专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（原卷版）

专题229 二次函数中的最值问题【八大题型】 【人版】 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】..............................................................................2 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】..............................................................................................4 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】..................................................................................6 【题型4 二次函数中求线段最值】.......................................................................................................................10 【题型5 二次函数中求线段和差最值】............................................................................................................... 18 【题型6 二次函数中求周长最值】.......................................................................................................................32 【题型7 二次函数中求面积最值】.......................................................................................................................42 【题型8 二次函数在新定义中求最值】............................................................................................................... 52 【知识点1 二次函数的最值】 1 对于二次函数 在 上的最值问题（其中、b、、m 和均为定 值， 表示y 的最大值， 表示y 的最小值）： （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值． （2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ． （3）若 ，如图③，当， ；当 ， ． （4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ． x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a ④ ③ ② ① 2 对于二次函数 ，在 （m，为参数）条件下，函数的最值需 要分别讨论m，与 的大小． 1 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 【例1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2 2 ﹣x+m．当﹣3≤x≤3 时，则y 的最大值 为 （用含m 的式子表示）． 【变式1-1】（2022 秋•河西区期末）当x≥2 时，二次函数y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣有（ ） ．最大值﹣3 B．最小值﹣3 ．最大值﹣4 D．最小值﹣4 【变式1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数y 的最小 值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1 时，y＝1； 当x＝2 时，y＝4； 所以函数y 的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点（3，0），且对称 轴为直线x＝1． （1）求b+的值． （2）当﹣4≤x≤3 时，求y 的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x 1 ﹣上，求平移后所 得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值． 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2 4 ﹣mx（m 为不等于0 的常数）， 当﹣2≤x≤3 时，函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ） ．±1 6 B．−1 6 或1 2 ．−1 6 或2 3 D．1 6 或2 【变式2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于x 的二次函数y＝x2+2x+2+3，当0≤x≤1 时，y 的最大值为10，则的值为 ． 【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝x2 2 ﹣x+，当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值 7，最大值11，则+的值为（ ） ．3 B．9 ．29 3 D．25 3 【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+，当x＞0 时，函数的最小值为 ﹣3，当x≤0 时，函数的最小值为﹣2，则b 的值为（ ） ．6 B．2 ．﹣2 D．﹣3 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x 3 ﹣的最小值为﹣3，最大值为 1，则m 的取值范围是（ ） 1 ．0≤m≤2 B．0≤m＜4 ．2≤m≤4 D．m≥2 【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2 4 ﹣x+5，当m≤x≤m+3 时，求y 的 最小值（用含m 的代数式表示）． 【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝x2+bx 3 ﹣，其中、b 为实数，＜0，且经过 （3，0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）若＝﹣2，当t 2≤ ﹣ x≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值； （3）点坐标为（0，4），将点向右平移3 个单位长度，得到点B．若抛物线与线段B 有 两个公共点，求的取值范围． 【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴的一个交点为（﹣1， 0），且经过点（2，）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标． （2）当t≤x≤2﹣t 时，函数的最大值为M，最小值为，若M﹣＝3，求t 的值． 【题型4 二次函数中求线段最值】 【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝x2+bx 2 ﹣与x 轴交于点（﹣2，0）、B （1，0），与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB+M 的最小值； （3）若点P 是直线下方抛物线上的动点，过点P 作PQ⊥于点Q，线段PQ 是否存在最 大值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践 如图，抛物线y＝x2+2x 8 ﹣与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点．点D 在直线下方的抛物线上运动，过点D 作y 轴的平行线交于点E． 1 （1）求直线的函数表达式； （2）求线段DE 的最大值； （3）当点F 在抛物线的对称轴上运动，以点，，F 为顶点的三角形是直角三角形时， 直接写出点F 的坐标． 【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+经过点（3，0），B（0， 3），点P 是直线B 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M．设点P 的横坐标 为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 在第一象限，连接M，BM．当线段PM 最长时，求△BM 的面积； （3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2022 春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝x2+bx+4 与x 轴交于（﹣4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于点，点P 是直线上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式； （1）过点P 作PE⊥于点E，求 ❑ √2 2 PE 的最大值及此时点P 的坐标； （2）将抛物线y＝x2+bx+4 向右平移4 个单位，得到新抛物线y'，点M 是抛物线y'的对 称轴上一点．在x 轴上确定一点，使得以点、、M、为顶点的四边形是平行四边形，直 接写出所有符合条件的点的坐标． 1 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 【例5】（2022 春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y¿−3 4 x2−9 4 x+3，抛物 线与x 轴交于点和点B，与y 轴交点于点． （1）请分别求出点、B、的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接、B，将△B 绕点B 顺时针旋转90°，点、的对应点分别为M、，求点M、的坐 标； （3）若点P 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|P﹣BP|最大时点Р 的坐 标，并请直接写出|P﹣BP|的最大值． 【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9． （1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标； （2）当m＝﹣3 时，如图，二次函数与y 轴的交点为M，顶点为． ①若点P 是x 轴上的动点，求P﹣PM 的最大值及对应的点P 的坐标； ②设点Q 是二次函数上的动点，点是直线M 上的动点，是否存在点Q，使得△Q 是以点 Q 为直角顶点的等腰Rt△Q？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践 如图，已知正方形DE 中，顶点E（1，0），抛物线y¿ 1 2x2+bx+经过点、点D，与x 轴交 于、B 两点（点B 在点的右侧），直线x＝t（t＞0）交x 轴于点F． （1）求抛物线的解析式，且直接写出点、点B 的坐标； （2）若点G 是抛物线的对称轴上一动点，且使G+G 最小，则G 点坐标为： ； （3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F 为顶点的三角 形与△B 全等，请你直接写出点P 的坐标； （4）点M 是射线上一点，点为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点、点、点 M、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理 由． 【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1 所示抛物线与x 轴交于，两点，＝6，其顶点与x 轴 的距离是6． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在抛物线上，过点P 的直线y＝x+m 与抛物线的对称轴交于点Q． ①当△PQ 与△PQ 的面积之比为1：3 时，求m 的值； ②如图2，当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线B 与直线PQ 交于 点，求P+Q 的最大值． 1 【题型6 二次函数中求周长最值】 【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x+4 与x 轴交于点 （﹣4，0），B（x2，0），与y 轴交于点．经过点B 的直线y＝kx+b 与y 轴交于点D （0，2），与抛物线交于点E． （1）求抛物线的表达式及B，两点的坐标； （2）若点P 为抛物线的对称轴上的动点，当△EP 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）若点M 是直线BE 上的动点，过M 作M∥y 轴交抛物线于点，判断是否存在点M， 使以点M，，，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣与x 轴交于（﹣1，0）、B （3，0）两点，直线l 与抛物线交于、两点，其中点的横坐标是2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PB 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、、B、为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过点（0，﹣1）和点B （5，4），P 是直线B 下方抛物线上的一个动点，P∥y 轴与B 交于点，PD⊥B 于点D， 连接P． （1）求抛物线的表达式； （2）当△PD 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PD 周长的最大值； （3）当△P 是等腰三角形时，请直接给出点P 的坐标． 【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=a x 2+ 8 5 x+c与x 轴交于（2，0），B 两点，与y 轴交于点（0，﹣4），直线l：y=−1 2 x−4与x 轴交于点D，点P 是抛物线 y=a x 2+ 8 5 x+c上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P 的横坐标是m，四边形PB 的面积 是S．①求S 关于m 的函数解析式及S 的最大值；②点Q 是直线PE 上一动点，当S 取 最大值时，求△Q 周长的最小值及FQ 的长． 1 【题型7 二次函数中求面积最值】 【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＜0）交x 轴于点，B（在B 的左侧），交y 轴于点． （1）求点的坐标； （2）若经过点的直线y＝kx+k 交抛物线于点D． ①当k＞0 且＝﹣1 时D 交线段B 于E，交y 轴于点F，求S△EBD﹣S△EF的最大值； ②当k＜0 且k＝时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以， D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理 由． 【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+（为常数，且＜0）与x 轴相交 于（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴相交于点，顶点为D，直线BD 与y 轴相交于点 E． （1）求证¿ 1 2E； （2）M 为线段B 上一点，为线段BE 上一点，当¿−1 2时，求△M 的周长的最小值； （3）若Q 为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q 与点D 重合时，四边形 BQ 的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由． 【变式7-2】（2022 秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y¿−3 4 x+3 与x 轴交于点，与y 轴 交于点B，抛物线y¿−3 8x2+3 4 x+经过、B 两点，与x 轴的另一个交点为，点P 是第一象 限抛物线上的点，连结P 交直线B 于点Q，设点P 的横坐标为m，当四边形PB 面积最 大时，S△BPQ S△OAQ =¿ ． 1 【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y¿ 1 4 x2+bx+与y 轴交于点（0，2），对 称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点，B（点在点B 的左边），直线y＝ mx+分别交y 轴、x 轴于点D，E（4，0），交抛物线y 轴右侧部分于点F，交B 于点P， 且＝D． （1）求抛物线及直线DE 的函数表达式； （2）若G 为直线DE 下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF 面积最大时， 点G 的坐标及△GDF 面积的最大值； 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（1 2，1 2），（−❑ √2，−❑ √2），……都是和谐点． （1）判断函数y＝2x+1 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y＝x2+6x+（≠0）的图象上有且只有一个和谐点（5 2，5 2）． ①求，的值； ②若1≤x≤m 时，函数y＝x2+6x++1 4 （≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取 值范围． 【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xy 中，对于任意的三个点、B、， 给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，B，三点都在矩形的内 1 部或边界上，则称该矩形为点，B，的“三点矩形”．在点，B，的所有“三点矩形”中， 若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，B，的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形DEFG，矩形都是点，B，的“三点矩形”，矩形是点，B，的“最佳三点 矩形”． 如图2，已知M（4，1），（﹣2，3），点P（m，）． （1）①若m＝2，＝4，则点M，，P 的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ； ②若m＝2，点M，，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求的值； （2）若点P 在直线y＝﹣2x+5 上． ①求点M，，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围； ②当点M，，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标； （3）若点P（m，）在抛物线y＝x2+bx+上，当且仅当点M，，P 的“最佳三点矩形” 面积为18 时，﹣2≤m≤ 1 ﹣或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式． 【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 问题发现： （1）如图1，筝形BD 中，D＝D，B＝B，若+BD＝12，求筝形BD 的面积的最大值； 问题解决： （2）如图2 是一块矩形铁片BD，其中B＝60 厘米，B＝90 厘米，李优想从这块铁片中 裁出一个筝形EFG，要求点E 是B 边的中点，点F、G、分别在B、D、D 上（含端点）， 是否存在一种裁剪方，使得筝形EFG 的面积最大？若存在，求出筝形EFG 的面积最大 值，若不存在，请说明理由． 1 【变式8-3】（2022 春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2， y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）． （1）若为（3，﹣2），为坐标原点，则d（，）＝ ； （2）已知为坐标原点，动点P（x，y）满足d（，P）＝2，请写出x 与y 之间满足的关 系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形； （3）若M（1，1），点为抛物线y＝x2 1 ﹣上一动点，求d（M，）的最小“转角距离”． 1