0.5 ∘≈65.45（分钟）， 一天有24×60=1440（分钟）， 则钟面角为0 的次数为：1440 65.45 ≈22.0015， 故答为：22． 【点睛】本题考查了钟面角问题．求出相邻两次钟面角为0 之间间隔的时间是解答本题的 关键． 【知识点4 方向角】 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东 60°；射线B 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就 叫做方向角． 【题型5 方向角】 【例5】（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有，B 两个小岛，其中B 在的北偏东40° 方向，那么小岛相对于小岛B 的方向是（ ） ．南偏东40° B．北偏东50° ．南偏西40° D．北偏西50° 【答】 【分析】根据B 在的北偏东40°方向，即可得出直线B 与B 点正南方向的夹角为40°，再根 据的位置即可得到答． 【详解】解：B 在的北偏东40°方向， 1 ∴小岛相对于小岛B 的方向是南偏西40°， 故选：． 【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法． 【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，甲从点出发向北偏东70°方向走到点B， 乙从点出发向南偏西15°方向走到点，则∠B 的度数是（ ） ．85° B．105° ．125° D．160° 【答】 【分析】首先求得B 与正东方向的夹角的度数，即可求解． 【详解】根据题意得：∠B＝（90° 70° ﹣ ）+15°+90°＝125°， 故选：． 【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键． 【变式5-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，渔船的方向可以由距小岛20 km 和在小 岛的西南方向这两个数据来确定．问： (1)渔船B 相对小岛的位置应怎样表述？ (2)小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km 处是哪艘渔船？ 【答】(1)渔船B 在小岛南偏东60°方向的25 km 处(2)渔船D 【分析】（1）根据渔船B 和小岛的位置，距离关系即可解答 (2）根据图像查找即可解答 【详解】(1)根据题中给的形式可得渔船B 在小岛南偏东60°方向的25 km 处 (2）根据图像可得小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km 处是渔船D 【变式5-3】（2022·重庆