专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（原卷版）

专题278 相似三角形的常见模型【八大题型】 【人版】 【题型1 字型】........................................................................................................................................................ 2 【题型2 “8”字形】................................................................................................................................................... 3 【题型3 X 字型】.....................................................................................................................................................4 【题型4 子母型】..................................................................................................................................................... 6 【题型5 三角形内接矩形型】.................................................................................................................................8 【题型6 双垂直型】................................................................................................................................................. 9 【题型7 手拉手型】............................................................................................................................................... 11 【题型8 一线三角型】........................................................................................................................................... 13 【基本模型】 ①如图，在 中，点D 在 上，点E 在 上， ，则 ， ． ②模型拓展1：斜交字型条件： ，图2 结论： ； ③模型拓展2： 如图，∠D＝∠B⇔△D∽△B⇔ ． 1 【题型1 字型】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯 下的 处走到 处时，测得影子 的长为1 米，继续往前走2 米到达 处时，测得影子 的长为2 米， 已知王华的身高是15 米，那么路灯 的高度等于_________． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△BD 中，∠＝ 90°，B＝6m，D＝12m．某一时刻，动点M 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运 动；同时，动点从点D 出发沿D 方向以2m/s 的速度向点匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t 为何值时，△M 的面积是△BD 面积的 ； （2）当以点，M，为顶点的三角形与△BD 相似时，求t 值． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，B＝15m， B＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别 如图1、图2 所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不 计）． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1 与l2 的距离为1，l2 与l3 的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点，B，恰好分别落在三条直线 上，与直线l2 交于点D，则线段BD 的长度为（ ） 1 ． B． ． D． 【基本模型】 ①如图1，B∥D⇔△B∽△D⇔ ； ②如图2，∠＝∠D⇔△B∽△D⇔ ． ③模型拓展：如图，∠＝∠ △ ⇔B∽△D⇔ ． 【题型2 “8”字形】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 的中点，连 接，BE 交于点F．若△EF 的面积为2，则△B 的面积为( ) ．8 B．10 ．12 D．14 1 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△B 中，B＝6， ，动点P 在射 线EF 上，BP 交E 于点D，∠BP 的平分线交E 于点Q，当Q＝ E 时，EP+BP 的值为（ ） ．9 B．12 ．18 D．24 【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长． 【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点． 求 的值． 【基本模型】 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化 【题型3 X 字型】 【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形BD 中，∠B 的平分线交于点 E，交D 于点F，交D 的延长线于点G，若F＝2FD，则 的值为（ ） 1 ． B． ． D． 【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 中， ， （如图）．以线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点， 连接 并延长交线段 于点 ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）连接 ，交 于点 ． ①若 ，求 的长； ②作 ，垂足为 ，求证： ． 【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△B 中，线段D 为其内角 角平分线，过D 点的直线B11⊥于1交B 的延长线于B1． （1）请你探究： ， 是否都成立？ （2）请你继续探究：若△B 为任意三角形，线段D 为其内角角平分线，请问 一定 成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△B 中，∠B＝90︒，＝8，B＝ ，DE∥交B 于点E，试求 的值． 1 【基本模型】 如图为斜“”字型基本图形．当 时， ，则有 ． ． 如图所示，当E 点与点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当 时， ，则有 ． 【题型4 子母型】 【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则D 的长为______． 【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1， 中， 是 的角平分线， ． 求证： 与 互为母子三角形． 1 （3）如图2， 中， 是中线，过射线 上点 作 ，交射线 于点 ， 连结 ，射线 与射线 交于点 ，若 与 互为母子三角形．求 的值． 【变式4-2】（2022·辽宁鞍山·二模）在△B 中，∠B＝2∠B，BD 平分∠B 交于点D． （1）如图（1），若B＝3，＝5，求D 的长； （2）如图（2），过点分别作，BD 的垂线，分别交B，BD 于点E，F． ①求证：∠B＝∠EF； ②求 的值． 【变式4-3】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图， 中， 点 分别是 的中点， 与点 ． （1）求证： ； （2）求 的大小； （3）若 ，求 的面积． 【基本模型】 由之前的基本模型（型或X 型）推导出来的。 结论：⊥GF，△GF∽△B， 1 【题型5 三角形内接矩形型】 【例5】（2022 秋•南岗区校级月考）如图1，在△B 中，B==5，B=6，正方形DEFG 的顶点 D、G 分别在B、上，EF 在B 上． （1）求正方形DEFG 的边长； （2）如图2，在B 边上放两个小正方形DEFG、FGM，则DE= ． 【变式5-1】（2022 秋•道里区期末）如图，正方形EFG 内接于△B，D⊥B 于点D，交E 于 点M，B＝10m，D＝20m．求正方形EFG 的边长． 【变式5-2】（2022 秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如 图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果 中的分数可保留）． 【变式5-3】（2022 秋•渭滨区期末）（1）如图1，在△B 中，点D，E，Q 分别在B，，B 上，且DE∥B，Q 交DE 于点P，求证： ； （2） 如图，在△B 中，∠B=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△B 的边上，连接G，F 分别 交DE 于M，两点． 1 ①如图2，若B==1，直接写出M 的长； ②如图3，求证M2=DM·E． 【基本模型】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即 △D∽△B∽△BD 常见的结论有：2＝D·B，B2＝BD·B，D2＝D·DB ②拓展： （1）在 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内 均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型6 双垂直型】 【例6】（2022 秋•青羊区校级月考）如图，四边形BD 中，D∥B，∠B＝90°，E 为B 上一 点，分别以ED、E 为折痕将 两个角(∠、∠B)向内折起，点、B 恰好落在D 边的点F 处，若D＝3，B＝5，则EF 的长是 （ ） B．2 D．2 1 【变式6-1】（2022 秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△B 中，∠B＝90°，BD⊥，DE⊥B， 垂足分别为D、E 两点，则图中与△B 相似的三角形有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式6-2】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 在B 上，且 ＝ ． （1）求证 △D∽△B； （2）若D＝3，BD＝2，求D 的长． 【变式6-3】（2022 秋•汝州市校级月考） 中， ， ，点E 为 的中点，连接 并延长交 于点F，且有 ，过F 点作 于点． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）若 ，求 的长． 1 【基本模型】 ①如图，若△B∽△DE，则△BD∽△E[] ②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则 ，且相似比为 ， 与 的夹角为 ． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋 转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示， ，则 ， ，且 ． 【题型7 手拉手型】 【例7】（2022 春•江阴市期中）如图，在△B 与△DE 中，∠B＝∠ED＝90°，∠B＝∠DE，连 接BD、E，若：B＝3：4，则BD：E 为（ ） ．5：3 B．4：3 ．❑ √5：2 D．2：❑ √3 【变式7-1】（2022 秋•岳阳县期中）在△B 中，B＝，∠B＝α，点P 为线段延长线上一动点， 连接PB，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，D． （1）如图1，当α＝60°时，求证：P＝D； 1 （2）如图2，当α＝120°时，猜想P 和D 的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若B＝6，BP＝ ，请直接写出点D 到P 的距离． 【变式7-2】（2022 秋•炎陵县期末）如图，以 的两边 、 分别向外作等边 和等边 ， 与 交于点 ，已知 ， ， ． （1）求证： ； （2）求 的度数及 的长； （3）若点 、 分别是等边 和等边 的重心（三边中线的交点），连接 、 、 ，作出图象，求 的长． 【变式7-3】（2022 春•栖霞市期末）如图，正方形BD，对角线，BD 相交于，Q 为线段 DB 上的一点， ，点M、分别在直线B、D 上． （1）如图1，当Q 为线段D 的中点时，求证： ； （2）如图2，当Q 为线段B 的中点，点在D 的延长线上时，则线段D、BM、B 的数量关 1 系为 ； （3）在（2）的条件下，连接M，交D、BD 于点E、F，若 ， ，求 EF 的长． 【基本模型】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠E＝90°，则△B∽△DE (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠E＝∠D，则△B∽△DE 特别地，连接E，若为BD 的中点，则△E∽△B∽△DE 补充：其他常见的一线三等角图形 【题型8 一线三角型】 【例8】（2022 秋•灌云县期末）【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．若 ， ， ，求P 的长． 【拓展】如图③，在 中， ， ，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），连结P，作 ，PE 与边B 交于点E，当 是等腰三角形时，直接 写出P 的长． 【变式8-1】（2022•雨城区校级开学）如图，在等边△B 中，P 为B 上一点，D 为上一点， 且∠PD＝60°，2BP＝3D，BP＝1． 1 （1）求证△BP∽△PD； （2）求△B 的边长． 【变式8-2】（2022 秋•渝中区期末）如图，在矩形BD 中，D＝4，E 是B 的中点，连接 E，t∠EB ，P 是D 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在E 上的点 处，当 是直角三角形时，PD 的值为（ ） ． 或 B． 或 ． 或 D． 或 【变式8-3】（2022 秋•椒江区校级月考）【推理】 如图1，在正方形BD 中，点E 是D 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点落在点F 处，连 结BE，F，延长F 交D 于点G． （1）求证： ． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交D 于点．若 ， ，求线段DE 的 长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结F，延长F，BF 交直线D 于G，两点， 若 ， ，求 的值（用含k 的代数式表示）． 1 1