专题13.2 轴对称的性质【八大题型】（原卷版）

专题132 轴对称的性质【八大题型】 【人版】 【题型1 游戏中的轴对称】.....................................................................................................................................1 【题型2 利用轴对称的性质求角度】.....................................................................................................................3 【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】.............................................................................................................4 【题型4 在格点中作轴对称图形】.........................................................................................................................6 【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】.........................................................................................................8 【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】................................................................................................11 【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】....................................................................................................13 【题型8 轴对称图的设计】...................................................................................................................................18 【知识点1 轴对称的性质】 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对 称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线， 就可以得到这 两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【题型1 游戏中的轴对称】 【例1】（2022 春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画 一条直线l，在直线l 两边各放一粒围棋子、B，使线段B 长8m，并关于直线l 对称，在 图中P1处有一粒跳棋子，P1距点6m、与直线l 的距离为3m，按以下程序起跳：第1 次， 从P1点以为对称中心跳至P2点；第2 次，从P2点以l 为对称轴跳至P3点；第3 次，从 P3点以B 为对称中心跳至P4点；第4 次，从P4点以l 对称轴跳至P5点；…． （1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是 ； （2）棋子按上述程序跳跃2014 次后停下，这时它与点B 的距离是 ． 1 【变式1-1】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7 枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表 示．甲将第4 枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ） ．（﹣1，1） B．（﹣2，1） ．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【变式1-2】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子， 黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5 个棋子组成轴对称图形，白棋的5 个棋子也成 轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示， 如点在（6，3）]． ．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2） ．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6） 【变式1-3】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余 的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称 跳行，跳行一次称为一步．已知点为己方一枚棋子，欲将棋子跳进对方区域（阴影部分 的格点），则跳行的最少步数为 3 步． 1 【题型2 利用轴对称的性质求角度】 【例2】（2022 秋•河东区期末）如图，△B 中，∠B＝58°，∠＝55°，点D 为B 边上一动点． 分别作点D 关于B，的对称点E，F，连接E，F．则∠EF 的度数等于 ． 【变式2-1】（2022 春•寿阳县期末）如图，△B 中，∠B＝60°，∠＝50°，点D 是B 上任一点， 点E 和点F 分别是点D 关于B 和的对称点，连接E 和F，则∠EF 的度数是（ ） ．140° B．135° ．120° D．100° 【变式2-2】（2022 秋•台江区期中）如图，四边形BD 中，B＝D，△B 沿着翻折，点B 关 于的对称点E 恰好落在D 上，若∠B＝α 度，则∠D 的度数是 度． 【变式2-3】（2022 秋•房山区期末）如图，点P 是∠B 外的一点，点Q 是点P 关于的对称 点，点R 是点P 关于B 的对称点，直线QR 分别交∠B 两边，B 于点M，，连接PM， P，如果∠PM＝33°，∠P＝70°，求∠QP 的度数． 1 【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 【例3】（2022 秋•土默特左旗期中）如图，点P 在∠B 内，点M、分别是点P 关于、B 的 对称点，若△PEF 的周长为15，求M 的长． 【变式3-1】（2022 春•洛宁县期末）如图，点P 在∠B 内，点M、分别是P 点关于、B 的对 称点，且M 交、B 相交于点E，若△PEF 的周长为20，求M 的长． 1 【变式3-2】（2022 春•驿城区期末）如图，点P 是∠B 外的一点，点M，分别是∠B 两边上 的点，点P 关于的对称点Q 恰好落在线段M 上，点P 关于B 的对称点R 落在M 的延长 线上．若PM＝3m，P＝4m，M＝45m，则线段QR 的长为 ． 【变式3-3】（2022 秋•淮安月考）如图，在△B 中，B＝12m，＝6m，B＝10m，点D，E 分 别在，B 上，且△BD 和△BED 关于BD 对称． （1）求E 的长； （2）求△DE 的周长． 1 【题型4 在格点中作轴对称图形】 【例4】（2022 秋•密山市校级期末）如图所示， （1）写出顶点的坐标； （2）作△B 关于y 轴对称的△1B11，并写出B1的坐标； （3）若点2（，b）与点关于x 轴对称，求﹣b 的值． 【变式4-1】（2022 秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，、B、、D 各点的坐标分别为 （﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）． （1）在给出的图形中，画出四边形BD 关于y 轴对称的四边形1B11D1； （不写作法） （2）写出点1和1的坐标； （3）求四边形1B11D1的面积． 1 【变式4-2】（2022 秋•嵊州市期末）在如图的正方形格中，每一个小正方形的边长为1， 格点三角形B（顶点是格线交点的三角形）的顶点，B 的坐标分别是（﹣6，7），（﹣ 4，3）． （1）请你根据题意在图中的格平面内作出平面直角坐标系． （2）请画出△B 关于y 轴对称的△1B11 【变式4-3】（2022 春•铜仁市期末）如图，已知点（4，3），B（3，1），（1，2），请 解决下列问题： （1）若把△B 向下平移1 个单位，再向左平移5 个单位得到△1B11，请画出平移后的图形 并写出1，B1，1的坐标； （2）若△2B22是△B 关于x 轴对称的图形，请画出△2B22并写出2，B2，2的坐标． 1 【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【例5】（2022 春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△B 沿DE 折叠，使点落在点’ 处，请你判断∠1+ 2 ∠与∠有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考（2）如图2，B 平分∠B，平分∠B，把△B 折叠，使点与点重合，若∠1+ 2 ∠＝100°， 求∠B 的度数； 拓展（3）如图3，在锐角△B 中，BF⊥于点F，G⊥B 于点G，BF、G 交于点，把△B 折 叠使点和点重合，试探索∠B 与∠1+ 2 ∠的关系，并证明你的结论． 【变式5-1】（2022 春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8m 的正方形BD 折叠，使点D 落在B 边的中点E 处，点落在F 处，折痕为M． （1）求线段长． （2）连接F，并求F 的长． 1 【变式5-2】（2022 秋•成都期末）如图，四边形BD 中，B∥D，D⊥B，B＝6，D＝D＝3， 点E、F 分别在线段B、D 上，将△EF 沿EF 翻折，点的落点记为P．当P 落在四边形 BD 内部时，PD 的最小值等于 ． 【变式5-3】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片BD，B∥D，D＝B＝1，B＝D ＝5．在长方形BD 的边B 上取一点M，在D 上取一点，将纸片沿M 折叠，使MB 与D 交于点K，得到△MK． （1）请你动手操作，判断△MK 的形状一定是 ； （2）问△MK 的面积能否小于1 2？试说明理由； （3）如何折叠能够使△MK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大 值． 1 【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 【例6】（2022 春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理 的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请一个百思不得其解的问 题． 将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才 能使路程最短？这个问题的答并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个 被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B 关于直线l 的对称点B′，连接B′与直线l 交于点，点就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l 上另取任一点′，连接′，B′，B′′， ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点，′在l 上， ∴B＝B′，′B＝′B′， + ∴B＝+ ＝ ． 在△′B′中， ∵B′＜′+′B′ + ∴B＜′+′B′即+B 最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧， 从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 （其中在B′与l 的交点上，即、、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点 与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1 【简单应用】 （1）如图4，在等边△B 中，B＝6，D⊥B，E 是的中点，M 是D 上的一点，求EM+M 的 最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B 与关于直线D 对称，连接BM， EM+M 的最小值就是线段 BE 的长度，则EM+M 的最小值是 ； （2）如图5，在四边形BD 中，∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在B，D 上分别找一点 M、当△M 周长最小时，∠M+∠M＝ °． 【拓展应用】 如图6，是一个港湾，港湾两岸有、B 两个码头，∠B＝30°，＝1 千米，B＝2 千米，现有 一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠B 岸处装货，再停靠岸D 处装货，最后 到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求 出最短路程． 【变式6-1】在B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，点D，E 在B 边上，D＝D，点E 关于，D 1 的对称点分别为F，G，则线段FG 的最小值等于（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式6-2】（2022 秋•双流区校级期中）在△B 中，∠＝45°，＝8，BD⊥，BD＝6，点E 为 边B 上的一个动点．E1，E2分别为点E 关于直线，B 的对称点，连接E1E2，则线段E1E2 长度的最小值是 ． 【变式6-3】（2022 春•青羊区期末）如图，△B 中，∠B＝45°，∠＝75°，B＝4，D 为B 上一 动点，过D 作DE⊥于点E，作DF⊥B 于点F，连接EF，则EF 的最小值为 ． 【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 【例7】（2022 春•二道区期末）解答下列各题： （1）【问题引入】：如图①，在△B 中，∠B＝70°，点D 在B 的延长线上，三角形的内 角∠B 与外角∠D 的角平分线BP，P 相交于点P，求∠P 的度数﹒（写出完整的解答过 程） （2）【深入探究】：如图②，在四边形MB 中，设∠M＝，∠＝β，四边形MB 的内角 ∠MB 与外角∠D 的角平分线BP，P 相交于点P，则∠P 的度数为 ﹒（用含有α 和β 的代数式表示） 1 （3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠B＝70°改成∠B＝γ，其他条件不变，将 △PB 以直线B 为对称轴翻折得到△GB，∠GB 的角平分线与∠GB 的角平分线交于点M， 则∠BM 的度数为 （用含有γ 的代数式表示） 【变式7-1】（2022 秋•洛南县期末）问题提出： （1）如图1，画出直角三角形B 关于所在直线的轴对称图形△B′，其中∠B＝90°（保留 作图痕迹，不写作法）． 1 问题探究： （2）如图2，∠M＝90°，射线E 在∠M 的内部，点B、在∠M 的边M、上，且B＝，过 点作F⊥E 于点F，过点B 作BD⊥E 于点D，证明：△BD≌△F． 深入思考： （3）如图3，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B，直线l 经过点，且点、B 在直线l 的异侧，过 点作D⊥l 于点D，过点B 作BE⊥l 于点E．判断线段D、BE、DE 之间的数量关系，并 加以说明． 【变式7-2】（2022 春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片BD 对不同折法 下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点落在′处，EF 为折痕，如 图①所示． （1）若∠EF＝30°， ①求∠′EB 的度数； ②又将它的另一个角也折过去，并使点B 落在E′上的B′处，折痕为EG，如图②所示， 求∠FEG 的度数； （2）若改变∠EF 的大小，则E′的位置也随之改变，则∠FEG 的大小是否改变？请说明 1 理由． 【变式7-3】（2022 秋•鼓楼区月考）问题情境 如图1，△B 中，沿∠B 的平分线B1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B11的平分线1B2 折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B 的平分线B+1折叠，点B 与点重合，我们就 称∠B 是△B 的正角． 以图2 为例，△B 中，∠B＝70°，∠＝35°，若沿∠B 的平分线B1折叠，则∠1B1＝70°．沿 1B1剪掉重叠部分，在余下的△B11中，由三角形的内角和定理可知∠1B1＝35°，若沿∠B11 1 的平分线1B2第二次折叠，则点B1与点重合．此时，我们就称∠B 是△B 的正角． 探究发现 （1）△B 中，∠B＝2∠，则经过两次折叠后，∠B 是不是△B 的正角？ （填“是”或 “不是”）． （2）小明经过三次折叠发现∠B 是△B 的正角，则∠B 与∠（不妨设∠B＞∠）之间的等量 关系为 ． 根据以上内容猜想：若经过次折叠∠B 是△B 的正角，则∠B 与∠（不妨设∠B＞∠）之间的 等量关系为 ． 应用提升 （3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三 角形的三个角均是它的正角． 【题型8 轴对称图的设计】 【例8】（2022 秋•沧州期末）如图1 所示是一块有图的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出 一个正方形，使所拼的图为轴对称图形．在图4 中画出你的四个设计方．（图2、图3 视为同一图） 【变式8-1】（2022•金华）现有9 个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑． 如图（1），（2）所示． 观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图．它们具有如下特征：①都是轴对称图形； ②涂黑部分都是三个小正三角形． 请在图（3），图（4）内分别设计一个新图，使图具有上述两个特征． 1 【变式8-2】（2022 春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图，回答下列 问题． （1）请你写出这四个图都具有的两个共同特征： 特征1： ； 特征2： ． （2）请你借助下面的格，设计出三个不同图，使它也具备你所写出的上述特征．（注 意：新图与以上四幅图中的图不能相同） 【变式8-3】（2022 秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方 形，形成轴对称图，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图， 请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图．（至少设计四种图） 1