专题4.7 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】（原卷版）

专题47 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 线段中的整体思想】.................................................................................................................................1 【题型2 线段中的方程思想】.................................................................................................................................2 【题型3 线段中的分类讨论思想】.........................................................................................................................3 【题型4 线段中的数形结合思想】.........................................................................................................................4 【题型5 角中的整体思想】.....................................................................................................................................5 【题型6 角中的方程思想】.....................................................................................................................................8 【题型7 角中的分类讨论思想】...........................................................................................................................10 【题型8 角中的数形结合思想】...........................................................................................................................11 【题型1 线段中的整体思想】 【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段B＝16，，D 是线段B 上的两个动点（点在点 D 的左侧），且D＝2，E 为B 的中点． (1)如图1，当＝4 时，求DE 的长． (2)如图2，F 为D 的中点．点，D 在线段B 上移动的过程中，线段EF 的长度是否会发生变 化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF 的长． 【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点在线段B 上，且AM=1 3 AC， BN=1 3 BC． (1)若AC=12，CB=6，求线段M 的长． (2)若为线段B 上任意一点，且满足AC+BC=a，其他条件不变，求线段M 的长． 【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点是线段B 上的一点，点M、、P 分别 1 是线段，B，B 的中点． (1)若B=10m，求线段M 的长； (2)若=3m，P=1m，求线段P 的长． 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、在线段D 上，M 是B 的中点， 是D 的中点，且AB=CD． (1)如图线段D 上有6 个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：______BD（填“＞”、“=”或“＜”）； (3)若AD=12，BC=8，求M 的长度． 【题型2 线段中的方程思想】 【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上． (1)若AB=CD， ①比较线段的大小：AC______BD；（填“>”“=”或“<”） ②若BC= 3 4 AC，且AC=24 cm，则AD的长为______m； (2)若线段AD被点B，C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离 是20m，求AD的长． 【变式2-1】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，点、B 在线段EF上， 点M、分别是线段EA、BF的中点，EA : AB:BF=1:2:3，若MN=6cm，求线段EF的 长． 【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点，B，它们的对应数分别是， b，其中＝12． (1)在B 左侧作线段B＝B，在B 的右侧作线段BD＝3B（要求尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹） (2)若点对应的数是，点D 对应的数是d，且B＝40，求，d 的值． (3)在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，是数轴上一点，且＝4D，请直接写出M 的长． 1 【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点、B 对应着数10、15．、D 两 点同时从点、原点出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t s． (1)当t=2时，请说明BC=1 2 AD； (2)当t>5，且CD=AB时，求t 的值； (3)取线段CD的中点M，当BM= 1 4 OA时，求t 的值． 【题型3 线段中的分类讨论思想】 【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB上有两点、D，使得 AC ∶CD∶DB=1∶2∶3，M 是线段AC的中点，点是线段AB上的点，且满足 DN= 1 4 DB，AB=24，求MN的长． 【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上点表示数，B 点表示数b，B 表示点和B 点之间的距离，且、b 满足(a+1) 2+¿b−3∨¿0． (1)填空：＝ ，b＝ ，B＝ ； (2)若数轴上存在一点，且＝2B，求点表示的数； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙 从点B 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t 表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，点是线段B 上的一点，线段＝8m， AB=3 2 BC．机器狗P 从点出发，以6m/s 的速度向右运动，到达点B 后立即以原来的速度 返回；机械猫Q 从点出发，以2m/s 的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当 机器狗P 与机械猫Q 第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． 1 (1)B＝______m，B＝______m； (2)试通过计算说明：当x 为何值时，机器狗P 在点与机械猫Q 的中点处？ (3)当x 为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x 的值． 【变式3-3】（2022·江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上点表示的数是，B 点表示的 数是b，且，b 满足式子(a+3) 2+|b−6|=0． (1)写出a=¿______，b=¿______． (2)将数轴上线段AB剪下来，并把AB这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀 得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数． 【题型4 线段中的数形结合思想】 【例4】（2022·广东东莞·七年级期末）如图，是线段B 上一点，B＝12m，＝4m，P、Q 两 点分别从、出发以1m/s、2m/s 的速度沿直线B 向右运动，运动的时间为ts． (1)当t＝1s 时，P＝ m，QB＝ m； (2)当运动时间为多少时，PQ 为B 的一半？ (3)当运动时间为多少时，BQ＝P？ 【变式4-1】（2022·山东德州·七年级期末）已知，线段AB=20，M是线段AB的中点，P 是线段AB上任意一点，N是线段PB的中点． （1）当P是线段AM的中点时，求线段NB的长； （2）当线段MP=1时，求线段NB的长； （3）若点P在线段BA的延长线上，猜想线段PA与线段MN的数量关系，并画图加以证明． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线 段：B＝m，D＝，且m，满足|m−4|+(n−8) 2=0，点M，分别为B，D 中点． 1 (1)求线段B，D 的长； (2)线段B 以每秒4 个单位长度向右运动，线段D 以每秒1 个单位长度也向右运动．若运动 6 秒后，M＝4，求此时线段B 的长； (3)若B＝24，将线段D 固定不动，线段B 以每秒4 个单位速度向右运动，在线段B 向右运 动的某一个时间段t 内，始终有M+D 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在哪一个时间 段内． 【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 GeGebr 做了次取线段中点实验：如图，设线段P0¿1．第1 次，取P0的中点P1；第2 次， 取P0P1的中点P2；第3 次，取P1P2的中点P3，第4 次，取P2P3的中点P4；… (1)请完成下列表格数据． 次数 P-1P 线段P 的长 第1 次 P0 P1=1 2 O P1=O P0−P0 P1=1−1 2 第2 次 P1 P2= 1 2 2 O P2=O P1+P1 P2=1−1 2 + 1 2 2 第3 次 P2 P3= 1 2 3 O P3=O P2−P2 P3=1−1 2 + 1 2 2−1 2 3 第4 次 P3 P4= 1 2 4 O P4=O P3+P3 P4=1−1 2 + 1 2 2−1 2 3 + 1 2 4 第5 次 … … … (2)小明对线段P4的表达式进行了如下化简： 因为O P4=1−1 2 + 1 2 2−1 2 3 + 1 2 4 ， 所以2O P4=2(1−1 2 + 1 2 2−1 2 3 + 1 2 4) ¿2−1+ 1 2−1 2 2 + 1 2 3． 两式相加，得3O P4=2+ 1 2 4 ． 1 所以O P4=2 3 + 1 3×2 4 ． 请你参考小明的化简方法，化简P5的表达式． (3)类比猜想：Pn−1 Pn=¿__________，O Pn=¿_________________，随着取中点次数的不 断增大，O Pn的长最终接近的值是__________． 【题型5 角中的整体思想】 【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目． 将一副三角板按如图1 所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON， 然后提出问题：求∠MON的度数． 小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答： 特殊情况，探索思路 将三角板分别按图2，图3 所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分 线，其中，按图2 方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3 方式摆 放时，∠AOC和∠BOD相等． （1）请你直接写出计算结果：图2 中∠MON的度数为______，图3 中∠MON的度数为 ______； 特例启发，解答题目 （2）请你完成李老师出示的题目的解答过程； 拓展结论，设计新题 （3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改 为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM= 3 4 ∠AOC，∠DON= 1 4 ∠BOD”，请你 直接写出∠MON的度数． 1 【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠B 内部有三条射线，其中E 平分角 ∠B，F 平分∠． （1）如图1，若∠B=120°，∠=30°，求∠EF 的度数？ （2）如图2，若∠B=α，求∠EF 的度数，（用含α 的式子表示） （3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EB=1 3 B ∠，∠F=2 3∠，且∠B=α，求∠EF 的度数． （用含α 的式子表示） 【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知∠AOB＝120 ∘，OC、OD是过点O的射线，射线 OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数； （2）如图②，若∠COD＝50 ∘，∠AOC ≠∠DOB，则∠MON＝________； （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α(0 ∘<α<60 ∘)，则∠MON＝________． 【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠B＝ 60°，∠D＝45°，M，分别平分∠D、∠B． 1 (1)求∠M 的度数； (2)将图①中的三角板D 绕点О 旋转到如图②的位置，求∠M 的度数； (3)将图①中的三角板D 绕点О 旋转到如图③的位置，猜想∠M 的度数，并说明理由． 【题型6 角中的方程思想】 【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线M 上点为端点作射线，将直角三角板B 的直角顶点放在点处． (1)如图①，三角板B 的边B 在射线上，若∠B=40°，则∠=________． (2)如图②，将三角板绕点逆时针方向转动，使得B 平分∠，请判断平分∠M 吗？并说明理 由． (3)若∠=50°，将三角板B 绕点按逆时针方向转动，使得∠B=1 3∠M，则∠B=________．（可 用备用图．） 【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知∠AOC :∠AOB=2:7,OD是 ∠AOB的平分线，若∠AOC=16 °，求∠AOD的度数． 【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板M 的直角顶点放在直线B 上，射 线平分∠AON． 1 (1)当∠BON=60°时，求∠COM的度数； (2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数． 【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知∠AOB=90°，三角形D 是含有 45°角的三角板，∠COD=45°，E 平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC=30°时，∠DOE=¿_____________°； (2)如图2，当∠AOC=60°时，∠DOE=¿_____________°； (3)如图3，当∠AOC=α（90°<α<180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）； (4)由前三步的计算，当0°<∠AOC<180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系 为_______________________________________． 【题型7 角中的分类讨论思想】 【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个 新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠B＝120°，若是∠B 三等分线，求∠的度数． (2)点在线段B 上（不含端点，B），在直线B 同侧作射线，D．设∠＝3t，∠BD＝5t． ①当是∠D 的三等分线时，求t 的值． ②当是∠BD 的三等分线时，求∠BD 的度数． 【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠D=90°，直线B 与交 于点B，与D 交于点，射线E 与射线F 交于点G (1)若E 平分∠B，F 平分∠BD，∠B=42°，则∠G= ° 1 (2)若∠G=1 3 B ∠，∠GD=1 3 BD ∠ ，∠B=42°，则∠G= °； (3)将(2)中的“∠B=42°”改为“∠B=α”，其它条件不变，求∠G 的度数(用含α的代数式表示) (4)若E 将∠B 分成1︰2 两部分，F 平分∠BD，∠B=α(30°< <90°) ，求∠G 的度数(用含α的代 数式表示) 【变式7-2】（2022·江西省遂川县育局学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°， ∠BOC =α \(0°<α <180°\)，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线． (1)如图1，当OC在OB左侧，且α =80 ∘时，∠DOE的度数是_________； (2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α的数量 关系； (3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α的度数． 【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3 个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若 其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线” （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=¿_____ _；（用含α的代数式表示）； 深入研究： 如图2，若∠MPN=60 °，且射线PQ绕点P 从PN位置开始，以每秒10 °的速度逆时针旋 转，当PQ与PN成180 °时停止旋转，旋转的时间为t 秒．若射线PM同时绕点P 以每秒5 ° 1 的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时的值． 【题型8 角中的数形结合思想】 【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠B＝120°，是∠B 内的一条射线，且∠： ∠B=1：2． (1)求∠，∠B 的度数； (2)作射线M 平分∠，在∠B 内作射线，使∠B=70°，补全图形， 并求出∠M 的度数； (3)若存在射线D，使∠D=4∠BD，请直接写出所有可能的∠D 的度数． 【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB、∠COD，射线OE平分 ∠AOD； (1)如图1，已知∠AOB=180°、∠COD=90°，若∠DOB=46°，求∠COE的度数； (2)∠AOB、∠COD的位置如图2，已知∠COD=1 2 ∠AOB，求∠COE:∠DOB的值． 【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将 一副三角板按图1 所示的位置摆放，分别在∠，∠BD 的内部作射线M，，然后提出如下问 题：先添加一个适当条件，再求∠M 的度数． 1 (1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若M，分别平分∠，∠BD”，画出如图2 所示 图形．小组3 号同学佳佳的做法：由于图中∠与∠BD 的和为90°，所以我们容易得到∠M 与 ∠D 的和，这样就能求出∠M 的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程． (2)特例探究：“