专题20.1 数据的分析【八大题型】（原卷版）

专题201 数据的分析【八大题型】 【人版】 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】......................................................................................2 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】..........................................................................2 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】..........................................................................................3 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】......................................................................................4 【题型5 出错情况下的统计量问题】.....................................................................................................................4 【题型6 利用方差判断稳定性】.............................................................................................................................5 【题型7 四种统计量的选择】.................................................................................................................................6 【题型8 统计量的综合应用】.................................................................................................................................7 【知识点1 平均数】 平均数： 加权平均数： x= x1k1+x2k2+⋯+xnkn k1+k2+⋯+kn （x1、x2 …xn 的权分别是k1、k2 …kn ） 新数据的平均数：当所给数据都在某一常数的上下波动时，一般选用简化公式： x=x'+a 。 其中，常数通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1=x1−a ，x'2=x2−a ，…， x'n=xn−a 。 x'=1 n ( x'1+x'2+⋯+x'n) 是新数据的平均数（通常把x1, x2,⋯, xn,叫做原 数据，x'1, x'2,⋯, x'n,叫做新数据）。 【知识点2 众数与中位数】 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数， 则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据 的平均数为这组数据的中位数。 【知识点3 方差】 1 方差： s2=1 n [( x1−x)2+( x2−x)2+…+( xn−x)2] 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】 【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4 月23 日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学 生多读书，开展了“书香校”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50 名学生一学期课 外图书的阅读量（单位：本），则这50 名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别 是（ ） ．18，12，12 B．12，12，12 ．15，12，148 D．15，10，145 【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45， 25，45，35，那么45是这组数据的（ ） ．众数 B．中位数 ．平均数 D．方差 【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下 表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气 温 1 3 2 5 3 由于不小心第4 日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____． 【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示： 考试类 别 平时成绩 期中成绩 期末成绩 单元1 单元2 单元3 单元4 单元5 成绩 87 84 81 83 90 86 88 (1)计算小明该学期的平时平均成绩． (2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该 1 学期的总评成绩． 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】 【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，，b 的平均数是4， 若该组数据的中位数小于4，则的值可能是（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2 的众数是 2，且m，n是一元二次方程x 2−7 x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（ ） ．2 B．25 ．3 D．35 【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5 次上学途中所花时间（单位：m） x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2+ y 2的值为（ ） ．192 B．200 ．208 D．400 【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2 x ，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______． 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】 【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对、B 两名小主持人进 行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制） 如表所示： 应聘者 专业素质 创新能力 外语水平 应变能力 73 85 78 85 B 81 82 80 75 如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答不唯一，理由支撑选项即可） 【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县育科学研究室七年级期末）去年某果随机从甲、乙、丙、 丁四个品种的葡萄树中各采摘了10 棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克） 及方差S 2（单位：千克❑ 2）如下表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数（x ） 21 24 25 25 方差（S 2） 18 19 18 2 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______． 【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45 人，某次数学考试成绩的 中位数分别是88 分和90 分，若90 分及90 分以上为优秀，则优秀人数多的班级是_______ 1 _ 【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、 乙两班中各抽取27 名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分 钟跳绳次数≥105 次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是______________________ ____． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据、b、的平均数为5，则2a−3、 2b−3、2c−3的平均数是___________． 【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023 学年七年级上学期期末数学试题）如果m个 数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______． 【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）将一组 数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为( ) ．31 B．30 ．1 D．29 【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023 学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数 据1，2，3，4 的平均数为k1；数据5，6，7，8 的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据 1，2，3，4，5，6，7，8 的平均数为m，那么k 与m 的关系是（ ） ．k>m B．k=m ．k<m D．不能确定 【题型5 出错情况下的统计量问题】 【例5】（2022·河北·泊头市师发展中心九年级期中）某同学使用计算器求30 个数据的平 均数时，错将其中一个数据105 输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___． 【变式5-1】（黑龙江省哈尔滨市木兰县2022-2023 学年八年级下学期期末考试数学试题） 某同学求30 个数据的平均数时，漏加了一个数据50，正确计算出这29 个数据的平均数为 20，则实际30 个数据的平均数为__________． 【变式5-2】（2022·上海浦东新·模拟预测）某班在统计全班33 人的体重时，算出中位数 与平均数都是54 千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50 千克错写成了5 千克，经重新计算后，正确的中位数为千克，正确的平均数为b 千克，那么（ ） ．＜b B．＝b ．＞b D．无法判断 【变式5-3】（2022·河南·南阳市油田育学研究室八年级期末）练将某射击运动员50 次的 射击成绩录入电脑，计算得到这50 个数据的平均数是75，方差是164．后来练核查时发现 1 其中有2 个数据录入有误，一个错录为6 环，实际成绩应是8 环；另一个错录为9 环，实 际成绩应是7 环．练将错录的2 个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是 s 2，则（ ） ．x<7.5，s 2=1.64 B．x=7.5，s 2>1.64 ．x>7.5，s 2<1.64 D．x=7.5，s 2<1.64 【题型6 利用方差判断稳定性】 【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省 围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为 鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不 超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5 次温度检测制作的折线统计图，你认 为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”） 【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射 击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10 次 成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”） 参加射击比赛；理由是__________． 1 【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在 相同条件下各射靶5 次，成绩统计如下： 命中环数¿环 7 8 9 10 甲命中的频数¿次 2 2 0 1 乙命中的频数¿次 1 3 1 0 (1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？ (2)谁的射击成绩更稳定？ 【变式6-3】（2022·浙江·浣江育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级 （1）、（2）班各选出5 名选手参加竞赛，两个班选出的5 名选手的竞赛成绩（满分为100 分）如图所示． (1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数； (2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐． 【题型7 四种统计量的选择】 【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）2021 年，党 中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除 两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同 1 富裕要求的是（ ） ．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小 ．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大 【变式7-1】（四川省南充市2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆 当年大学毕业参加公招，笔试成绩88 分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量 是所有笔试者成绩的（ ） ．平均数 B．中位数 ．众数 D．方差 【变式7-2】（2022 年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动 员为备战南京青奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，练对他近阶段10 次训 练的成绩进行统计和分析，那么练最需要了解该运动员这10 次成绩的（ ） ．众数 B．方差 ．平均数 D．中位数 【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他 们班的数学考试成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考79 分以上， 一半的学生考不到79 分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80 分到85 分之间 喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对（ ） ．平均数、众数 B．平均数、极差 ．中位数、方差 D．中位数、众数 【题型8 统计量的综合应用】 【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质 （大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7 份样品， 对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的 统计图表． 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分) 7 5 85 86 88 9 0 96 96 乙种西瓜（分) 8 0 83 87 90 9 0 92 94 1 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西 瓜 b 96 乙种西 瓜 88 90 (1)=_______，b=_______，=_______； (2)从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中 的信息分别写出他们的理由． 【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020 学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义 务育阶段学生更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区委组 织了一次新型冠状肺炎相关防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学 组和初中组各20 名学生的成绩进行了整理和分析，给出了部分信息如下： 小学组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100 分)表1 67 89 88 65 75 76 80 85 88 92 98 100 66 73 86 86 87 95 86 78 初中组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100 分)表 2 76 83 89 68 68 95 83 86 86 67 77 86 90 84 68 100 86 73 93 86 整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表3 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90分及以上 小学组学生 3 4 9 4 1 决赛成绩 初中组学生 决赛成绩 4 3 9 4 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表4 平均数 中位数 众数 优秀率 （80 分及 以上） 小学组学 生决赛成 绩 83 86 b 65% 初中组学 生决赛成 绩 82.2 a 86 65% (1)表中a=¿ ，b=¿ ； (2)本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中 成绩为86分，他说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据 知道的 (填"平均数”、”中位数”、”众数”、"优秀率") ； (3)根据表4 中的数据，你认为哪个组在此次决赛中表现比较好？请说明理由． 【变式8-2】（云南省昭通市2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）为弘扬民族精神， 传播传统文化，某县育系统将组织“弘扬传统文件化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校 各年级共推荐了19 位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10 的同学进入决 赛． (1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否 进入决赛，他只需知道这19 位同学成绩的______；（填：平均数或众数或中位数） (2)若初赛结束后，这19 位同学的成绩如下： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 85 91 92 86 93 88 96 89 87 97 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 98 91 89 93 96 88 9 87 93 1 2 号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19 位同学的平均水平呀！” 14 号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19 位选手的大众水平 嘛！” 请问，这19 位同学成绩的平均数为______，众数为______； (3)已知10 号选手与15 号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较 稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10 号选手的方差为 05，15 号选手的方差为038．你认为______号选手的成绩比较稳定． 【变式8-3】（江苏省盐城市大丰区2022-2023 学年九年级上学期期末数学试题）某学校从 九年级同学中任意选取40 人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组 20 人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10 分） 甲组成绩统计表： 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 根据上面的信息，解答下列问题： (1)甲组的平均成绩为______分，甲组成绩的中位数是______， 乙组成绩统计图中m=¿______，乙组成绩的众数是______； (2)根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论． 1