专题11.5 角度计算中的经典模型【八大题型】（原卷版）

专题115 角度计算中的经典模型【八大题型】 【人版】 【题型1 双垂直模型】............................................................................................................................................. 1 【题型2 字模型】..................................................................................................................................................... 4 【题型3 8 字模型】..................................................................................................................................................7 【题型4 飞镖模型】............................................................................................................................................... 10 【题型5 风筝模型】............................................................................................................................................... 14 【题型6 两内角角平分线模型】...........................................................................................................................18 【题型7 两外角角平分线模型】...........................................................................................................................21 【题型8 内外角角平分线模型】...........................................................................................................................24 【知识点1 双垂直模型】 【条件】∠B= D= E=90° ∠ ∠ 【结论】∠B= DE ∠ ，∠B= ED ∠ 【证明】∵∠B= D= E=90° ∠ ∠ ；∴∠B+ B=90° ∠ ；又∠ED+ B=90° ∠ ；∴∠B= DE ∠ 同理, B+ DE ∠ ∠ =90°，且∠ED+ DE ∠ =90°；∴∠B= ED ∠ ，得证 【题型1 双垂直模型】 【例1】（2022 春•建邺区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 上一点，且∠D＝ ∠B． （1）求证：D⊥B 证明：在Rt△B 中，∵∠B＝90°（已知） + ∴∠∠B＝90°（ ） 又∵∠D＝∠B（已知） + ∴∠∠D＝90°（等量代换） ∴∠D＝90° （ ） 1 ∴D⊥B． （2）如图②，若∠B 的平分线分别交B，D 于点E，F，求证：∠E＝∠FE； （3）如图③，若E 为B 上一点，E 交D 于点F，B＝3E，B＝4D，S△B＝36． ①求S△EF﹣S△DF的值； ②四边形BDFE 的面积是 ． 【变式1-1】（2022 春•润州区期末）已知△B 中，∠B＝90°，BD 是边上的高，E 平分∠B， 分别交B、BD 于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF． 【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△B 是锐角三角形，高BD、E 相交于 点，找出∠B 和∠之间存在何种等量关系； （2）如图②，若△B 是钝角三角形，∠＞90°，高BD、E 所在的直线相交于点，把图② 补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？ 1 【变式1-3】（2022 春•香洲区期末）如图1，线段B⊥B 于点B，D⊥B 于点，点E 在线段B 上，且E⊥DE． （1）求证：∠EB＝∠ED； （2）如图2，F、DF 分别平分∠BE 和∠DE，E 平分∠DE 交D 于点，E 的反向延长线交 F 于点G． ①求证EG⊥F； ②求∠F 的度数．【提示：三角形内角和等于180 度】 【知识点2 字模型】 【条件】△DE 与△B 1 【结论】∠ED+ DE= B+ ∠ ∠ 【证明】根据三角形内角和可得，∠ED+ DE=180°- ∠ ∠，∠B+=180°-∠， ED+ DE= B+ ∠ ∠ ∠ ，得证 【题型2 字模型】 【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝ 120°，那么∠3 2 ﹣∠的度数为 ． 【变式2-1】（2022 春•道里区期末）如图，△B 中∠＝115°，若图中沿虚线剪去∠，则 ∠1+ 2 ∠等于（ ） ．180° B．230° ．290° D．295° 【变式2-2】（2022 武功县期末）如图，点D、E 分别在△B 的边B、上，连接D、DE，在 D 上取一点F，连接EF，若∠1+ 2 ∠＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥B． 【变式2-3】（2022 春•新野县期末）旧知新意： 1 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一 个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DB 与∠EB 分别为△B 的两个外角，试探究∠与∠DB+∠EB 之间存在怎样 的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△B 纸片中剪去△DE，得到四边形BDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠＝ 50° ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△B 中，BP、P 分别平分外角 ∠DB、∠EB，∠P 与∠有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答 ． 拓展提升： （4）如图4，在四边形BD 中，BP、P 分别平分外角∠EB、∠FB，∠P 与∠、∠D 有何数 量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．） 【知识点3 8 字模型】 1 【条件】D、B 相交于点 【结论】∠+∠B= + ∠∠D(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△B 中，由内角和定理：∠+∠B+∠B=180°，在△D 中，∠+∠D+∠D=180°， + ∴ ∠∠ B+∠B=180°= + ∠∠D+∠D，由对顶角相等：∠B=∠D + ∴ ∠∠ B= + ∠∠D，得证 【题型3 8 字模型】 【例3】（2022 春•叙州区期末）如图，BP 平分∠B 交D 于点F，DP 平分∠D 交B 于点E， 若∠＝45°，∠P＝40°，则∠的度数为（ ） ．30° B．35° ．40° D．45° 【变式3-1】（2022 春•靖江市校级月考）已知，如图，线段D、B 相交于点，连结B、D， ∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P．试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关 系，请说明理由． 【变式3-2】（2022 春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老 1 师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°． 小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以 过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整 （1）已知：如图1，三角形B，求证：∠B+∠B+∠＝180°，证明：过点作EF∥B． （2）如图2，线段B、D 相交于点，连接D、B，我们把形如图2 这样的图形称之为“8 字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系： ； （3）在图2 的条件下，∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P，并且与D、B 分别相 交于M、，得到图3，请判断∠P 与∠D、∠B 之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】（2022 春•石家庄期中）如图1 至图2，在△B 中，∠B＝α°，点D 在边所在直线 上，作DE 垂直于直线B，垂足为点E；BM 为△B 的角平分线，∠DE 的平分线交直线B 于点G． 特例感悟： （1）如图1，延长B 交DG 于点F，若BM∥DG，∠F＝30°． 解决问题： ①∠B＝ °； ②求证：⊥B； 深入探究； （2）如图2，当α＜90，DG 与BM 反向延长线交于点，用含α 的代数式表示∠BD＝ ； 拓展延伸： （3）当点D 在直线上移动时，若射线DG 与射线BM 相交，设交点为，直接写出∠BD 1 与α 的关系式． 【知识点4 飞镖模型】 1 【条件】四边形BD 如上左图所示 【结论】∠D= + ∠∠B+ ( ∠凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接D 并延长到E，则： ∠BD=∠BDE+∠DE=(∠B+ 1)+( 2+ )= ∠ ∠ ∠ ∠B+∠B+∠本质为两个三角形外角和定理证明 【题型4 飞镖模型】 【例4】（2022 春•三明期末）探究与思考： （1）如图①，∠BP 是△BP 的一个外角，则有结论：∠BP＝∠+∠B 成立．若点P 沿着线 段PB 向点B 运动（不与点B 重合），连接P 形成图形②，我们称之为“飞镖”图形， 那么请你猜想“飞镖”图形中∠BP 与∠、∠B、∠之间存在的数量关系？并证明你的猜想； （2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠+∠B+ + ∠∠D+∠E 的值，说明 你的理由； （3）若五角星中的点B 向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从 图④⑤中任选一个图形说明理由． 【变式4-1】（2022 春•井研县期末）Rt△B 中，∠＝90°，点D、E 分别是△B 边、B 上的点， 点P 是一动点．令∠PD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α． （1）若点P 在线段B 上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+ 2 ∠＝ ； （2）若点P 在线段B 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为 ； 1 （3）若点P 运动到边B 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？ 猜想并说明理由； （4）若点P 运动到△B 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说 明理由． 【变式4-2】（2022 春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）已知B 平行于D，如图，当点P 在B、D 外部时，∠BPD+∠D＝∠B 即∠BPD＝∠B ﹣∠D，为什么？请说明理由．如b 图，将点P 移动到B、D 内部，以上结论是否仍然成 立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请说明结论； （2）在图b 中，将直线B 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线D 于点Q，如图，则 ∠BPD、∠B、∠D、∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d 中∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F 的度数． 1 【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1 所示的图形，像我们常见的学习用 品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究∠BD 与∠、∠B、∠之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△B 上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点 B、，∠＝40°，则∠BX+∠X＝ °； ②如图3，D 平分∠DB，E 平分∠EB，若∠DE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DE 的度数； ③如图4，∠BD，∠D 的10 等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BD＝133°，∠BG1＝ 70°，求∠的度数． 1 【知识点5 风筝模型】 【条件】四边形BP，分别延长B、于点D、E，如上左图所示 【结论】∠PBD+ PE ∠ = + ∠∠P 【证明】如上右图，连接P，则：∠PBD=∠PB+∠PB，∠PE=∠P+∠P， PBD+ PE= ∴∠ ∠ ∠PB+∠PB+∠P+∠P=∠B+∠BP，得证 【题型5 风筝模型】 【例5】（2022 春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片B 的三个顶角向内折叠之后 （3 个顶点不重合），图中∠1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠＝ °． 1 【变式5-1】（2022 春•铜山区期中）（1）如图1，把△B 沿DE 折叠，使点落在点′处，请 直接写出∠1+2 与∠的关系： ． （2）如图2，把△B 分别沿DE、FG 折叠，使点落在点′处，使点B 落在点B′处，若 ∠1+ 2+ 3+ 4 ∠ ∠ ∠＝220°，则∠＝ ° （3）如图3，在锐角△B 中，BM⊥于点M，⊥B 于点，BM、交于点，把△B 沿DE 折叠 使点和点重合，则∠B 与∠1+ 2 ∠的关系是 ． ．∠B＝180°−1 2 （∠1+ 2 ∠） B．∠B＝∠1+ 2 ∠ ．∠B＝90°+1 2 （∠1+ 2 ∠） D．∠B＝90°+ 1 2 ∠ ∠ ﹣ （4）如图4，B 平分∠B，平分∠B，把△B 沿DE 折叠，使点与点重合，若∠1+ 2 ∠＝ 100°，求∠B 的度数． 1 【变式5-2】（2022 春•常州期中）已知△B 是一张三角形的纸片． （1）如图①，沿DE 折叠，使点落在边上点′的位置，∠D′E 与∠1 的之间存在怎样的数 量关系？为什么？ （2）如图②所示，沿DE 折叠，使点落在四边形BED 的内部点′的位置，∠、∠1 与∠2 之间存在怎样的数量关系？为什么？ （3）如图③，沿DE 折叠，使点落在四边形BED 的外部点′的位置，∠、∠1 与∠2 之间 存在怎样的数量关系？为什么？ 1 【变式5-3】（2022 春•姜堰市期中）△B，直线DE 交B 于D，交于E，将△DE 沿DE 折叠， 使落在同一平面上的′处，∠的两边与BD、E 的夹角分别记为∠1，∠2 如图①，当落在四边形BDE 内部时，探索∠与∠1+ 2 ∠之间的数量关系，并说明理由． 如图②，当′落在B 下方时，请直接写出∠与∠1+ 2 ∠之间的数量关系． 如图③，当′落在右侧时，探索∠与∠1，∠2 之间的数量关系，并说明理由． 【知识点6 两内角角平分线模型】 1 【条件】△B 中，B、分别是∠B 和∠B 的角平分线，且相交于点 【结论】 ∠I=90°+ 1 2 ∠A 【证明】∵B 是∠B 平分线，∴ ∠2=1 2 ∠ABC ∵是∠B 平分线，∴ ∠3=1 2 ∠ACB 由→B→→→的飞镖模型可知： = + 2+ 3= + ∠∠∠ ∠ ∠ 1 2 ∠ABC + 1 2 ∠ACB = + ∠ 1 2 (180°−∠A) = 90°+ 1 2 ∠A 【题型6 两内角角平分线模型】 【例6】（2022 春•靖江市校级月考）如图，△B 中，∠B＝50°，∠B 的角平分线与∠B 的角平 分线交于点．则∠B＝ ． 【变式6-1】（2022 春•昌平区校级期中）如图，BD，E，F 分别是△B 的角平分线，且相交 于点，⊥B 于，试问∠1＝∠2？请说明理由． 【变式6-2】（2022 春•秀英区校级期末）如图，在△B 中，∠B，∠B 的平分线BD，E 相交 于点． （1）若∠＝60°，求∠B 的度数； 1 （2）求证：∠B＝90°+1 2 ∠． 【变式6-3】（2022 春•海淀区校级期中）已知B∥D，直线EF 与B、D 分别交于点E、F， 点G 为落在直线B 和直线D 之间的一个动点． （1）如图1，点G 恰为∠BEF 和∠DFE 的角平分线的交点，则∠EGF＝ ； （2）若点G 恰为∠BEF 和∠DFE 的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF 一定为钝角； ②∠EGF 可能为60°；③若∠EGF 为直角，则EF⊥D．其中正确结论的序号为 ． （3）进一步探索，若EF⊥D，且点G 不在线段EF 上，记∠EG＝α，∠FG＝β，EM 为 ∠EG 最接近EG 的等分线，F 是∠FG 最接近F 的等分线（其中≥2）．直线EM、F 交于 点P，是否存在某一正整数，使得∠EPF＝90°？说明理由． 1 【知识点7 两外角角平分线模型】 【条件】△B 中，B、分别是△B 的外角的角平分线，且相交于点 【结论】 ∠O=90°−1 2 ∠A 1 【证明】∵B 是∠EB 平分线，∴ ∠2=1 2 ∠EBC ，∵是∠FB 平分线，∴ ∠5=1 2 ∠FCB 由△B 中内角和定理可知：∠=180°- 2 - 5 =180°- ∠ ∠ 1 2 ∠EBC - 1 2 ∠FCB =180°- 1 2 (180°−∠ABC ) - 1 2 (180°−∠ACB) = 1 2 (∠ABC + ∠ACB) = 1 2 (180°−∠A) = ∠O=90°−1 2 ∠A 【题型7 两外角角平分线模型】 【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△B 中，∠B，∠的外角平分线相交于点，若∠＝ 74°，则∠＝ 度． 【变式7-1】（2022 春•新北区校级期中）（1）如图①，在△B 中，∠B、∠B 的平分线相交 于点，∠＝40°，求∠B 的度数； （2）如图②，△′B′′的外角平分线相交于点′，∠′＝40°，求∠B′′′的度数； （3）上面（1）、（2）两题中的∠B 与∠B′′′有怎样的数量关系若∠＝∠′＝°，∠B 与∠B′′′ 是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？ 1 【变式7-2】（2022 春•江夏区期末）如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B＝∠D，延长B 至 E，连接E 交D 于F，∠ED 和∠ED 的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠P＝70°，则 ∠D 的度数是（ ） ．80° B．75° ．70° D．60° 【变式7-3】（2022 春•丰县月考）如图，四边形BD，BE、DF 分别平分四边形的外角 ∠MB 和∠D，若∠BD＝α，∠BD＝β． （1）如图1，若α+β＝105°，求∠MB+∠D 的度数； （2）如图1，若BE 与DF 相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β 所满足的数量关 系式； （3）如图2，若α＝β，判断BE，DF 的位置关系，并说明理由． 1 【知识