专题14.1 幂的运算【八大题型】（原卷版）

专题141 幂的运算【八大题型】 【人版】 【题型1 幂的基本运算】.........................................................................................................................................1 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】.........................................................................................................2 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】.................................................................................................. 2 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】.........................................................................................................2 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】................................................................................................................. 3 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】.................................................................................................. 3 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】................................................................................................................. 3 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】.............................................................................................................4 【知识点1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：m·=m+。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(m)=m。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(b)=b。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：m÷=m-。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0 的数的0 次幂都等于1。 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（ ） ．m2﹣＝2 B．2（﹣b2）3＝﹣23b6 ．（﹣m）2m4＝m8 D．x 6 y x 2 =x 3 y 【变式1-1】（2022 秋•南陵县期末）( 5 12 ) 2005×(2 2 5 ) 2004=¿（ ） ．1 B．5 12 ．22 5 D．( 5 12 ) 2003 【变式1-2】（2022 秋•孝南区月考）计算x5m+3+1÷（x）2•（﹣xm）2的结果是（ ） ．﹣x7m++1 B．x7m++1 ．x7m +1 ﹣ D．x3m++1 【变式1-3】（2022 秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（ ） ①5+5＝10；②（﹣）6•（﹣）3•＝10；③﹣4•（﹣）5＝20；④25+25＝26． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 1 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 【例2】（2022 春•宣城期末）已知＝8131，b＝2741，＝961，则、b、的大小关系是（ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．b＞＞ D．＞＞b 【变式2-1】（2022 春•晋州市期中）阅读：已知正整数，b，，若对于同底数，不同指数 的两个幂b和（≠1），当b＞时，则有b＞；若对于同指数，不同底数的两个幂b和b，当 ＞时，则有b＞b，根据上述材料，回答下列问题． （1）比较大小：520 420，961 2741；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程] 【变式2-2】（2022 秋•滨城区月考）已知＝3231，b＝1641，＝821，则，b，的大小关系是（ ） ．＞b＞ B．＞＞b ．＜b＜ D．b＞＞ 【变式2-3】（2022 春•泰兴市校级月考）若＝2555，b＝3444，＝4333，d＝5222，试比较、 b、、d 的大小．（写出过程） 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 【例3】（2022 春•巨野县期中）已知：52＝，9＝b，则154＝ ． 【变式3-1】（2022 秋•西青区期末）若2x＝，16y＝b，则22x+4y的值为 ． 【变式3-2】（2022 春•萧山区期中）若xm＝5，x¿ 1 4 ，则x2m﹣＝（ ） ．5 2 B．40 ．25 4 D．100 【变式3-3】（2022 春•高新区校级月考）已知32m＝，27＝b．求： （1）34m的值； （2）33的值； （3）34m 6 ﹣的值． 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 【例4】（2022•铁岭模拟）若+3b 2 ﹣＝0，则3•27b＝ ． 【变式4-1】（2022 秋•淇滨区校级月考）当3m+2 3 ﹣＝0 时，则8m•4＝ 8 ． 【变式4-2】（2022 春•东台市期中）已知﹣2b 3 ﹣＝2，则2÷4b×( 1 8 ) c的值是 ． 【变式4-3】（2022 春•昌平区期末）若5x 2 ﹣y 2 ﹣＝0，则105x÷102y＝ ． 1 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 【例5】（2022 秋•西城区校级期中）若5•（y）3＝17，则y＝ ，若3×9m×27m＝311， 则m 的值为 ． 【变式5-1】（2022 春•建湖县期中）规定*b＝2×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2* （x+1）＝64，则x 的值为 ． 【变式5-2】（2022 秋•卫辉市期末）已知2m＝4 1 ﹣，27＝3m 1 ﹣，则﹣m＝ ． 【变式5-3】（2022 春•兴化市期中）若（2m）2•23＝84，其中m、都是自然数，则符合条件 m、的值有____组． 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 【例6】（2022 秋•崇川区校级期中）若a 2m+3 y =a m+1 x =¿1． （1）请用含x 的代数式表示y； （2）如果x＝4，求此时y 的值． 【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，＝98，试用含m，的式子表示7272． 【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x 的代数式表示y． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x 的代数式表示y． 【变式6-3】（2022 春•新泰市期末）若m＝（＞0，≠1，m、都是正整数），则m＝，利用 上面结论解决下面的问题： （1）如果2x•23＝32，求x 的值； （2）如果2÷8x•16x＝25，求x 的值； （3）若x＝5m 2 ﹣，y＝3 25 ﹣ m，用含x 的代数式表示y． 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 【例7】（2022 春•沭阳县校级月考）计算： （1）（﹣）2•3 （2）（﹣8）2013•（1 8）2014 （3）x•x+1+x2•x（是正整数） （ 4 ）（2•3）4． 【变式7-1】（2022 秋•道外区校级月考）计算： （1）y3•y2•y （2）（x3）4•x2 （3）（ 4•2）3•（﹣）5 （4）（﹣32）3 • ﹣5+（43）2． 【变式7-2】（2022 春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题 1 （1）（4 5 ）2015×（﹣125）2016． （2）（31 8）12×（8 25）11×（﹣2）3． 【变式7-3】（2022 春•漳浦县期中）计算 （1）（m﹣）2•（﹣m）3•（﹣m）4 （2）（b2）3（b3）4÷（b5）+1 （3）（2）3﹣3•3+（23）2； （4）（﹣4m+1）3÷[2（2m）2•]． 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】 【例8】（2022 春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为m•＝m+（其中≠0， m、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、的一种新运算：（m+）＝（m）• （）；比如（2）＝3，则（4）＝（2+2）＝3×3＝9，若（2）＝k（k≠0），那么（2）• （2022）的结果是（ ） ．2k+2021 B．2k+2022 ．k+1010 D．2022k 【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果x＝（＞0，且≠1），那么x 叫做以为底的 对数，记作x＝lg．例如：由于23＝8，所以3 是以2 为底8 的对数，记作lg28＝3；由于 1＝，所以1 是以为底的对数，记作lg＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如 果＞0，且≠1，M＞0，＞0，那么（1）lg（M•）＝lgM+lg；（2）lg M N =¿lgM lg ﹣ ； （3）lgM＝lgM．根据上面的运算性质，计算lg2（23×8）﹣lg216 5 −¿lg210 的结果是 ． 【变式8-2】（2022 春•泰兴市期中）规定两数，b 之间的一种运算，记作※b：如果＝b， 那么※b＝．例如：因为32＝9，所以3 9 ※ ＝2 （1）根据上述规定，填空：2 16 ※ ＝ ， ※ 1 36=−¿2， （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3 4 ※ ＝3 4 ※ ，小明给出了如下的证明： 设3 4 ※ ＝x，则（3）x＝4，即（3x）＝4 所以3x＝4，即3 4 ※ ＝x， 所以3 4 ※ ＝3 4 ※ ． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：6 7+6 9 ※ ※ ＝6 63 ※ ； ②猜想：（x 1 ﹣）※（y+1）+（x 1 ﹣）※（y 2 ﹣）＝ ※ （结果化成最简形 式）． 1 【变式8-3】（2022 秋•南宁期末）规定两数，b 之间的一种运算，记作（，b），如果＝ b，那么（，b）＝．我们叫（，b）为“雅对”． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3， 5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝，则3m＝3，3＝5． 3 ∴ m•3＝3m+＝3×5＝15． ∴（3，15）＝m+，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ ； （5，25）＝ ； （3， 27）＝ ． （2）计算：（5，2）+（5，7）＝ ，并说明理由． （3）记（3，5）＝，（3，6）＝b，（3，30）＝．求证：+b＝． 1